одпоименной правильный мн-къ (черт. 292). Обозначимъ площадь перваго Qi а площадь вторсго q. Если станемъ удваивать число сторонъ этихъ мн-ковъ, то величины Q и q сдѣлаются перемѣнными, тогда какъ величина K останется неизмѣнной. Tpeбуется доказать, что при неограниченномъ удвоеніи числа сторонъ мн-ковъ перемѣнныя величины Q и q стремятся къ одному и тому же предѣлу, именно къ площади К.
Очевидно, что, каково бы ни было число сторонъ мн-ковъ, всегда Q>K>q и потому каждая изъ двухъ разностей: Q-K и K-q всегда меньше разности Q-q. Ho при неограниченномъ удвоеніи числа сторонъ мн-ковъ разность Q-q согласно леммѣ 2-й, стремится къ нулю; слѣд., при этомъ каждая изъ меньшихъ разностей: Q—K и K—q и подавно стремится къ нулю; а это, согласно опредѣленію предѣла, означаетъ, что пред. Q=K и пред. q=K.
333. Замѣчаніе. Можно также утверждать, что длина окружности есть общій предѣлъ периметровъ правильныхъ вписанныхъ въ эту окружность и описанныхъ около нея многоугольниковъ при неограниченномъ удвоеніи числа ихъ сторонъ. Дѣйствительно, изъ того обстоятельства, что разность P-p стремится къ нулю (831), надо заключить, что перемѣнные периметры P и p могутъ стремиться только къ одному и тому же предѣлу; но предѣлъ p есть то, что принимается за длину окружности; значитъ, и предѣлъ P есть тоже длина окружности.
334. Теорема. Площадь круга равна произведенію длины окружности на половину радіуса.
Пусть R, K и C означаютъ радіусъ, площадь и длину данной окружности, a q, p и a—площадь, периметръ и апоѳему какого-нибудь правильнаго вписаннаго многоугольника. Тогда можемъ написать (318): 1 д=р.-в. [1] Вообразимъ теперь, что число сторонъ вписаннаго многоугольника неограниченно удваивается. Тогда величины q, р и a дѣлаются перемѣнными, при чемъ первая имѣетъ предѣломъ площадь круга К, вторая—длину окружности С, а третья—радіусъ ея R. Такъ какъ при этомъ равенство [1] остается постолнно
