Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/326

можно провести къ кривой изъ точки перегиба. Изъ этого мы видимъ, что эта прямая и точка перегиба играютъ по отношенію къ кривой такую же роль, какъ точка и ея поляра по отношенію къ коническому сѣченію. Мы назовемъ поэтому эту прямую — полярою точки перегиба.

Высказанная теорема легко можетъ быть доказана путемъ геометрическихъ соображеній^[1] и отсюда можно вывесть различныя свойства кривыхъ третьяго порядка. Здѣсь мы предлагаемъ себѣ показать только приложеніе этой теоремы къ доказательству двухъ способовъ происхожденія всѣхъ кривыхъ третьяго порядка посредствомъ тѣней пяти изъ нихъ.

Извѣстно, что каждая кривая третьяго порядка имѣетъ или одну, или три точки перегиба^[2]. Если посредствомъ перспективы проложимъ кривую такъ, чтобы одна изъ точекъ перегиба удалилась въ безконечность, то поляра ея, на основаніи третьей части нашего предложенія, сдѣлается діаметромъ кривой. Таково происхожденіе діаметровъ въ кривыхъ третьяго порядка.

Сдѣлаемъ теперь перспективу такъ, чтобы не только точка перегиба, но и касательная къ кривой въ этой точкѣ была удалена въ безконечность; тогда кривая будетъ имѣть діаметръ, но не будетъ имѣть асимптотъ, и потому будетъ отличаться чисто параболическимъ характеромъ; въ этомъ и заключается исключительный признакъ пяти расходящихся параболъ. Такимъ образомъ доказано, что всякая кривая третьяго порядка можетъ пролагаться посредствомъ перспективы по одной изъ пяти расходящихся параболъ; отсюда обратно слѣдуетъ, что эти пять кривыхъ могутъ своими тѣнями образовать всѣ другія кривыя. Въ этомъ состоитъ первая изъ доказываемыхъ нами теоремъ; она принадлежитъ Ньютону.

Переходимъ ко второй. Представимъ себѣ въ данной кривой поляру ея точки перегиба и сдѣлаемъ перспективное проложеніе кривой такъ, чтобы эта поляра удалилась въ безконечность: изъ третьей части нашей теоремы слѣдуетъ,

1. [Эти теоремы легко выводятся из общей теории поляр, см. Введение Кремоны, 139-139a. ]
2. [Если кривая третьего порядка имеет $\delta$ двойных точек и $\chi$ точек возврата, то по формулам Плюкера она имеет $\iota =9-6\delta -8\chi$ точек перегиба, то есть 9, 3 или 1. См. Введение Кремоны, 101.]

Тот же текст в современной орфографии

можно провести к кривой из точки перегиба. Из этого мы видим, что эта прямая и точка перегиба играют по отношению к кривой такую же роль, как точка и её поляра по отношению к коническому сечению. Мы назовем поэтому эту прямую — полярою точки перегиба.

Высказанная теорема легко может быть доказана путем геометрических соображений^[1] и отсюда можно вывесть различные свойства кривых третьего порядка. Здесь мы предлагаем себе показать только приложение этой теоремы к доказательству двух способов происхождения всех кривых третьего порядка посредством теней пяти из них.

Известно, что каждая кривая третьего порядка имеет или одну, или три точки перегиба^[2]. Если посредством перспективы проложим кривую так, чтобы одна из точек перегиба удалилась в бесконечность, то поляра её, на основании третьей части нашего предложения, сделается диаметром кривой. Таково происхождение диаметров в кривых третьего порядка.

Сделаем теперь перспективу так, чтобы не только точка перегиба, но и касательная к кривой в этой точке была удалена в бесконечность; тогда кривая будет иметь диаметр, но не будет иметь асимптот, и потому будет отличаться чисто параболическим характером; в этом и заключается исключительный признак пяти расходящихся парабол. Таким образом доказано, что всякая кривая третьего порядка может пролагаться посредством перспективы по одной из пяти расходящихся парабол; отсюда обратно следует, что эти пять кривых могут своими тенями образовать все другие кривые. В этом состоит первая из доказываемых нами теорем; она принадлежит Ньютону.

Переходим ко второй. Представим себе в данной кривой поляру её точки перегиба и сделаем перспективное проложение кривой так, чтобы эта поляра удалилась в бесконечность: из третьей части нашей теоремы следует,

1. [Эти теоремы легко выводятся из общей теории поляр, см. Введение Кремоны, 139-139a. ]
2. [Если кривая третьего порядка имеет $\delta$ двойных точек и $\chi$ точек возврата, то по формулам Плюкера она имеет $\iota =9-6\delta -8\chi$ точек перегиба, то есть 9, 3 или 1. См. Введение Кремоны, 101.]