Страница:БСЭ-1 Том 37. Лилль - Маммалогия (1938).pdf/170

Эта страница была вычитана

что она не только не отменяет логику в целом, но, наоборот, предполагает ее, показало, что переход к логическому исчислению возможен лишь на ее основе. Вместе с тем развитие Л. м. доказало не только недостаточность аристотелевской логики силлогизма (см.) для обоснования даже самых элементарных частей математики (арифметики натуральных чисел). Полностью провалилась идеалистическая метафизическая идея создания универсального логического исчисления, независимого от конкретного содержания тех областей, к которым оно применяется. Все попытки логистов (см. Логистика), стремившихся построить такое формальное и универсальное (по выражению Ресселя, пригодное во всех возможных мирах) логическое исчисление, кончились крахом. Это лишний раз подтверждает правильность материалистич. диалектики, к-рая учит о конкретности истины.

Л. м. пользуется широко развитой символической записью. К столь характерной для Л. м. символике, больше чем к какой-либо другой, относятся замечания В. И. Ленина: Отметить лишь, стр. [224], замечания о символах, что против них вообще ничего иметь нельзя. Но „против всякой символики“ надо сказать, что она иногда является „удобным средством обойтись без того, чтобы охватить, указать, оправдать „определения понятий“. А именно в этом дело философии» (Ленин, Философские тетради, М., 1936, стр. 117-118).

Самой элементарной частью Л. м. является логика предложений, рассматривающая предложения лишь как целые, которые можно комбинировать друг с другом посредством различных логических операций, но к-рые еще не рассматриваются в их связи с входящими в них понятиями. По содержанию эта часть Л. м, эквивалентна нек-рой арифметике двух чисел (напр., 1 и 0) или комбинаторике из двух объектов.

В логике предложений рассматриваются обычно 5 основных операций, позволяющих из предложений $P,Q,R...,$ каждое из к-рых либо истинно либо ложно и притом только одно из двух (высказывания, не подходящие под это требование, в этой части логики просто не рассматриваются), образовывать новые (сложные) предложения (приводимые ниже обозначения операций известны каждому исследователю в области Л. м., но не общеприняты; вполне единообразной символики не существует): 1) Операция отрицания, символически выражаемая либо чертой над предложением либо поставленным перед ним знаком $\rightharpoondown$ . 2) Операция, выражением к-рой в разговорной речи служит союз «и». Для символического выражения ее пользуются знаком $\&$ . Из двух предложений $P$ и $Q$ с помощью этой операции образуется одно (сложное) предложение $P~\&~Q$ , истинное только в случае истинности каждого из предложений $P$ и $Q$ и ложное во всех остальных случаях. 3) Операция, соответствующая отчасти союзу «или» и обозначаемая знаком $\lor$ . Предложение $P~\lor ~Q$ ложно только в случае ложности каждого из предложений $P$ и $Q$ и истинно во всех остальных случаях. 4) Операция, соответствующая образованию условного предложения (если... то ) и обозначаемая символом $\Rightarrow$ или $\supset$ . Предложение $P~\supset ~Q$ (или в другой символике $P~\Rightarrow ~Q$ ) считается обычно ложным только в случае истинности предложения $P$ и ложности $Q$ : формулу $P~\supset ~Q$ читают часто: « $P$ влечет $Q$ ». 5) Операция, соответствующая термину равносильно и обозначаемая знаком $\equiv$ . Предложение $P~\equiv ~Q$ истинно в случае одновременной истинности или ложности предложений $P$ и $Q$ .

Некоторые из этих операций, однако, могут быть сведены к другим. Так, предложение $P~\supset ~Q$ можно заменить предложением $\rightharpoondown P~\lor ~Q$ («неверно $P$ или же верно $Q$ »); предложение $P~\equiv ~Q$ — предложением $(P~\supset ~Q)~\&~(Q~\supset ~P)$ ( $P$ равносильно $Q$ означает, таким образом, то же самое, что « $P$ влечет $Q$ и $Q$ влечет $P$ »).

Нетрудно заметить, что некоторые из образованных с помощью этих операций сложные предложения будут всегда истинными независимо от истинности или ложности входящих в них предложений $P,Q,R....$ Таково, напр., предложение, выражающее коммутативность операции $\&$ , т. е. независимость сложного предложения $P~\&~Q$ от порядка предложений $P,~Q$ : $P~\&~Q~\equiv ~Q~\&~P$ ; или предложение $P~\lor ~\rightharpoondown P$ , выражающее закон исключенного третьего (применимость его к логике предложений обусловливается сделанными нами в отношении предложений $P,Q,R....$ допущениями и нашим определением операции). Такие всегда истинные предложения носят название логических, или тождественных. Они выражают законы логики.

Для логики предложений проблема paзpешимости, т. е. проблема создания регулярного способа вычислений (алгоритма), позволяющего совершенно механически, применяя правила, выяснить, представляет ли произвольно заданная формула правильное предложение или нет, решается полностью, ибо здесь нетрудно установить критерий, позволяющий с помощью конечного числа операций решить вопрос о том, имеем ли мы дело с предложением тождественным (всегда истинным), всегда ложным или иногда истинным, иногда ложным. Несмотря на то, что, применяя к предложениям $P,Q,R....$ рассмотренные нами операции, мы можем получить принципиально неограниченное число логических, или тождественных выражений, все они, однако, могут быть выведены из небольшого числа принятых за аксиомы предложений с помощью небольшого же числа простых правил, т. е. сама логика предложений тоже может быть построена, как дедуктивная система. В качестве такой системы аксиом можно выбрать, напр., следующую:

I.	1) $A~\supset ~(B~\supset ~A),$
	2) $(A~\supset ~(A~\supset ~B))~\supset ~(A~\supset ~B),$
	3) $(A~\supset ~B)~\supset ~((B~\supset ~C)~\supset ~(A~\supset ~C)).$

II.	1) $(A~\&~B)~\supset ~A,$
	2) $(A~\&~B)~\supset ~B,$
	3) $(A~\supset ~B)~\supset ~((A~\supset ~C)~\supset ~(A~\supset ~(B~\&~C))).$

III.	1) $A~\supset ~(A~\lor ~B),$
	2) $B~\supset ~(A~\lor ~B),$
	3) $(A~\supset ~C)~\supset ~((B~\supset ~C)~\supset ~((A~\lor ~B)~\supset ~C)).$

IV.	1) $\rightharpoondown ~A~\supset ~(A~\supset ~B),$
	2) $(A~\supset ~B)~\supset ~((A~\supset ~\rightharpoondown ~B)~\supset ~\rightharpoondown ~A),$
	3) $(A~\supset ~B)~\supset ~((\rightharpoondown ~A~\supset ~B)~\supset ~B).$

Можно сказать, что аксиомы первой группы определяют при этом операцию «если... то», второй — «и», третьей — «или», четвертой — «отрицания».

Особого внимания заслуживает четвертая группа аксиом (аксиомы отрицания). Аксиома IV, 1) может быть. словесно изложена так: «если $A$ ложно, то предположение, что $A$ истинно, повлечет как следствие истинность любого предложения $B$ ». Так, напр., ебли предположить. что $0=1$ , то отсюда получится как следствие любое равенство между числами как любое верное, так и любое неверное равенство. Принцип, выражаемый этой аксиомой, отсутствовал в логике Аристотеля. Аксиома IV, 2) влечет за собой предложение $\rightharpoondown ~(A~\&~\rightharpoondown ~A).$ Это — принцип противоречия в логике Аристотеля: «одно и то же предложение $A$ не может быть и истинно и ложно». Аксиома IV, 3) влечет за собой предложение $A~\lor ~\rightharpoondown ~A.$ Это — принцип исключенного третьего в логике Аристотеля: «любое предложение $A$ или истинно или ложно». Приведенные аксиомы дают только описание операций над предложениями. Для того же, чтобы иметь возможность делать выводы из этих аксиом, надо установить еще правила, следуя к-рым должны делаться эти выводы. Таких правил достаточно установить три: $\alpha$ ) предложения, выражаемые аксиомами I, 1)—IV, 3), всегда истинны; $\beta$ ) если предложение, составленное посредством нек-рых операций над предложениями $A,B,...,$ всегда истинно, то и после замены здесь одного на предложений $A,B,...$ каким угодно, но одним и тем же предложением, получается предложение, всегда истинное; $\gamma$ ) если предложение $A$ и $A~\supset ~B$ истинны, то и предложение $B$ истинно. Так, напр., из аксиомы I, 1) по правилу $\beta$ ) (после замены предложения $B$ предложением $A)$ получается

$A~\supset ~(A~\supset ~A),$

(1)

‎Точно так же из аксиомы I, 2) по правилу $\beta$ ) (после замены предложения $B$ предложением $A)$ получается

$(A~\supset ~(A~\supset ~A))~\supset ~(A~\supset ~A).$

(2)

‎Наконец, из (1) и (2) по правилу $\gamma$ ) [где в качестве предложения $A$ берется предложение $A~\supset ~(A~\supset ~A),$ а в качестве предложеция $B$ ― предложение $A~\supset ~A$ ] выводится $A~\supset ~A.$ Это ― то, что соответствует принципу тождества в логике Аристотеля.

Хотя логика предложений (или какая-нибудь ее модификация) составляет неизбежную часть всякой развитой Л. м., однако одной ее недостаточно даже для простейших математич. выводов. Первая серьезная попытка обоснования математики с помощью Л. м. привела поэтому к необходимости расширить эту логику и создать т. н. логику функций, или отношений.