[7]К теории Кремоновых преобразований.
Б. К. Млодзеевский.
(Читано 19 января 1916 года.)
1. Рассмотрим две плоскости
, связанные между собою определенным Кремоновым преобразованием
-го порядка. Известно, что при таких преобразованиях сети прямых на каждой из двух плоскостей соответствует на другой плоскости гомалоидная сеть уникурсальных кривых, т.-е. сеть кривых, из которых каждые две имеют только одну подвижную общую точку. Такая сеть вполне определяется своими основными точками, или центрами, — неподвижными общими точками всех кривых сети. Как показал еще в 1863 году Cremona, число
этих основных точек на обеих плоскостях одинаково, и если мы обозначим их кратности для плоскости
через
,
а для плоскости
через
,
то между этими
числами имеют место соотношения
![{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{p}r_{k}^{2}=n^{2}-1,\quad \sum \limits _{k=1}^{p}r_{k}=3(n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/236fedc57053e19ce46945cbb826c6829d0ff00a)
|
(1.)
|
![{\displaystyle \sum \limits _{l=1}^{p}s_{s}^{2}=n^{2}-1,\quad \sum \limits _{l=1}^{p}s_{l}=3(n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dfdcbf54fd35892e725d3b206af1a4655ae5a83)
|
(2.)
|
Далее, Cremona показал, что каждой основной точке первой плоскости
с кратностью
соответствуют на второй плоскости все точки некоторой основной кривой
порядка
; точно так же каждой основной точке второй плоскости
кратности
соответствуют на первой плоскости все точки основной кривой
порядка
, причем все основные кривые обеих сетей — уникурсальные. При этом кривая
на плоскости
имеет в каждой основной точке
этой плоскости точку такой же кратности, какую на плоскости
имеет кривая
в точке
. Мы обозначим эту общую кратность кривых
соответственно в точках
через
. Известно, что числа
удовлетворяют следующим соотношениям:
,
|
(3.)
|
,
|
(4.)
|
![{\displaystyle \sum \limits _{k}\alpha _{kl}\alpha _{kl'}=s_{l}s_{l'},\quad \sum \limits _{l}\alpha _{kl}\alpha _{k'l}=r_{k}r_{r'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a83ac539b3b2807756e74d149686380406e462)
|
(5.)
|
.
|
(6.)
|
[8]Эти соотношения выражают, что основные кривые уникурсальные и пересекаются как между собою, так и со всеми кривыми Кремоновой сети только в основных точках.
2. Clebsch показал (Math. Annalen, Bd. 4, 1871), что детерминант
![{\displaystyle N={\begin{vmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}&\cdots &\alpha _{1p}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}&\cdots &\alpha _{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{p1}&\alpha _{m2}&\cdots &\alpha _{pp}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/232b73f4b64ed52896cd718c2d2b2411fa53dac1)
|
(7.)
|
всегда равен
, где
— порядок данной Кремоновой сети. Мы покажем, что это предложение представляет одно из следствий одного более общего свойства Кремоновых сетей. Рассмотрим детерминант
,
|
(8.)
|
где
. Соотношения (1), (3), (4), (5), могут быть представлены в следующем виде:
![{\displaystyle (-n)^{2}+\sum (is_{l})^{2}=1,\quad (ir_{k})^{2}+\sum \alpha _{kl}^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31b14335994a8c463873b1115043e3ecb6f859ba)
.
Отсюда видно, что
есть детерминант прямоугольного преобразования. Так как в таком детерминанте каждый элемент равен своему дополнительному минору, умноженному на
, то отсюда следует не только теорема Clebsch'a, но и ряд других аналогичных соотношений между Кремоновыми числами.
Умножая в детерминанте (8) первый столбец и первую строку на
, мы получим новый детерминант, не содержащий мнимых элементов
,
|
(9.)
|
Этот детерминант уже не ортогональный, но его числовое значение остается по-прежнему равным
, и его элементы точно также равны по абсолютной величине своим дополнительным минорам.
3. Как показал Cayley (Crelle, Bd. 32, 1846), элементы ортогонального детерминанта
-го порядка могут быть выражены рационально через
произвольных количеств. Естественно было бы искать соответствующие выражения и для детерминанта
. Оказывается, однако, что к детерминанту
метод Cayley неприложим. Именно, Frobenius заметил, что если в положительном ортогональном детерминанте
[9]мы имеем
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}c_{00}+1&c_{01}&\cdots &c_{0p}\\c_{10}&c_{11}+1&\cdots &c_{1p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{p0}&c_{p1}&\cdots &c_{pp}+1\end{vmatrix}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc8a7fbd3212f6840e22d2b147e5418788558fa4)
то к такому детерминанту формулы Cayley неприменимы. Легко видеть, что детерминант
находится именно в этих условиях. Действительно, если в детерминанте
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}-n+1&is_{1}&is_{2}&\cdots &is_{p}\\ir_{1}&\alpha _{11}+1&\alpha _{12}&\cdots &\alpha _{1p}\\ir_{2}&\alpha _{21}&\alpha _{22}&\cdots &\alpha _{2p}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ir_{p}&\alpha _{p1}&\alpha _{m2}&\cdots &\alpha _{pp}+1\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb31fe44635ebc6aae44d9438106458cc2788e3)
мы вычтем из элементов первого столбца соответственные элементы остальных
столбцов, умноженные на
, то, как видно из формул (2), (6) получим в первом столбце всюду нули.
4. Детерминант
является основным в теории Кремоновых преобразований. Как видно из его выражения (8), все его элементы суть целые числа; некоторые из них мнимые; первая строка и первый столбец отличаются по своему составу от остальных. Мы покажем здесь, каким образом из
можно получить другой ортогональный детерминант, свободный от мнимых элементов и вполне однородный по своему составу; но элементы его уже не будут целыми числами. Я останавливаюсь здесь на этом преобразовании детерминанта
потому, что оно основано на одном небезынтересном свойстве ортогональных детерминантов. Возьмем ортогональный детерминант
-го порядка
![{\displaystyle |c_{kl}|=0,\quad (k,l=0,1\dots p);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61ade56d1b27cd9bdb0feb5785367c43448809c0)
будем рассматривать элементы
как взаимные угловые коэффициенты двух прямоугольных систем осей
,
в пространстве
измерений. Если мы повернем систему осей
около
-мерной оси, перпендикулярной к осям
так, чтобы ось
пришла в совпадение с осью
, то угловыми коэффициентами новых направлений осей
но отношению к осям
будут элементы следующего ортогонального детерминанта
-го порядка
,
где двойной знак соответствует двум противоположным направлениям вращения. В самом деле, так как вращение происходит параллельно плоскости осей
, и ось
приходит после вращения в совпадение с осью
, то угловые коэффициенты
оси
относительно оси
после вращения выразятся следующим образом
,
где
— числовые множители. [10]
Так как
, то отсюда имеем
,
или
,
откуда
![{\displaystyle \theta _{l}=-{\frac {c_{0l}}{c_{00}\pm 1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca0be97c13811b205436b29d81930dcbbce6e8e)
и, следовательно,
.
Применяя это преобразование к детерминанту (8), получим следующий ортогональный детерминант
-го порядка
![{\displaystyle \left|\alpha _{kl}-{\frac {r_{k}s_{l}}{n\pm 1}}\right|\quad (k,l=1,2,\dots p).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36ed91acb7d255a243eea1101bfee7f3f052ff32)
В этом детерминанте все элементы — числа действительные и имеют одинаковый вид; но это уже не целые числа.
5. Расположим в детерминанте (8) ряды в определенном порядке. Известно, что все основные точки Кремоновой сети можно распределить в группы, причисляя к одной группе основные точки одинаковой кратности. При этом число групп в обеих плоскостях, связанных данным Кремоновым преобразованием, будет одно и то же; точно так же и числа основных точек, входящих в различные группы, будут в обеих плоскостях одни и те же. Так, например, в одном из Кремоновых преобразований 11-го порядка мы имеем в одной плоскости сеть с одною основною точкою 7-го порядка, двумя точками 4-го порядка, тремя — 3-го и тремя — 2-го; в другой плоскости мы имеем сеть, сопряженную с первою, имеющую три основных точки 5-го порядка, одну — 4-го, три 3-го и две — 1-го.
Clebsch заметил, что если мы возьмем в одной плоскости одну из групп основных точек одинаковой кратности
, число которых пусть будет
, а в другой плоскости также какую-нибудь группу основных точек одинаковой кратности
число которых обозначим через
, то все
чисел
, соответствующие различным парам основных точек обеих групп, будут равны между собою, с тем исключением, что каждой группе первой плоскости
будет соответствовать на второй плоскости группа
, равная ей по числу входящих в нее точек, где каждой основной точке
первой плоскости будет соответствовать одна определенная точка
второй плоскости так, что соответствующие этим парам точек
чисел
будут отличаться от остальных
чисел и притом, как это заметил впервые Bertini, непременно на единицу. Ниже мы поясним на примере указанный здесь закон распределения чисел
.
В дальнейшем мы введем для Кремоновых сетей другие обозначения. Будем обозначать через
не кратности отдельных основных точек или центров сети, как мы это делали до сих пор, а кратности точек отдельных групп. Пусть в плоскости
будет
различных групп основных точек; пусть в первую группу входят
основных точек кратности
и т. д. Тогда мы будем иметь
, где
— общее число центров Кремоновой сети [11]на плоскости
. Согласно сказанному выше, мы будем иметь и на второй плоскости
такое же число групп основных точек, при чем первой группе плоскости
будет соответствовать на плоскости
группа также из
центров определенной кратности
, второй — группа из
центров кратности
и т. д. Каждой паре основных точек
обеих плоскостей, из которых
принадлежит к
-той группе первой плоскости, а
— к
-той группе второй плоскости, будет соответствовать по-прежнему определенное число
; при этом, если указатели
и
различны, то для всех основных точек с кратностями
и
число
будет одно и то же; если же указатели
и
равны между собою и, следовательно, точки
и
принадлежат двум группам соответствующим одна другой в указанном выше смысле, то каждой из основных точек
-той группы первой плоскости будет соответствовать в
-той группе второй плоскости одна основная точка, для которой число
заменится через
, где
.
Располагая в детерминанте Clebsch'a (7) ряды так, чтобы элементы, соответствующие членам одной и той же группы, стояли рядом, мы дадим ему в новых обозначениях следующий вид:
![{\displaystyle N={\begin{vmatrix}\alpha _{11}+\varepsilon _{1}&\alpha _{11}&\cdots &\alpha _{12}&\alpha _{12}&\cdots \\\alpha _{11}&\alpha _{11}+\varepsilon _{1}&\cdots &\alpha _{12}&\alpha _{12}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots \\\alpha _{21}&\alpha _{21}&\cdots &\alpha _{22}+\varepsilon _{2}&\alpha _{22}&\cdots \\\alpha _{21}&\alpha _{21}&\cdots &\alpha _{22}&\alpha _{22}+\varepsilon _{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e0881be98083029264be54984681c147d175f9d)
|
(10.)
|
Этот детерминант
-го порядка состоит из групп строк и столбцов по
рядов в каждой группе. Таким образом все элементы распадаются на
прямоугольников, среди которых могут быть и квадраты. В каждом прямоугольнике все элементы
равны между собою; исключение представляют квадраты, расположенные по главной диагонали детерминанта, в них диагональные элементы различаются от остальных на единицу.
Поясним сказанное на приведенном выше детерминанте 11-го порядка.
В нем мы имеем 9 основных точек, распадающихся на четыре группы. Таким образом в нашем случае
![{\displaystyle n=11,\,p=9,q=4.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf8494f878e50480152cfa14e52d5cf282319aa)
Далее, имеем число центров в каждой группе и их кратности
![{\displaystyle p_{1}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b743118f6e692b1225612048bde610bf438cbf69) |
![{\displaystyle p_{2}=2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deeea9534f1bd3e57fc9b28a190857847b47472a) |
![{\displaystyle p_{3}=3,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/671b21cb1510c613a35ef9c391563625e5afd6f3) |
|
![{\displaystyle r_{1}=7,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b14dd74a5b16e35a44e190dfb3bd9a56ee950bf4) |
![{\displaystyle r_{2}=4,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d892d7a832cee80c28e41dce6c8a368833c678fe) |
![{\displaystyle r_{3}=3,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2be448091fc449c4b40443be2e8501f0cd2316db) |
|
![{\displaystyle s_{1}=4,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8696b96abe832e676cd5b3145d5b22a71dded0b6) |
![{\displaystyle s_{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c196329584f023b584b9b9ca88b71a7fe9595b5a) |
![{\displaystyle s_{3}=5,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e76511374cdb57596a12a99d474edc293a3f5d0) |
|
По способу, который будет изложен в следующей статье, мы находим
![{\displaystyle \alpha _{11}=2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a4a2632451672657b9cceaad79e66d07e5f227e) |
![{\displaystyle \alpha _{12}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7af0ab1a74ab7325220011a429aa128f265485dd) |
![{\displaystyle \alpha _{13}=3,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31619502916a3a1cdeed270c9ea6299c6346bd89) |
|
![{\displaystyle \alpha _{21}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b66d5b461d181eb52a9e481fbe528fa3f55740e) |
![{\displaystyle \alpha _{22}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/153a675027bb93a205caa200a3b5ff01b03f018f) |
![{\displaystyle \alpha _{23}=2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d89fdf78667883b91763b317ecbf287a1cd38a11) |
|
![{\displaystyle \alpha _{31}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cccad6f52b2e44e16b7ec2b96450707c6da5680f) |
![{\displaystyle \alpha _{32}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73ddbd322525be8da40b61213420fb125edb0c90) |
![{\displaystyle \alpha _{33}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2139e56c32ef0bdb4a76a87e483edd3a49d2ee43) |
|
![{\displaystyle \alpha _{41}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b3355f2848d5ec9d300e4a52f75f1c2544f505d) |
![{\displaystyle \alpha _{42}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85b656c1f148437700eb6d1525fa0a1e5267d391) |
![{\displaystyle \alpha _{43}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/144f18d501871033f074385238a2a6103a4e7b99) |
|
![{\displaystyle \varepsilon _{1}=+1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fcabd807a2f83de82fef2f970537276248f028a) |
![{\displaystyle \varepsilon _{2}=+1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64eaa4956f0f2f393f2d41967f3bc9d864b94dea) |
![{\displaystyle \varepsilon _{3}=+1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e6eb7772ff21550dd317fd6dffd4a8a87c0d159) |
|
Так как первая группа содержит только один центр, то мы могли бы положить не
, а
. Точно так же во вторую группу входят [12]только два центра; поэтому мы могли бы положить не
,
, а
,
. Заметим еще, что в нашем примере на каждой из двух плоскостей имеется по две группы из трех центров, но соответственными в указанном выше смысле мы должны считать группу центров кратности 3 в первой плоскости с группою центров кратности 5 во второй плоскости и точно так же группу центров кратности 2 в первой плоскости и группу с кратностью 3 во второй плоскости, потому что только в числах соответствующих этим парам групп некоторые из чисел отличаются от остальных.
Составляя для данного примера детерминант (7), получим
|
3 |
1 |
1 |
3 |
3 |
3 |
2 |
2 |
2
|
1 |
1 |
0 |
2 |
2 |
2 |
1 |
1 |
1
|
1 |
0 |
1 |
2 |
2 |
2 |
1 |
1 |
1
|
1 |
0 |
0 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1
|
1 |
0 |
0 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1
|
|
Цветом показано разбиение членов
на группы, соответствующие центрам одинаковой кратности. Мы видим, что в квадратах, расположенных по главной диагонали, диагональные элементы отличаются от остальных на единицу, тогда как в остальных прямоугольниках все элементы одинаковы.
6. Детерминант Clebsch'a (10) может быть преобразован в детерминант низшего порядка, что бывает полезно при его вычислении.
Рассмотрим в детерминанте (10) ряд столбцов, принадлежащих к одной и той же
-той группе, соответствующей
основным точкам второй сети
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}\alpha _{1l}&\alpha _{1l}&\cdots &\alpha _{1l}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{1l}&\alpha _{1l}&\cdots &\alpha _{1l}\\\alpha _{2l}&\alpha _{2l}&\cdots &\alpha _{2l}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{2l}&\alpha _{2l}&\cdots &\alpha _{2l}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{ll}+\varepsilon _{l}&\alpha _{ll}&\cdots &\alpha _{ll}\\\alpha _{ll}&\alpha _{ll}+\varepsilon _{l}&\cdots &\alpha _{ll}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{ll}&\alpha _{ll}&\cdots &\alpha _{ll}+\varepsilon _{l}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\end{array}}{\begin{array}{l}\left\}{\begin{array}{c}\\p_{1}\\\\\end{array}}\right.\\\left\}{\begin{array}{c}\\p_{2}\\\\\end{array}}\right.\\\left\}p_{3},\dots p_{l-1}\right.\\\left\}{\begin{array}{c}\\p_{l}\\\\\\\end{array}}\right.\\\left\}p_{l+1},\dots p_{q}\right.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f52e4264d03fa3e332168bc1cf2d741676abb410)
Эта полоса разбивается на прямоугольники по
строк, при чем в каждом прямоугольнике все элементы равны, и только в
-том квадрате диагональные элементы отличаются от остальных на положительную или отрицательную [13]единицу. Вычитая элементы первого столбца из остальных, мы дадим им следующий вид
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}\alpha _{1l}&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{1l}&0&\cdots &0\\\alpha _{2l}&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{2l}&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{ll}+\varepsilon _{l}&-\varepsilon _{l}&\cdots &-\varepsilon _{l}\\\alpha _{ll}&\varepsilon _{l}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{ll}&0&\cdots &\varepsilon _{l}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\end{array}}{\begin{array}{l}\left\}{\begin{array}{c}\\p_{1}\\\\\end{array}}\right.\\\left\}{\begin{array}{c}\\p_{2}\\\\\end{array}}\right.\\\left\}p_{3},\dots p_{l-1}\right.\\\left\}{\begin{array}{c}\\p_{l}\\\\\\\end{array}}\right.\\\left\}p_{l+1},\dots p_{q}\right.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc1b3c3abe77d3dcffeb11f80c8f1ab44fac5d5c)
Будем теперь в каждом прямоугольнике прикладывать элементы всех строк к элементам первой строки. Получим
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}p_{1}\alpha _{1l}&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{1l}&0&\cdots &0\\p_{2}\alpha _{2l}&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{2l}&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\p_{l}\alpha _{ll}+\varepsilon _{l}&0&\cdots &0\\\alpha _{ll}&\varepsilon _{l}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{ll}&0&\cdots &\varepsilon _{l}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\end{array}}{\begin{array}{l}\left\}{\begin{array}{c}\\p_{1}\\\\\end{array}}\right.\\\left\}{\begin{array}{c}\\p_{2}\\\\\end{array}}\right.\\\left\}p_{3},\dots p_{l-1}\right.\\\left\}{\begin{array}{c}\\p_{l}\\\\\\\end{array}}\right.\\\left\}p_{l+1},\dots p_{q}\right.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b4cff1ce0a236908a478021225ab2997db2e697)
Если мы выполним такое преобразование над всеми полосами детерминанта (10), то мы дадим ему такой вид
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}p_{1}\alpha _{11}+\varepsilon _{1}&0&\cdots &0&p_{1}\alpha _{12}&0&\cdots &0&p_{1}\alpha _{13}&\cdots \\\alpha _{11}&\varepsilon _{1}&\cdots &0&\alpha _{12}&0&\cdots &0&\alpha _{13}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots \\\alpha _{11}&0&\cdots &\varepsilon _{1}&\alpha _{12}&0&\cdots &0&\alpha _{13}&\cdots \\p_{2}\alpha _{21}&0&\cdots &0&p_{2}\alpha _{22}+\varepsilon _{2}&0&\cdots &0&p_{2}\alpha _{23}&\cdots \\\alpha _{21}&0&\cdots &0&\alpha _{22}&\varepsilon _{2}&\cdots &0&\alpha _{23}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots \\\alpha _{21}&0&\cdots &0&\alpha _{22}&0&\cdots &\varepsilon _{2}&\alpha _{23}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0967d3c582beb2dde8fe1b21576876e4352882e8)
Полученный детерминант имеет следующее строение. Он состоит из
вертикальных полос по
столбцов; в каждой полосе только первый столбец состоит целиком из элементов отличных от нуля; в каждом из остальных столбцов все члены, кроме одного — нули, а этот последний член равен соответственно
. Поэтому последний детерминант может быть приведен окончательно к следующему виду
[14]Таким образом мы преобразовали детерминант Clebsch'a порядка
в детерминант низшего порядка
. Отсюда, между прочим, получается соотношение
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}p_{1}\alpha _{11}+\varepsilon _{1}&p_{1}\alpha _{12}&\cdots &p_{1}\alpha _{1q}\\p_{2}\alpha _{21}&p_{2}\alpha _{22}+\varepsilon _{2}&\cdots &p_{2}\alpha _{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\p_{q}\alpha _{q1}&p_{q}\alpha _{q2}&\cdots &p_{q}\alpha _{qq}+\varepsilon _{q}\\\end{vmatrix}}=\pm n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ef341314f6c476182cbb5dd8d13cec61a6ac00)
Для разобранного выше примера это равенство принимает вид
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}1.2+1&1.1&1.3&1.2\\2.1&2.0+1&2.2&2.1\\3.1&3.0&3.1+1&3.1\\3.1&3.0&3.1&3.0+1\end{vmatrix}}=-11.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef5c035e52b4fdfdec2b9e35f8a5cadaa2024e4b)
7. В Кремоновых преобразованиях иногда бывает удобно присоединять к основным точкам сети другие дополнительные основные точки, взятые в той или другой точке плоскости. Так как кривые сети имеют кратные точки только в основных точках сети и сходятся все только в них, то эти новые основные точки мы должны рассматривать как точки нулевой кратности. Посмотрим, какие характеристические числа мы должны приписать каждому такому центру нулевой кратности. Пусть между плоскостями
,
установлено Кремоново преобразование, характеристические числа которых удовлетворяют соотношениям (1)—(6). Прибавим теперь на первой плоскости еще
новых центров
, указатели которых изменяются от
до
. Так как на обеих плоскостях должно быть одинаковое число центров, то и на плоскости
должно взять
новых центров
(
). Будем обозначать по прежнему через
(
) кратности новых основных точек и через
их характеристические числа. Тогда формулы (1), (2) примут следующий вид
![{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{p+\pi }r_{k}^{2}=n^{2}-1,\quad \sum \limits _{k=1}^{p+\pi }r_{k}=3(n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7add86d1110c4368f177e75a7c1f3af6669af48)
|
(1'.)
|
![{\displaystyle \sum \limits _{l=1}^{p+\pi }s_{s}^{2}=n^{2}-1,\quad \sum \limits _{l=1}^{p+\pi }s_{l}=3(n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f5e9f52a0d2592abe4f6a965b8e17c92ff2c5af)
|
(2'.)
|
Вычитая (1) из (1'), имеем
![{\displaystyle \sum \limits _{k=p+1}^{p+\pi }r_{k}^{2}=0,\quad \sum \limits _{l=p+1}^{p+\pi }s_{l}^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05fc50e653ea350ce40687973ba15b76aa8a7e72)
|
(3'.)
|
Отсюда видно, что все указатели
,
, соответствующие новым основным точкам, равны нулю, т.-е. что это основные точки нулевой кратности, как это мы видели выше.
Так как каждой основной точке Кремоновой сети в одной плоскости соответствует в другой плоскости основная линия, порядок которой равен кратности соответствующей ей основной точки, то, вводя в каждой сети
основных точек нулевой кратности, мы вместе с тем должны ввести столько же основных линий нулевого порядка. Посмотрим, какие значения должны мы приписать характеристическим числам
для этих линий. Давая в первой формуле (4) указателю
значение, не превосходящее
, и распространяя суммирование на все значения
от 1 до
, мы получим
.
|
(4'.)
|
[15]Вычитая отсюда первое равенство (4), будем иметь
. [16]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/17 [17]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/18 [18]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/19 [19]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/20 [20]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/21 [21]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/22 [22]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/23 [23]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/24 [24]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/25 [25]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/26 [26]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/27 [27]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/28 [28]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/29 [29]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/30 [30]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/31 [31]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/32 [32]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/33 [33]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/34 [34]Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/35