Черт. 57.
1°. Пусть точка M (черт. 57) одинаково удалена отъ концовъ отрѣзка прямой AB, т.-е. пусть MA=MB; требуется доказать, что точка M лежитъ на перпендикулярѣ, проведенномъ къ прямой AB черезъ ея середину. — Проведемъ биссектриссу MO угла АМВ. Такъ какъ тр-къ AMB равнобедренный, то эта
биссектрисса служитъ въ ней высотою и медіаною (38); значитъ, точка M лежитъ на перпендикулярѣ къ прямой AB, дѣлящемъ ее пополамъ.
2°. Пусть OM (черт. 57) есть перпендикуляръ проведенный къ отрѣзку AB черезъ его середину, и M какая-нибудь точка на немъ; требуется доказать, что эта точка одинаково удалена отъ концовъ AB, т.-е,. что MA=MB. — Прямыя MA и MB суть наклонныя къ AB, одинаково удаленныя отъ основанія перпендикуляра MO; а такія наклонныя равны; слѣд., MA=MB.
64. Слѣдствіе. Изъ двухъ доказанныхъ теоремъ, прямой и обратной, можно вывести слѣдствіе, что теоремы, противоположныя имъ, также вѣрны (4), т.-е. что (черт. 58):
если какая-нибудь точка (M) не одинаково удалена отъ концовъ отрѣзка прямой (AB), то она не лежитъ на перпендикулярѣ (CD) къ
этому отрѣзку, проведенномъ черезъ его середину (O);
если какая-нибудь точка не лежитъ на перпендикулярѣ къ отрѣзку прямой,
проведенномъ черезъ его середину, то она не одинаково удалена отъ концовъ этого
отрѣзка.
Черт. 58.
Предлагаемъ учащимся самимъ доказать эти противоположныя предложенія (разсужденіемъ отъ противнаго).
