Страница:А. П. Киселёв. Элементарная геометрия (1914).djvu/332

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Эта страница не была вычитана


Объемъ прямОугольнаго параллелепипсда.

426. Теорема. Объемъ прямоугольнаго параллелепипеда равенъ произведенію трехъ его измѣреній.

Въ такомъ краткомъ выраженіи теорему эту надо понимать такь: число, выражающее объемъ прямо- угольнаго параллелепипеда въ к у б и ч е - ской единицѣ, равно произведенію чиселъ, выражаюхцихъ три его измѣренія въ соот- вѣтствующей линейной единидѣ, т.-е. въ той едиЕИцѣ, которая служитъ ребромъ куба, объемъ котораго при- нятъ за кубическую единицу. Такъ, если х есть число, выражаю- щее объемъ прямоугольнаго параллелепипеда въ кубиче- скихъ сантиметрахъ, и а, Ъ п с числа, выражающія три его измѣренія въ линейныхъ сантиметрахъ, то теорема утверждаетъ, что х=аЪс.

При доказатёльствѣ разсмотримъ особо слѣдуіоіціе три случая:

1°. Всѣ три измѣренія выражаются цѣ- л ы м и ч и с л а м и.

Пусть, напр., измѣренія будутъ (черт. 373): АВ=а, ВС=Ъ Ii BD=C, гдѣ а, Ъ и с какія-нибудь дѣлыя числа (напр., какъ изображено у насъ на чертежѣ: а=4, Ь= 2 и с=б).

Тогда основаніе параллелепи- педа содержитъ аЬ такихъ ква- дратовъ, изъ которыхъ каждый представляетъ собою соотвѣт- ствующую квадратную единицу. Ha каждомъ изъ этихъ квадра- товъ, очезидно, можно номѣстптъ но одной кубической единицѣ. Тогда получится слой (изобра- женный на чертежѣ), состоящій изъ аЪ куб. единицъ. Такъ какъ высота этого слоя равна 1 линей- ной единидѣ, а высота всего па- раллелепипеда содержитъ с такихъ едіпшцъ. то внутри паралле-