[19]ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ, обобщение понятия линейной формы (см.), приобретающее постепенно все большее значение в математике и математич. физике.
Линейные однородные формы
могут быть охарактеризованы как функции аргументов
след. свойствами: 1) для любых
справедливо равенство
;
2) для любых
имеет место равенство
.
Функционалом вообще (см. Функциональный анализ) называется число
, зависящее от выбора функции
. Функционал
называется линейным, если выполнены условия, аналогичные условиям, определяющим линейные формы: 1) для любых двух функций
и
:
;
2) для любой функции
и числа
:
и, кроме того, справедливо условие непрерывности. При этом обычно функционал
предполагается [20]определенным лишь для нек-рого класса функций
, напр., для всех функций
, непрерывных на сегменте
. В зависимости от выбора класса функций
по-разному формулируют и условие непрерывности. Если, напр., выбран класс всех непрерывных на
функций
, то условие непрерывности заключается в существовании для данного функционала
константы
, для к-рой при любой непрерывной функции
будет
Простейшим примером Л. ф. является интеграл
В очень многих задачах можно из общих соображений установить, что то или иное неизвестное число является Л. ф. Например, температура тела в какой-либо его внутренней точке является Л. ф. от распределения температур на его поверхности. Вообще к Л. ф. приводит решение линейных дифференциальных уравнений (см.) с линейными краевыми условиями. Поэтому очень существенным является вопрос об общем аналитическом выражении для функционалов. Об этой задаче см. Функциональный анализ.
Лит.: Статьи по функциональному анализу в сб. «Успехи математических наук», вып. 1, М. — Л., 1936. См. также литературу при статье Функциональный анализ.