Страница:Дифференциальное и интегральное исчисление (Коши).djvu/18

Когда функцiи одной или нѣсколькихъ измѣняемыхъ, какъ въ предъидущихъ примѣрахъ, непострдственно выражены чрезъ сiи самыя перемѣнныя, то онѣ называются функцiями явными. Но когда извѣстны однѣ только отношенiя между функцiями и измѣняемымт независимыми величинами, то есть, уравненiя, которымъ всѣ сiи количества должны удовлетворять, то, доколѣ сiи уравненiя не будутъ рѣшены, функцiи, не бывъ выражены непосредственно чрезъ перемѣнныя, называются функцiями неявными. Чтобы сдѣлать ихъ явными, стоитъ только, ежели сiе возможно, рѣшить уравненiя ихъ опредѣляющiя. На примѣръ, пусть будетъ $y$ функцiя неявная перемѣнной $x,$ опредѣляемая уравненiемъ

$$L(y)=x$$

ежели представимъ чрезъ $A$ основанiе разсматриваемой нами системы логариѳмовъ, то таже самая функця, сдѣлается явною чрезъ рѣшенiе даннаго уравненiя, и будетъ

$$y=A^{x}.$$

Когда потребуестя означить явную функцiю одной перемѣнной $x,$ или многихъ $x,y,z.....$ не опредѣляя именно какая функцiя, то употребляютъ обыкновенно одно изъ слѣдующихъ знакоположенiй:

$f(x),F(x),\phi (x),\psi (x),\omega (x),...$ и проч.$f(x,y,z,...),F(x,y,z,...),\phi (x,y,z,...),$ и проч.

Въ вычисленiяхъ употребляютъ часто букву Δ для означенiя приращенiй двухъ измѣняемыхъ велечинъ, зависящихъ одна отъ другой. И такъ, ежели перемѣнная $y$ выражена чрезъ функцiю уравненiемъ

(I) ${\textstyle y=f(x)}$,

то $\Delta y$, или приращенiе перемѣнной $y$ соотвѣтствующее приращенiю $\Delta x$ перемѣнной $x$, определится формулою