DAB11, которые равны, потому что у нихъ: AD общая сторона, AB=AB11 по условію и ∟ BAD = ∟ DAB11, такъ какъ прямая AB дѣлитъ пополамъ уголъ BAB11. Изъ равенства тр-ковъ слѣдуетъ: BD=DB11. Теперь изъ △ DCB11 выводимъ: B11D+DC>B11C (52), или (замѣнивъ B11D на BD):
BD+DC>B11C, т.-е. BC>B1C1.
Если допустимъ, что A<A1, то такъ же докажемъ, что тогда BC<B1C1.
2°. Пусть въ тѣхъ же треугольникахъ дано:
AB=A1B1, AC=A1C1, но BC≠B1C1.
Требуется доказать, что если BC>B1C1, то и A>A1, если же BC<B1C1, то и A<A1. — Предположимъ, что BC>B1C1; докажемъ, что A>A1. Допустимъ противное, что A не больше A1; тогда могутъ представиться два случая: или A=A1, или A<A1. Въ первомъ случаѣ тр-ки были бы равны и, слѣд., сторона BC равнялась бы B1C1, что противорѣчитъ условію; во второмъ случаѣ сторона BС, согласно теоремѣ 1°, была бы меньше B1С1, что также противорѣчитъ условію. Значитъ, оба эти случая исключаются; остается одинъ возможный случай, что A>A1.
Если допустимъ, что BC<B1C1, то такъ же докажемъ, что
тогда и A<A1.
Г Л A B A III.
Перпендикуляры и наклонныя.
59,1. Теорема. Перпендикуляръ, опущенный изъ точки на прямую, короче всякой наклонной, проведенной изъ той же точки на эту прямую.
Пусть AB (черт. 54) есть перпендикуляръ, опущенный изъ точки A на прямую MN, и AC какая-нибудь наклонная, проведенная изъ той же точки A къ прямой MN. Требуется доказать, что AB<AC. — Въ △ ABC уголъ B прямой, а противъ прямого угла лежитъ большая сторона (50 ,2°); слѣд.,
AC>AB.
