Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 1.djvu/176

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эта страница была вычитана

сѣкущія, находится на самой кривой, и при помощи свойствъ круга онъ превращалъ уравненіе, выражающее теорему, въ другое, содержащее хорду круга кривизны кривой въ неподвижной точкѣ. Этимъ путемъ онъ получилъ двѣ другія теоремы, служившія ему для построенія круга кривизны и для дифференціальнаго выраженія радіуса кривизны.

Такое геометрическое построеніе круга кривизны прямо на чертежѣ, безъ помощи теоріи флюксій и даже безъ помощи Декартова анализа, оставалось, кажется, незамѣченнымъ въ сочиненіи Маклорена и мы не знаемъ, говорилось ли о немъ когда-нибудь. Мы думаемъ однако, что оно заслуживаетъ вниманія, потому что до сихъ поръ задача эта считалась разрѣшимою не иначе какъ при пособіи анализа.

Маклоренъ предполагаетъ извѣстнымъ направленіе нормали въ той точкѣ, для которой опредѣляется кругъ кривизны. Удивительно, что ему не пришло на мысль построить и нормаль путемъ чисто геометрическимъ, безъ помощи анализа. Задача эта того же рода, какъ и задача о кругѣ кривизны, и даже проще ея. Мы нашли очень простое построеніе той и другой, вытекающее изъ третьей теоремы Ньютона. Въ то время мы не знали еще, что построеніе круга кривизны уже существуетъ; рѣшеніе наше впрочемъ совершенно отличается отъ рѣшенія Маклорена, потому что основывается на другомъ свойствѣ геометрическихъ кривыхъ.

8. Четыре общія теоремы, о которыхъ мы говорили, составляютъ предметъ перваго отдѣла въ сочиненіи Маклорена. Въ двухъ другихъ отдѣлахъ находятся приложенія этихъ теоремъ къ коническимъ сѣченіямъ и къ кривымъ третьяго порядка.

Во второмъ отдѣлѣ мы встрѣчаемъ различныя свойства гармоническаго дѣленія сѣкущихъ въ коническомъ сѣченіи и теорему о вписанномъ четыреугольникѣ (которую мы вывели изъ шестиугольника Паскаля [въ прим. къ n° 16 гл. II]), заключающую въ себѣ теорію полюсовъ. Теорема о шестиугольникѣ изложена здѣсь


Тот же текст в современной орфографии

секущие, находится на самой кривой, и при помощи свойств круга он превращал уравнение, выражающее теорему, в другое, содержащее хорду круга кривизны кривой в неподвижной точке. Этим путем он получил две другие теоремы, служившие ему для построения круга кривизны и для дифференциального выражения радиуса кривизны.

Такое геометрическое построение круга кривизны прямо на чертеже, без помощи теории флюксий и даже без помощи Декартова анализа, оставалось, кажется, незамеченным в сочинении Маклорена и мы не знаем, говорилось ли о нем когда-нибудь. Мы думаем однако, что оно заслуживает внимания, потому что до сих пор задача эта считалась разрешимою не иначе как при пособии анализа.

Маклорен предполагает известным направление нормали в той точке, для которой определяется круг кривизны. Удивительно, что ему не пришло на мысль построить и нормаль путем чисто геометрическим, без помощи анализа. Задача эта того же рода, как и задача о круге кривизны, и даже проще её. Мы нашли очень простое построение той и другой, вытекающее из третьей теоремы Ньютона. В то время мы не знали еще, что построение круга кривизны уже существует; решение наше впрочем совершенно отличается от решения Маклорена, потому что основывается на другом свойстве геометрических кривых.

8. Четыре общие теоремы, о которых мы говорили, составляют предмет первого отдела в сочинении Маклорена. В двух других отделах находятся приложения этих теорем к коническим сечениям и к кривым третьего порядка.

Во втором отделе мы встречаем различные свойства гармонического деления секущих в коническом сечении и теорему о вписанном четырехугольнике (которую мы вывели из шестиугольника Паскаля [в прим. к n° 16 гл. II]), заключающую в себе теорию полюсов. Теорема о шестиугольнике изложена здесь