К теории Кремоновых преобразований (Б. К. Млодзеевский)

К теории Кремоновых преобразований
автор Болеслав Корнелиевич Млодзеевский

Дата создания: 1916, опубл.: 1922. Источник: Математический сборник, т. 31, вып. 1 (1922), 7–34

К теории Кремоновых преобразований.

Б. К. Млодзеевский.

(Читано 19 января 1916 года.)

1. Рассмотрим две плоскости $P,Q$, связанные между собою определенным Кремоновым преобразованием $n$-го порядка. Известно, что при таких преобразованиях сети прямых на каждой из двух плоскостей соответствует на другой плоскости гомалоидная сеть уникурсальных кривых, т.-е. сеть кривых, из которых каждые две имеют только одну подвижную общую точку. Такая сеть вполне определяется своими основными точками, или центрами, — неподвижными общими точками всех кривых сети. Как показал еще в 1863 году Cremona, число $p$ этих основных точек на обеих плоскостях одинаково, и если мы обозначим их кратности для плоскости $P$ через

$r_1\ge r_2\ge \cdots \ge r_p$,

а для плоскости $Q$ через

$s_1\ge s_2\ge \cdots \ge s_p$,

то между этими $2p$ числами имеют место соотношения

$\sum _{k=1}^p{r}_k^2=n^2-1,\sum _{k=1}^p{r}_k=3(n-1)$

(1.)

$\sum _{l=1}^p{s}_s^2=n^2-1,\sum _{l=1}^p{s}_l=3(n-1)$

(2.)

Далее, Cremona показал, что каждой основной точке первой плоскости $A_k$ с кратностью $r_k$ соответствуют на второй плоскости все точки некоторой основной кривой $a_k$ порядка $r_k$; точно так же каждой основной точке второй плоскости $B_l$ кратности $s_l$ соответствуют на первой плоскости все точки основной кривой $b_l$ порядка $s_l$, причем все основные кривые обеих сетей — уникурсальные. При этом кривая $a_k$ на плоскости $Q$ имеет в каждой основной точке $B_l$ этой плоскости точку такой же кратности, какую на плоскости $P$ имеет кривая $b_l$ в точке $A_k$. Мы обозначим эту общую кратность кривых $a_k,b_l$ соответственно в точках $B_l,A_k$ через ${\alpha }_{kl}$. Известно, что числа ${\alpha }_{kl}$ удовлетворяют следующим соотношениям:

$\sum _k{r}_k{\alpha }_{kl}=n{s}_l,\sum _l{s}_l{\alpha }_{kl}=n{r}_k$,

(3.)

$\sum _k{\alpha }_{kl}^2=s_l^2+1,\sum _l{\alpha }_{kl}^2=r_k^2+1$,

(4.)

$\sum _k{\alpha }_{kl}{\alpha }_{k{l}^{\prime }}=s_l{s}_{l^{\prime }},\sum _l{\alpha }_{kl}{\alpha }_{k^{\prime }l}=r_k{r}_{r^{\prime }}$

(5.)

$\sum _k{\alpha }_{kl}=3s_l-1,\sum _l{\alpha }_{kl}=3r_k-1$.

(6.)

Эти соотношения выражают, что основные кривые уникурсальные и пересекаются как между собою, так и со всеми кривыми Кремоновой сети только в основных точках.

2. Clebsch показал (Math. Annalen, Bd. 4, 1871), что детерминант

$N=\left|\begin{array}{cccc}{\alpha }_{11}& {\alpha }_{12}& \cdots & {\alpha }_{1p}\\ {\alpha }_{21}& {\alpha }_{22}& \cdots & {\alpha }_{2p}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\alpha }_{p1}& {\alpha }_{m2}& \cdots & {\alpha }_{pp}\end{array}\right|$

(7.)

всегда равен $\pm n$, где $n$ — порядок данной Кремоновой сети. Мы покажем, что это предложение представляет одно из следствий одного более общего свойства Кремоновых сетей. Рассмотрим детерминант

$M_0=\left|\begin{array}{ccccc}-n& i{s}_1& i{s}_2& \cdots & i{s}_p\\ i{r}_1& {\alpha }_{11}& {\alpha }_{12}& \cdots & {\alpha }_{1p}\\ i{r}_2& {\alpha }_{21}& {\alpha }_{22}& \cdots & {\alpha }_{2p}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ i{r}_p& {\alpha }_{p1}& {\alpha }_{m2}& \cdots & {\alpha }_{pp}\end{array}\right|$,

(8.)

где $i\sqrt{-1}$. Соотношения (1), (3), (4), (5), могут быть представлены в следующем виде:

$(-n{)}^2+\sum (i{s}_l{)}^2=1,(i{r}_k{)}^2+\sum {\alpha }_{kl}^2=1,$

$n.i{r}_k+\sum i{s}_l.{\alpha }_{kl}=0,i{r}_k.i{r}_{k^{\prime }}+\sum _{l^{\prime }}{\alpha }_{k{l}^{\prime }}{\alpha }_{k{l}^{\prime }}=0$.

Отсюда видно, что $M_0$ есть детерминант прямоугольного преобразования. Так как в таком детерминанте каждый элемент равен своему дополнительному минору, умноженному на $\pm 1$, то отсюда следует не только теорема Clebsch'a, но и ряд других аналогичных соотношений между Кремоновыми числами.

Умножая в детерминанте (8) первый столбец и первую строку на $-i$, мы получим новый детерминант, не содержащий мнимых элементов

$M_1=\left|\begin{array}{ccccc}n& s_1& s_2& \cdots & s_p\\ r_1& {\alpha }_{11}& {\alpha }_{12}& \cdots & {\alpha }_{1p}\\ r_2& {\alpha }_{21}& {\alpha }_{22}& \cdots & {\alpha }_{2p}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ r_p& {\alpha }_{p1}& {\alpha }_{m2}& \cdots & {\alpha }_{pp}\end{array}\right|$,

(9.)

Этот детерминант уже не ортогональный, но его числовое значение остается по-прежнему равным $\pm 1$, и его элементы точно также равны по абсолютной величине своим дополнительным минорам.

3. Как показал Cayley (Crelle, Bd. 32, 1846), элементы ортогонального детерминанта $(p+1)$-го порядка могут быть выражены рационально через $\frac{p(p+1)}{2}$ произвольных количеств. Естественно было бы искать соответствующие выражения и для детерминанта $M_0$. Оказывается, однако, что к детерминанту $M_0$ метод Cayley неприложим. Именно, Frobenius заметил, что если в положительном ортогональном детерминанте

$|c_{kl}|(k,l=0,1,\dots p)$ мы имеем

$\left|\begin{array}{cccc}{c}_{00}+1& c_{01}& \cdots & c_{0p}\\ c_{10}& c_{11}+1& \cdots & c_{1p}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ c_{p0}& c_{p1}& \cdots & c_{pp}+1\end{array}\right|=0,$

то к такому детерминанту формулы Cayley неприменимы. Легко видеть, что детерминант $M_0$ находится именно в этих условиях. Действительно, если в детерминанте

$\left|\begin{array}{ccccc}-n+1& i{s}_1& i{s}_2& \cdots & i{s}_p\\ i{r}_1& {\alpha }_{11}+1& {\alpha }_{12}& \cdots & {\alpha }_{1p}\\ i{r}_2& {\alpha }_{21}& {\alpha }_{22}& \cdots & {\alpha }_{2p}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ i{r}_p& {\alpha }_{p1}& {\alpha }_{m2}& \cdots & {\alpha }_{pp}+1\end{array}\right|$

мы вычтем из элементов первого столбца соответственные элементы остальных столбцов, умноженные на $\frac{i}{3}$, то, как видно из формул (2), (6) получим в первом столбце всюду нули.

4. Детерминант $M_0$ является основным в теории Кремоновых преобразований. Как видно из его выражения (8), все его элементы суть целые числа; некоторые из них мнимые; первая строка и первый столбец отличаются по своему составу от остальных. Мы покажем здесь, каким образом из $M_0$ можно получить другой ортогональный детерминант, свободный от мнимых элементов и вполне однородный по своему составу; но элементы его уже не будут целыми числами. Я останавливаюсь здесь на этом преобразовании детерминанта $M_0$ потому, что оно основано на одном небезынтересном свойстве ортогональных детерминантов. Возьмем ортогональный детерминант $(p+1)$-го порядка

$|c_{kl}|=0,(k,l=0,1\dots p);$

будем рассматривать элементы $c_{kl}$ как взаимные угловые коэффициенты двух прямоугольных систем осей $(x_0,x_1,\dots x_p)$, $(y_0,y_1,\dots y_p)$ в пространстве $p+1$ измерений. Если мы повернем систему осей $(y_0,y_1,\dots y_p)$ около $(p-1)$-мерной оси, перпендикулярной к осям $x_0,y_0$ так, чтобы ось $y_0$ пришла в совпадение с осью $x_0$, то угловыми коэффициентами новых направлений осей $(y_0,y_1,\dots y_p)$ но отношению к осям $(x_0,x_1,\dots x_p)$ будут элементы следующего ортогонального детерминанта $p$-го порядка

$|c_{kl}-\frac{c_{k0}{c}_{0l}}{c_{00}\pm 1}|,(k,l=1,2,\dots p)$,

где двойной знак соответствует двум противоположным направлениям вращения. В самом деле, так как вращение происходит параллельно плоскости осей $(x_0,y_0)$, и ось $y_0$ приходит после вращения в совпадение с осью $x_0$, то угловые коэффициенты ${c_{k^{\prime }l}}^{\prime }$ оси $y_l$ относительно оси $x_k$ после вращения выразятся следующим образом

${c_{{00}^{\prime }}}^{\prime }=1,{c_{k^{\prime }0}}^{\prime }=0,{c_{0^{\prime }l}}^{\prime }=0,{c_{k^{\prime }l}}^{\prime }=c_{kl}+{\theta }_l{c}_{k0},(k,l=1,2,\dots p)$,

где ${\theta }_l$ — числовые множители.

Так как $\sum _{k=0}^p{{c_{k^{\prime }l}}^{\prime }}^2=1$, то отсюда имеем

$\sum _{k=1}^p{c}_{kl}^2+2{\theta }_l\sum c_{kl}{c}_{k0}+{\theta }_l^2\sum c_{k0}^2=1$,

или

$(1-c_{ol}^2)-2c_{0l}{c}_{00}{\theta }_l+(1-c_{00}^2){\theta }_l^2=1$,

откуда

${\theta }_l=-\frac{c_{0l}}{c_{00}\pm 1}$

и, следовательно,

${c_{k^{\prime }l}}^{\prime }=c_{kl}-\frac{c_{k0c_{0l}}}{c_{00}\pm 1}$.

Применяя это преобразование к детерминанту (8), получим следующий ортогональный детерминант $p$-го порядка

$|{\alpha }_{kl}-\frac{r_k{s}_l}{n\pm 1}|(k,l=1,2,\dots p).$

В этом детерминанте все элементы — числа действительные и имеют одинаковый вид; но это уже не целые числа.

5. Расположим в детерминанте (8) ряды в определенном порядке. Известно, что все основные точки Кремоновой сети можно распределить в группы, причисляя к одной группе основные точки одинаковой кратности. При этом число групп в обеих плоскостях, связанных данным Кремоновым преобразованием, будет одно и то же; точно так же и числа основных точек, входящих в различные группы, будут в обеих плоскостях одни и те же. Так, например, в одном из Кремоновых преобразований 11-го порядка мы имеем в одной плоскости сеть с одною основною точкою 7-го порядка, двумя точками 4-го порядка, тремя — 3-го и тремя — 2-го; в другой плоскости мы имеем сеть, сопряженную с первою, имеющую три основных точки 5-го порядка, одну — 4-го, три 3-го и две — 1-го.

Clebsch заметил, что если мы возьмем в одной плоскости одну из групп основных точек одинаковой кратности $r_k$, число которых пусть будет $\mu$, а в другой плоскости также какую-нибудь группу основных точек одинаковой кратности $s_l$ число которых обозначим через $\nu$, то все $\mu \nu$ чисел ${\alpha }_{kl}$, соответствующие различным парам основных точек обеих групп, будут равны между собою, с тем исключением, что каждой группе первой плоскости $P$ будет соответствовать на второй плоскости группа $Q$, равная ей по числу входящих в нее точек, где каждой основной точке $A_k$ первой плоскости будет соответствовать одна определенная точка $B_l$ второй плоскости так, что соответствующие этим парам точек $\mu$ чисел ${\alpha }_{kl}$ будут отличаться от остальных $\mu (\mu -1)$ чисел и притом, как это заметил впервые Bertini, непременно на единицу. Ниже мы поясним на примере указанный здесь закон распределения чисел ${\alpha }_{kl}$.

В дальнейшем мы введем для Кремоновых сетей другие обозначения. Будем обозначать через $r_1,r_2,\dots ,s_1,s_2,\dots$ не кратности отдельных основных точек или центров сети, как мы это делали до сих пор, а кратности точек отдельных групп. Пусть в плоскости $P$ будет $q$ различных групп основных точек; пусть в первую группу входят $p_1$ основных точек кратности $r_1$ и т. д. Тогда мы будем иметь $p_1+p_2+\cdots +p_q=p$, где $p$ — общее число центров Кремоновой сети на плоскости $P$. Согласно сказанному выше, мы будем иметь и на второй плоскости $Q$ такое же число групп основных точек, при чем первой группе плоскости $P$ будет соответствовать на плоскости $Q$ группа также из $p_1$ центров определенной кратности $s_1$, второй — группа из $p_2$ центров кратности $s_2$ и т. д. Каждой паре основных точек $A_k,B_l$ обеих плоскостей, из которых $A_k$ принадлежит к $k$-той группе первой плоскости, а $B_l$ — к $l$-той группе второй плоскости, будет соответствовать по-прежнему определенное число ${\alpha }_{kl}$; при этом, если указатели $k$ и $l$ различны, то для всех основных точек с кратностями $r_k$ и $s_l$ число ${\alpha }_{kl}$ будет одно и то же; если же указатели $k$ и $l$ равны между собою и, следовательно, точки $A_k$ и $B_l$ принадлежат двум группам соответствующим одна другой в указанном выше смысле, то каждой из основных точек $k$-той группы первой плоскости будет соответствовать в $k$-той группе второй плоскости одна основная точка, для которой число ${\alpha }_{kk}$ заменится через ${\alpha }_{kk}+{\epsilon }_k$, где ${\epsilon }_k=\pm 1$.

Располагая в детерминанте Clebsch'a (7) ряды так, чтобы элементы, соответствующие членам одной и той же группы, стояли рядом, мы дадим ему в новых обозначениях следующий вид:

$N=\left|\begin{array}{cccccc}{\alpha }_{11}+{\epsilon }_1& {\alpha }_{11}& \cdots & {\alpha }_{12}& {\alpha }_{12}& \cdots \\ {\alpha }_{11}& {\alpha }_{11}+{\epsilon }_1& \cdots & {\alpha }_{12}& {\alpha }_{12}& \cdots \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots \\ {\alpha }_{21}& {\alpha }_{21}& \cdots & {\alpha }_{22}+{\epsilon }_2& {\alpha }_{22}& \cdots \\ {\alpha }_{21}& {\alpha }_{21}& \cdots & {\alpha }_{22}& {\alpha }_{22}+{\epsilon }_2& \cdots \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right|$

(10.)

Этот детерминант $p$-го порядка состоит из групп строк и столбцов по $p_1,p_2,\dots p_q$ рядов в каждой группе. Таким образом все элементы распадаются на $q^2$ прямоугольников, среди которых могут быть и квадраты. В каждом прямоугольнике все элементы ${\alpha }_{kl}$ равны между собою; исключение представляют квадраты, расположенные по главной диагонали детерминанта, в них диагональные элементы различаются от остальных на единицу.

Поясним сказанное на приведенном выше детерминанте 11-го порядка.

В нем мы имеем 9 основных точек, распадающихся на четыре группы. Таким образом в нашем случае

$n=11,p=9,q=4.$

Далее, имеем число центров в каждой группе и их кратности

$p_1=1,$	$p_2=2,$	$p_3=3,$	$p_4=3,$
$r_1=7,$	$r_2=4,$	$r_3=3,$	$r_4=2,$
$s_1=4,$	$s_2=1,$	$s_3=5,$	$s_4=3.$

По способу, который будет изложен в следующей статье, мы находим

${\alpha }_{11}=2,$	${\alpha }_{12}=1,$	${\alpha }_{13}=3,$	${\alpha }_{14}=2,$
${\alpha }_{21}=1,$	${\alpha }_{22}=0,$	${\alpha }_{23}=2,$	${\alpha }_{24}=1,$
${\alpha }_{31}=1,$	${\alpha }_{32}=0,$	${\alpha }_{33}=1,$	${\alpha }_{34}=1,$
${\alpha }_{41}=1,$	${\alpha }_{42}=0,$	${\alpha }_{43}=1,$	${\alpha }_{44}=0,$
${\epsilon }_1=+1,$	${\epsilon }_2=+1,$	${\epsilon }_3=+1,$	${\epsilon }_4=+1.$

Так как первая группа содержит только один центр, то мы могли бы положить не ${\alpha }_{11}=2,{\epsilon }_1=+1$, а ${\alpha }_{11}=4,{\epsilon }_1=-1$. Точно так же во вторую группу входят только два центра; поэтому мы могли бы положить не ${\alpha }_{22}=0$, $\epsilon =+1$, а ${\alpha }_{22}=1$, $\epsilon =-1$. Заметим еще, что в нашем примере на каждой из двух плоскостей имеется по две группы из трех центров, но соответственными в указанном выше смысле мы должны считать группу центров кратности 3 в первой плоскости с группою центров кратности 5 во второй плоскости и точно так же группу центров кратности 2 в первой плоскости и группу с кратностью 3 во второй плоскости, потому что только в числах соответствующих этим парам групп некоторые из чисел отличаются от остальных.

Составляя для данного примера детерминант (7), получим

3	1	1	3	3	3	2	2	2
1	1	0	2	2	2	1	1	1
1	0	1	2	2	2	1	1	1
1	0	0	2	1	1	1	1	1
1	0	0	1	2	1	1	1	1
1	0	0	1	1	2	1	1	1
1	0	0	1	1	1	1	0	0
1	0	0	1	1	1	0	1	0
1	0	0	1	1	1	0	0	1

Цветом показано разбиение членов ${\alpha }_{kl}$ на группы, соответствующие центрам одинаковой кратности. Мы видим, что в квадратах, расположенных по главной диагонали, диагональные элементы отличаются от остальных на единицу, тогда как в остальных прямоугольниках все элементы одинаковы.

6. Детерминант Clebsch'a (10) может быть преобразован в детерминант низшего порядка, что бывает полезно при его вычислении.

Рассмотрим в детерминанте (10) ряд столбцов, принадлежащих к одной и той же $l$-той группе, соответствующей $p_l$ основным точкам второй сети

$\begin{array}{cccc}{\alpha }_{1l}& {\alpha }_{1l}& \cdots & {\alpha }_{1l}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {\alpha }_{1l}& {\alpha }_{1l}& \cdots & {\alpha }_{1l}\\ {\alpha }_{2l}& {\alpha }_{2l}& \cdots & {\alpha }_{2l}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {\alpha }_{2l}& {\alpha }_{2l}& \cdots & {\alpha }_{2l}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {\alpha }_{ll}+{\epsilon }_l& {\alpha }_{ll}& \cdots & {\alpha }_{ll}\\ {\alpha }_{ll}& {\alpha }_{ll}+{\epsilon }_l& \cdots & {\alpha }_{ll}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {\alpha }_{ll}& {\alpha }_{ll}& \cdots & {\alpha }_{ll}+{\epsilon }_l\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\begin{array}{c}\}\begin{array}{c}\\ p_1\\ \end{array}\\ \}\begin{array}{c}\\ p_2\\ \end{array}\\ \}{p}_3,\dots p_{l-1}\\ \}\begin{array}{c}\\ p_l\\ \\ \end{array}\\ \}{p}_{l+1},\dots p_q\end{array}$

Эта полоса разбивается на прямоугольники по $p_1,p_2,\dots p_q$ строк, при чем в каждом прямоугольнике все элементы равны, и только в $l$-том квадрате диагональные элементы отличаются от остальных на положительную или отрицательную единицу. Вычитая элементы первого столбца из остальных, мы дадим им следующий вид

$\begin{array}{cccc}{\alpha }_{1l}& 0& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {\alpha }_{1l}& 0& \cdots & 0\\ {\alpha }_{2l}& 0& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {\alpha }_{2l}& 0& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {\alpha }_{ll}+{\epsilon }_l& -{\epsilon }_l& \cdots & -{\epsilon }_l\\ {\alpha }_{ll}& {\epsilon }_l& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {\alpha }_{ll}& 0& \cdots & {\epsilon }_l\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\begin{array}{c}\}\begin{array}{c}\\ p_1\\ \end{array}\\ \}\begin{array}{c}\\ p_2\\ \end{array}\\ \}{p}_3,\dots p_{l-1}\\ \}\begin{array}{c}\\ p_l\\ \\ \end{array}\\ \}{p}_{l+1},\dots p_q\end{array}$

Будем теперь в каждом прямоугольнике прикладывать элементы всех строк к элементам первой строки. Получим

$\begin{array}{cccc}{p}_1{\alpha }_{1l}& 0& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {\alpha }_{1l}& 0& \cdots & 0\\ p_2{\alpha }_{2l}& 0& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {\alpha }_{2l}& 0& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ p_l{\alpha }_{ll}+{\epsilon }_l& 0& \cdots & 0\\ {\alpha }_{ll}& {\epsilon }_l& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {\alpha }_{ll}& 0& \cdots & {\epsilon }_l\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\begin{array}{c}\}\begin{array}{c}\\ p_1\\ \end{array}\\ \}\begin{array}{c}\\ p_2\\ \end{array}\\ \}{p}_3,\dots p_{l-1}\\ \}\begin{array}{c}\\ p_l\\ \\ \end{array}\\ \}{p}_{l+1},\dots p_q\end{array}$

Если мы выполним такое преобразование над всеми полосами детерминанта (10), то мы дадим ему такой вид

$\left|\begin{array}{cccccccccc}{p}_1{\alpha }_{11}+{\epsilon }_1& 0& \cdots & 0& p_1{\alpha }_{12}& 0& \cdots & 0& p_1{\alpha }_{13}& \cdots \\ {\alpha }_{11}& {\epsilon }_1& \cdots & 0& {\alpha }_{12}& 0& \cdots & 0& {\alpha }_{13}& \cdots \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots \\ {\alpha }_{11}& 0& \cdots & {\epsilon }_1& {\alpha }_{12}& 0& \cdots & 0& {\alpha }_{13}& \cdots \\ p_2{\alpha }_{21}& 0& \cdots & 0& p_2{\alpha }_{22}+{\epsilon }_2& 0& \cdots & 0& p_2{\alpha }_{23}& \cdots \\ {\alpha }_{21}& 0& \cdots & 0& {\alpha }_{22}& {\epsilon }_2& \cdots & 0& {\alpha }_{23}& \cdots \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots \\ {\alpha }_{21}& 0& \cdots & 0& {\alpha }_{22}& 0& \cdots & {\epsilon }_2& {\alpha }_{23}& \cdots \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right|$

Полученный детерминант имеет следующее строение. Он состоит из $q$ вертикальных полос по $p_1,p_2,\dots p_q$ столбцов; в каждой полосе только первый столбец состоит целиком из элементов отличных от нуля; в каждом из остальных столбцов все члены, кроме одного — нули, а этот последний член равен соответственно ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots {\epsilon }_q$. Поэтому последний детерминант может быть приведен окончательно к следующему виду

${\epsilon }_1^{p_1-1}{\epsilon }_2^{p_2-1}\dots {\epsilon }_q^{p_q-1}\left|\begin{array}{cccc}{p}_1{\alpha }_{11}+{\epsilon }_1& p_1{\alpha }_{12}& \cdots & p_1{\alpha }_{1q}\\ p_2{\alpha }_{21}& p_2{\alpha }_{22}+{\epsilon }_2& \cdots & p_2{\alpha }_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ p_q{\alpha }_{q1}& p_q{\alpha }_{q2}& \cdots & p_q{\alpha }_{qq}+{\epsilon }_q\end{array}\right|$ Таким образом мы преобразовали детерминант Clebsch'a порядка $p$ в детерминант низшего порядка $q$. Отсюда, между прочим, получается соотношение

$\left|\begin{array}{cccc}{p}_1{\alpha }_{11}+{\epsilon }_1& p_1{\alpha }_{12}& \cdots & p_1{\alpha }_{1q}\\ p_2{\alpha }_{21}& p_2{\alpha }_{22}+{\epsilon }_2& \cdots & p_2{\alpha }_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ p_q{\alpha }_{q1}& p_q{\alpha }_{q2}& \cdots & p_q{\alpha }_{qq}+{\epsilon }_q\end{array}\right|=\pm n.$

Для разобранного выше примера это равенство принимает вид

$\left|\begin{array}{cccc}1.2+1& 1.1& 1.3& 1.2\\ 2.1& 2.0+1& 2.2& 2.1\\ 3.1& 3.0& 3.1+1& 3.1\\ 3.1& 3.0& 3.1& 3.0+1\end{array}\right|=-11.$

7. В Кремоновых преобразованиях иногда бывает удобно присоединять к основным точкам сети другие дополнительные основные точки, взятые в той или другой точке плоскости. Так как кривые сети имеют кратные точки только в основных точках сети и сходятся все только в них, то эти новые основные точки мы должны рассматривать как точки нулевой кратности. Посмотрим, какие характеристические числа мы должны приписать каждому такому центру нулевой кратности. Пусть между плоскостями $P$, $Q$ установлено Кремоново преобразование, характеристические числа которых удовлетворяют соотношениям (1)—(6). Прибавим теперь на первой плоскости еще $\pi$ новых центров $A_k$, указатели которых изменяются от $p+1$ до $p+\pi$. Так как на обеих плоскостях должно быть одинаковое число центров, то и на плоскости $Q$ должно взять $\pi$ новых центров $B_l$ ($l=p+1,\dots p+\pi$). Будем обозначать по прежнему через $r_k,s_l$ ($k,l=p+1,\dots p+\pi$) кратности новых основных точек и через ${\alpha }_{kl}$ их характеристические числа. Тогда формулы (1), (2) примут следующий вид

$\sum _{k=1}^{p+\pi }{r}_k^2=n^2-1,\sum _{k=1}^{p+\pi }{r}_k=3(n-1)$

(1'.)

$\sum _{l=1}^{p+\pi }{s}_s^2=n^2-1,\sum _{l=1}^{p+\pi }{s}_l=3(n-1)$

(2'.)

Вычитая (1) из (1'), имеем

$\sum _{k=p+1}^{p+\pi }{r}_k^2=0,\sum _{l=p+1}^{p+\pi }{s}_l^2=0$

(3'.)

Отсюда видно, что все указатели $r_k$, $s_l$, соответствующие новым основным точкам, равны нулю, т.-е. что это основные точки нулевой кратности, как это мы видели выше.

Так как каждой основной точке Кремоновой сети в одной плоскости соответствует в другой плоскости основная линия, порядок которой равен кратности соответствующей ей основной точки, то, вводя в каждой сети $\pi$ основных точек нулевой кратности, мы вместе с тем должны ввести столько же основных линий нулевого порядка. Посмотрим, какие значения должны мы приписать характеристическим числам ${\alpha }_{kl}$ для этих линий. Давая в первой формуле (4) указателю $l$ значение, не превосходящее $p$, и распространяя суммирование на все значения $k$ от 1 до $p+\pi$, мы получим

$\sum _{k=1}^{p+\pi }{\alpha }_{kl}^2=s_l^2+1$.

(4'.)

Вычитая отсюда первое равенство (4), будем иметь

$\sum _{k=p+1}^{p+\pi }{\alpha }_{kl}^2=s_l^2+1$. Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/17 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/18 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/19 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/20 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/21 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/22 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/23 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/24 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/25 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/26 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/27 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/28 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/29 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/30 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/31 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/32 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/33 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/34 Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/35

Примечания