3. Какъ извѣстно, въ алгебрѣ существуютъ статьи, которыя не могутъ быть строго обоснованы въ элементарномъ курсѣ, но безъ которыхъ этотъ курсъ не обходится (напр., дѣйствія надъ несоизмѣримыми числами). Въ элементарной геометріи къ такого рода статьямъ относится способъ предѣловъ. Для строгаго доказательства этого способа потребовалось бы ввести въ курсъ геометріи теорію предѣловъ почти въ такомъ размѣрѣ, въ какомъ эта статья проходится въ седьмомъ классѣ реальныхъ училищъ. Чтобы научно обосновать, напримѣръ, нахожденіе предѣла формулы объема усѣченной пирамиды [], слѣдовало бы предварительно установить теоремы о предѣлѣ суммы, произведенія и корня, а для этого, въ свою очередь, пришлось бы ввести нѣкоторыя теоремы о безконечномалыхъ величинахъ. Само собою разумѣется, что въ такомъ видѣ статья о предѣлахъ не можетъ быть пройдена въ среднихъ классахъ нашихъ учебныхъ заведеній. Съ другой стороны, обойтись совсѣмъ безъ способа предѣловъ въ элементарной геометріи невозможно. Пo необходимости здѣсь приходится поступиться строгостью изложенія въ пользу его краткости и доступности. Поэтому мы сочли за лучшее, доказавъ двѣ извѣстныя теоремы о предѣлахъ, указать затѣмъ безъ доказательства основной принципъ способа предѣловъ, состоящій въ томъ, что равенство, вѣрное при всевозможныхъ значеніяіъ перемѣнныхъ, остается вѣрнымъ и тогда, когда вмѣсто перемѣнныхъ подставимъ ихъ предѣлы.
4. Въ большинствѣ русскихъ оригинальныхъ учебниковъ геометріи теоремы о равенствѣ несоизмѣримыхъ отношеній доказываются отъ противнаго. Мы предпочли другой путь. Прежде чѣмь доказывать равенство, необходимо точно установить, что разумѣется подъ этимъ терминомъ. Если же поставимъ вопросъ, что такое равенство несоизмѣримыхъ отношеній, то наиболѣе простой отвѣтъ на него будетъ слѣдующій: несоизмѣримыя отношенія считаются равными, если равны ихъ приближенныя значенія, вычисленныя произвольною, но одинаковою точностью. Принявъ это предложеніе, опредѣленіе равенства, мы не нуждаемся болѣе въ косвенномъ и тяжеломъ доказательствѣ отъ противнаго; его всегда можно замѣнить прямымъ доказательствомъ, и болѣе простымъ, и болѣе яснымъ.
5. Нѣкоторыя статьи изложены въ предлагаемомъ рукободствѣ, какъ кажется, проще, чѣмъ въ распространенныхъ наших ученикахъ. Таковы, напр., статьи: о параллельныхъ прямыхъ, объ отно-
