Эта часть логики оперирует уже не только с предложениями как целыми, но и с понятиями, или отношениями (функциями). Предложение рассматривается при этом как образуемое из функций по определенным правилам. Так, выражение есть не предложение, а функция, или отношение, превращающееся в предложение при подстановке вместо переменных и объектов той области, для к-рой имеет смысл это отношение (напр. чисел), а также т. н. кванторов — терминов: «все» и «существует». Например, из функции можно получить предложения (как истинные, так и ложные):
1) (истина),
2) (ложь),
3) Существует , для которого (истина). В символах Л. м.
4) Для всех (ложь). В символах Л. м.
Нужно отметить, что введение кванторов «все» и «существует» для конечных областей не означает ничего нового, ибо утверждение, напр., что «все трехзначные целые числа, оканчивающиеся двумя нолями, делятся на 25», означает только, что « делится на и делится на и делится на и .. и делится на », т. е. квантор «все» равносилен в этом случае несколько раз примененной операции Точно так же утверждение, что «существует трехзначное число, оканчивающееся двумя нолями и делящееся на », означает только: «или делится на , или делится на , или делится на , или ... или делится на », т. е. квантор «существует» равносилен в этом случае несколько раз примененной операции
Если означает какую-нибудь функцию, — переменный объект области, к к-рой она отнесена, — некоторый объект той же области, то нетрудно показать, что для конечных областей всегда истинны выражения:
Однако в случае бесконечных областей (арифметика, оперирующая с натуральными числами, имеет дело с бесконечной областью) предложения эти становятся недоказуемыми и должны быть приняты как новые аксиомы, определяющие кванторы «все» и «существует». Введение этих кванторов в этом случае равносильно как бы введению бесконечного числа операций и , и можно сказать, что переход от логики предложений к логике функций аналогичен в известном смысле переходу от элементарной алгебры к анализу бесконечно-малых. В соответствии с введением новых родов переменных (переменных функций и объектов) приходится не только расширять при этом систему аксиом, но и значительно усложнять (и конкретизировать) правило подстановки Если для логики предложений проблема разрешимости решается полностью, то здесь она решена лишь в ряде отдельных случаев.
И созданием логики функций не исчерпывается, однако, Л. м. При переходе к более конкретным областям математики приходится усложнять и конкретизировать и самое логическое исчисление. В частности, теоремы арифметики трактуют не только об объектах определенной области, но и об имеющих среди них место отношениях. Самое отношение, таким образом, тоже может быть подставлено на место переменной в функцию.
В начале развития Л. м. была сделана соблазнительная попытка построить такую систему знаков и правил, которые позволили бы сразу охватить обыкновенные логические функции (функции первого порядка), функции второго порядка, допускающие в качестве аргументов функции первого порядка, и т. д. Однако вскоре обнаружилось (см. Парадоксы математические), что такая универсальная система Л. м. неизбежно приводит к формальным противоречиям. Дальнейшие исследования сделали еще более ясным, что все логические средства, могущие понадобиться математике, не могут быть соединены в одну формально непротиворечивую систему, допускающую единообразную символическую запись. Всякая такая формальная и символизированная система отщепляет лишь некоторую часть необходимых в диалектическом развитии науки логических средств. Построение Л. м., таким образом, возможно только на основе содержательного и притом диалектического мышления, только набазе материалистической диалектики. Тесная историч. связь Л. м. с идеалистич. философией разных толков привела к тому, что с этой дисциплиной связаны различные идеалистич. спекуляции, особенно ярко проявившиеся в так называемой логистике (см.). См. также Формализм в философии математики, Интуиционизм, Конвенционализм.
Лит.: Вейль Г., О философии математики. Сборник работ, пер. с нем., М. — Л., 1934; Гейтинг А., Обзор исследований по основаниям математики. Интуиционизм — теория доказательства, пер. с нем., М. — Л., 1936; Couturat L., L’algèbre de la logique, Р., 1905 (есть рус. пер.: Кутюра Л., Алгебра логики, Одесса, 1909); Whitehead А. N. and Russell В., Prlncipia mathematica, v. I — III, Cambridge, 1910—13; Hilbert D. und Ackermann W., Grundzuge der theoretischen Logik, Berlin, 1928; Hilbert D. und Вernaуs P., Grundlagen der Mathematik, [Bd] I, Berlin, 1934.
ЛОГИСТИКА, одно из направлений современной буржуазной философии, в основе своей идеалистическое и метафизическое и в наст. время представляющее собой простое соединение путаного субъективного идеализма в стиле Маха с метафизич. формализмом, пытающимся опереться на математику. Логисты (Фреге, Рессель, Кутюра, отчасти Витгенштейн, а также философы т. н. Венской школы — Карнап, Шлик, Ган и др.) рассматривают математику в отрыве от материальной действительности, не как науку о количественных и пространственных отношениях вещей действительного мира, а лишь как часть логики. Последняя же, с точки зрения признанного главы школы логистов Бертрана Ресселя, сама есть наука, относящаяся не к действительному, а лишь к возможному миру, — возможность при этом не только противополагается, но и отрывается от действительности. [На самом же деле, чтобы проверить возможность нек-рой системы аксиом (их совместность друг с другом), в том числе и аксиом логики, нужно отыскать систему действительных объектов, в к-рой они осуществляются]. Отсюда его известное «определение» математики как науки, «не знающей, о чем она говорит, и не знающей, верно ли то, что она говорит». Чтобы обосновать положение о том, что математика есть часть логики, логистам пришлось пересмотреть традиционную логику. Однако, критикуя аристотелевскую силлогистику, они сами целиком и полностью остаются на почве формальной логики, т. к. рассматривают логич. предложения (истины логики) как совершенно не зависимые от какого бы то ни было содержания и правильные только в силу своей формы.
Несмотря на то, что во взглядах логистов не существует полного единства, в целом направление все более эволюционирует от объективного идеализма (Фреге, Рессель в своих первых работах, см., например, «Проблемы философии», П., 1915) к субъективному идеализму махистского толка с элементами уже и откровенной мистики. Необходимо отметить все возрастающую реакционность этого направления; некоторые из логистов открыто объявляют себя противниками диалектического материализма (так, например, в последнее время Рессель напечатал направленную против марксизма статью в одном американском журнале). Когда в ходе действительного развития науки установки Маха, бравшего на себя смелость говорить от имени современного естествознания, оказались опровергнутыми, последователи Маха (к числу которых в первую очередь
