Замѣчаніе. Когда говорятъ: «разстояніе точки отъ прямой», то разумѣють разстояніе, измѣряемое по перпендикуляру, опущенному изъ этой точки на прямую.
59,2.Теорема. Если изъ одной и той же точки, взятой внѣ прямой, проведены къ этой прямой перпендикуляръ и какія-нибудь наклонныя, то:
1°, если основанія двухъ наклонныхъ одинаково удалены отъ основанія перпендикуляра, то такія наклонныя равны;
2°, если основанія двухъ наклонныхъ не одинаково удалены отъ основанія перпендикуляра, то та изъ наклонныхъ больше, которой основаніе дальше отстоитъ отъ основанія перпендикуляра.
1°. Пусть AC и AD (черт. 54) будуть двѣ такія наклонныя, проведенныя изъ точки A къ прямой MN, которыхъ основанія C и D одинаково удалены отъ основанія перпендикуляра AB, т.-е. CB = BD; требуется доказать, что AC=AD. Въ тр-кахъ ABC и ABD есть общая сторона AB и сверхъ того BC=BD (по условію) и ∟ ABC = ∟ ABD (какъ углы прямые); значитъ, эти тр-ки равны, и потому AC=AD.
Черт. 54.
2°. Пусть AC и AE (черт. 54) будутъ двѣ такія наклонныя, проведенныя изъ точки A къ прямой MN, которыхъ основанія неодинаково удалены отъ основанія перпендикуляра AB; напр., пусть BE>BC; требуется доказать, что AE>AC. — Отложимъ BD=BC и проведемъ AD. По доказанному выше, AD=AC. Сравнимъ AE съ AD. Уголъ ADE есть внѣшній по отношенію к △ ADB и потому онъ больше прямого угла ABD; слѣд., ∟ ADE тупой; но въ △ противъ тупого угла должна лежать большая сторона (50, 2°); значитъ, AE>AD и, слѣд., AE>AC.
60. Обратныя предложенія. Въ предыдущей теоремѣ разсмотрѣны всевозможные взаимно исключающіе случаи относительно равенства или неравенства разстояній основаній наклонныхъ отъ основанія перпендикуляра; при этомъ получились взаимно исключающіе выводы относительно равенства или
