Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/23

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Пучок кривых третьего порядка, имеющих одни и те же точки перегиба. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 23.

автор Луиджи Кремона
См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.


Гармоническая поляра[править]

139. Применив теорему § 71 к фундаментальной кубике , видим, что если через фиксированную точку кривой провести произвольную секущую, пересекающую кривую еще в двух других точках , , то место точек, гармонически сопряженных к относительно отрезка , является полярной коникой .

Если же  — точка перегиба кубики, то коника распадается на соответствующую ей стационарную касательную и некоторую другую прямую , не проходящую через точку 80). Поэтому место точки, гармонически сопряженной к точке перегиба кубики относительно двух других точек, в которых кубика пересекается с подвижной секущей, вращающейся вокруг точки перегиба, является прямой[1].

Прямую , пересекающую кубику в тех трех точках, в которых кубика касается трех прямых, проведенных через точку перегиба (§ 39c), называют гармонической полярой (polare armonica) точки перегиба , и ее не следует смешивать с обычной полярной прямой, которой является стационарная касательная. [2]

139a. Проведем через точку перегиба две секущие, пересекающие кубику соответственно в точках и . Коль скоро гармоническая поляра полностью определяется двумя своими точками, гармонически сопряженными к относительно сегментов , то она является ни чем иным, как полярой для относительно пары прямых , или относительно пары прямых . В силу § 110a) прямая проходит через общую точку прямых и общую точку прямых .

Если две эти секущие совпадают, то получается след. свойство: если через точку перегиба провести секущую, пересекающую кубику в точках , то касательные, проведенные в этих точках, пересекаются на гармонической поляре для точки .

Фактически точка перегиба кубики относительно своей гармонической поляры обладает теми же свойствами [3], что и произвольная точка относительно коники и ее полярной прямой (§ 107).

139b. Если три прямые пересекают заданную кубику в точках , и соответственно, и если и лежат на двух прямых, то и лежат на одной прямой (§ 39a). Допустим теперь, что точки сливаются в одну точку (точку перегиба кубики), тогда две прямые и пересекаются, как это уже было отмечено выше, на гармонической поляре для . Если к тому же и точки сливаются в одну единственную точку, то тоже имеет верно и для точек ; поэтому:

Прямая, соединяющая две точки перегиба кубики, пересекает ее и в третий раз в точке перегиба.[4] При этом стационарные касательные, проведенные в любых двух из этих точек перегиба, пересекаются на гармонической поляре для третьей.

Рис. к § 139c-139d.

139c. Из этой теоремы и определения гармонической поляры для точки перегиба следует, что, если 123 — три точки перегиба, лежащие на одной прямой, то точка, гармонически сопряженная к точке 1 относительно 23, лежит на гармонической поляре для 1 и т. д.; и что, следовательно, гармонические поляры для точек перегиба 1, 2 и 3 — это в точности прямые, соединяющие вершины трехсторонника, образованного соответствующими стационарными касательными, с полюсом прямой 123 относительно этого треугольника [см. последнее утверждение § 76].

139d. Теорема — «если три точки перегиба 1, 2 и 3 кубики лежат на прямой, то их гармонические поляры и пересекаются в одной точке» — может быть доказана и таким способом. Пусть и  — стационарные касательные к кубике в названных точках перегиба; пары прямых и  — это полярные коники для самих точек 1, 2 и 3, а эти коники должны быть описаны около одного и того же четырехугольника, вершины которого суть полюса прямой 123 (§ 130 a). Это значит, что прямые должны проходить через четыре точки , , и . Но касательные в двух из трех точек перегиба 1, 2 и 3 пересекаются на гармонической поляре к третьей, поэтому прямая проходит через точку , а, следовательно, она должны проходить и через точку , что и тр. д.

Отсюда же получается, что четыре полюса прямой, на которой лежат три точки перегиба кубики, — это вершины трехсторонника, образованного тремя соответствующими стационарными касательными, и точка пересечения гармонических поляр для этих трех точек перегиба[5].

Сизигические кубики[править]

140. Пусть три секущие, проведенные через точку перегиба , пересекают заданную кубику в точках ; они пересекаются с прямой , гармонической полярой для , в точках , гармонически сопряженных к точке относительно пар . Эти же точки лежат на полярной конике для относительно любой кубики, проведенной через семь точек 139). [Поскольку прямая не может пересекать невырожденную конику в трех точках], эта полярная коника вырождается в две прямые, одна из которых как раз и есть прямая ; иными словами (§ 80), является точкой перегиба (а  — соответствующей гармонической полярой) для любой кривой третьего порядка, проходящей через названные семь точек[6][7].

140a. Произвольная кубика имеет девять точек перегиба, которые являются точками пересечения кубики с гессианой (§ 100). Поскольку прямая, соединяющая две точки перегиба, проходит и через третью (§ 139b), через любую из этих девяти точек проходят четыре прямые, содержащие оставшиеся восемь точек. Отсюда, в силу предыдущей теоремы, получается, что любая линия третьего порядка, проведенная через девять точек перегиба заданной кубики имеет в качестве своих точек перегиба те же точки[8].

Кубики с девятью общими точками перегиба называются сизигическими (sizigetiche).[9]

140b. Поскольку через каждую точку перегиба заданной кубики проходят четыре прямые, каждая из которых содержит другие две точки перегиба, число прямых, содержащих три точки перегиба, равно . Обозначив точки перегиба нумерами 1, 2, 3, … 9, эти прямые записать так:

123, 148, 157, 169,
456, 259, 268, 358,
789, 367, 349, 247;

здесь хорошо видно, что эти двенадцать прямых можно разбить на четыре группы, по три прямые в каждой (вертикальные столбцы в таблице), проходящие через все девять точек перегиба [причем по одному разу]. Поэтому через девять точек перегиба заданной кубики можно провести три прямые четырьмя способами [10], то есть в пучке сизигических кубик имеется ровно четыре кубики, вырождающиеся в систему из трех прямых (кубику-трехсторонник).

Поскольку тройку прямых можно рассматривать как линию третьего порядка, имеющую три двойные точки и в силу теоремы § 88 пучок кубик имеет двенадцать двойных точек, то через девять точек перегиба заданной кубики не проходит никакой другой имеющей двойные точки и точки возврата кубики, отличной от четырех троек прямых.

Гессиана и кейлиана[править]

141. Рассмотрим теперь точку перегиба фундаментальной кубики как точку гессианы, то есть как точку, полярная коника для которой является парой прямых, пересекающихся в некоторой другой точке . Полюс , сопряженный 132b), — это точка пересечения стационарной касательной с гармонической полярой. В силу теоремы § 140a точка является также точкой перегиба и для гессианы, поэтому все точки пересечения гессианы со своей касательной в сливаются в точку . Но из общей теории (§ 133) известно, что касательные к гессиане в двух сопряженных точках пересекаются в точке, принадлежащей гессиане, поэтому касательная, проведенная к гессиане в точке , пересекает ее в точке , то есть стационарная касательная к фундаментальной кубике в точке перегиба является обыкновенной касательной к гессиане в сопряженном полюсе [11].

Это свойство может быть выведено также и из общей теории, именно из § 118c и 119b, из которых следует еще, что все полярные коники, проходящие через касаются здесь друг друга с кратностью, равной трем.

141a. Каждая стационарная касательная к фундаментальной кубике, будучи также обыкновенной касательной к гессиане, считается за две общие касательные, поэтому эти две кривые имеют еще других общих касательных. Поскольку из четырех полюсов для касательной к гессиане два совпадают с точкой, сопряженной к точке касания, а два других, различных, лежат на кейлиане (§ 135), обыкновенных касательных, общих гессиане и фундаментальной кубике, касаются этой последней в тех точках, в которых она пересекает кейлиану.

141b. Вообще, если  — два сопряженные полюса и если  — третья точка, общая для гессианы и прямой (см. рис. к § 133), то эта последняя касается кейлианы в точке , гармонически сопряженной к относительно отрезка 135, c). Когда является точкой перегиба фундаментальной кубики, точка совпадает с ; но тогда в силу теоремы § 4 точка совпадает с . Поэтому кейлиана касается гессианы в девяти полюсах, сопряженных точкам перегиба фундаментальной кубики.

141c. Прямая на рис. к § 133 касается кейлианы и пересекает ее еще в четырех точках , которые являются пересечениями с прямыми, составляющими полярные коники для и 135). Когда точка является точкой перегиба фундаментальной кривой, полярная коника состоит из стационарной касательной и гармонической поляры, а эта последняя совпадает с прямой , поскольку и в данном случае совпадают. Отсюда получается, что одна из двух точек попадает в (или ), а вторая попадает в пересечение двух бесконечно близких касательных кейлинаны, то есть попадает в точку касания этой кривой с прямой . Кейлиана, следовательно, имеет трехточечное касание с этой прямой. Поскольку же кейлиана, будучи кривой третьего класса и шестого порядка, не может иметь никаких особенностей помимо девяти точек возврата (§ 99, 100), верно:

Гармонические поляры для девяти точек перегиба фундаментальной кубики являются касательными к кейлиане в девяти точках возврата этой кривой.

141d. Гессиана и кейлинана обладают взаимными свойствами. В самом деле:

Произвольная касательная к кейлиане пересекает гессиану в двух соответствующих точках, то есть имеющих одну и ту же тангенциальную точку[12], и в третьей точке, гармонически сопряженной к точке касания относительно первых двух точек (§ 135c). В произвольной точке гессианы пересекаются три касательные к кейлиане; две из них являются соответствующими, то есть прямая, соединяющая точки касания, является опять касательной к кейлиане; третья же является гармонически сопряженной относительно двух первых к касательной к гессиане в точке 135a).

Из этого в силу [принципа] двойственности следует, что свойства этого кейлианы можно вывести из свойств гессианы и наоборот. Напр.:

Девять точек , в которых гесссиана касается своих стационарных касательных, являются также точками перегиба всех кривых третьего порядка, проходящих через эти точки. Девять прямых , касающихся кейлианы в точках возврата, являются также касательными возврата для всех кривых третьего класса, касающихся этих прямых.
Пучок этих кривых содержит четыре трехсторонника, то есть девять точек перегиба распределены по три на трех прямых из двенадцати прямых , причем через каждую точку проходит четыре такие прямые. Ряд таких кривых содержит четыре треугольника, то есть девять прямых пересекаются по три в трех точках из двенадцати точек , каждая из прямых содержит четыре такие точки.
Вершины четырех трехсторонников — это двенадчать точек [13]. Стороны четырех треугольников — это двенадцать прямых .
Между кривыми третьего порядка, имеющими точки перегиба, общие с гессианой, имеется также и фундаментальная кубика , относительно которой гессиана является местом точек, полярная коника для которых вырождается в пару прямых, а кейлиана является оболочкой этих прямых. Между кривыми третьего класса, имеющих в качестве касательных возврата прямые , имеется кривая [14], относительно которой кейлиана является оболочкой прямых, первая полярная оболочка (§ 82) является парой точек, а гессиана является местом этих точек.
Стационарная касательная кубики касается гессианы и кейлианы в точках , общих этим кривым. Точки возврата кривой  — это те девять точек , в которых касаются гессиана и кейлиана.

Сизигические треугольники[править]

142. Пусть задан пучок кубик, произвольная секущая пересекает в тройке точек, образующих инволюцию третьего порядка, причем в четырех ее двойных точках секущая касается четырех кубик пучка (§ 49). Если этот пучок образован сизигическими кубиками (то есть если кубики имеют девять общих точек перегиба) и если секущая является гармонической полярой для точки перегиба , то три точки пересечения этой прямой с любой из этих кубик являются точками касания кубики и прямых, проведенных через точку 139). Пусть  — одна из двойных точек инволюции; кубика, проходящая через , касается здесь как секущей , так и прямой , то есть имеет в двойную точку. Но такими кривыми в пучке сизигических кубик являются пересечения троек прямых, каждая из которых содержит по три точки перегиба (§ 140b); поэтому на каждой гармонической поляре лежит четыре вершины четырех сизигических трехсторонников.

Отсюда получается, что если точка  — вершина сизигического трехсторонника, то должна лежать на каждой гармонической поляре для трех точек перегиба, лежащих на противоположной стороне этого трехсторонника [15]; итого:

Точки, в которых пересекаются по три гармонические поляры для точек перегиба являются вершинами четырех трехсторонников, проходящих через точки перегиба и образованных двенадцатью прямыми, на каждой из которых лежит по три точки перегиба.[16]

Рассмотрим теперь любой из сизигических трехсторонников: его стороны содержат девять точек перегиба, а через его вершины проходят девять гармонических поляр. Пусть  — одна из его вершин, а 1, 2, 3 — точки перегиба, лежащие на противоположной стороне. Поскольку через проходят гармонические поляры для точек 1, 2, 3, являющие составной частью полярных коник для этих точек относительно любой из сизигических кубик пучка (§ 140), то прямая 123 является, относительно любой из этих кубик, полярной прямой для точки 130a). Поэтому каждая вершина сизигического трехсторонника является полюсом противоположной стороны относительно любой из сизигических кубик.

Инволюции и пунктуалы на гармонической поляре[править]

143. Продолжим изучение пучка сизигических кубик. Пусть некоторая произвольная кубика из их числа пересекает гармоническую поляру для точки перегиба в точках , тогда касательные к кривой, проведенные в этих точках, — это прямые . Пусть стационарная касательная к кубике в точке перегиба пересекает в точке . Кубика может быть однозначно выделена заданием любой из четырех точек , следовательно, при изменении этой точки, тройка порождает инволюция третьей степени, проективную пунктуалу, который пробегает точка .

Если  — двойные точки инволюции, то в силу § 142 [в пучке сизигических кубик им соответствуют треугольники], причем они являются вершинами сизигических трехсторонников. Пусть  — пересечения противоположных им сторон с прямой . Для этих кубических трехсторонников, касательные в точке перегиба  — это очевидно их стороны ; откуда следует, что, когда две точки, скажем, и сливаются с , точки и сливаются с .

Прямая , касающаяся кубики пучка в точке перегиба , является еще и касательной к гессиане для этой кубики в точке 141). Поэтому, если заданная кубика пучка пересекает прямую в точках , прямые являются касательными в точке перегиба к нескольким кубикам пучка, имеющим заданную кривую в качестве гессианы. Итого: заданная кубика является, в общем случае, гессианой для трех других кубик, сизигических с заданной[17]. [18]

143a. Пусть заданная кубика является трехсторонником,  — одна из его вершин, а противоположная сторона проходит через точку [гармонической поляры ], тогда касательные и сводятся к двум прямым и . Вторая их этих прямых может рассматриваться еще и как стационарная касательная к заданной кубики, которая оказывается, таким образом, гессианой самом для себя. Первая же прямая является касательной в точке к той кубике рассматриваемого пучка, для которой заданный треугольник является гессианой. Поэтому каждый трехсторонник, рассмариваемый как кубика, является гессианой для самого себя и еще одной другой кубики пучка. Итого: в пучке сизигических кубик имеются четыре кривые, гессианы которых являются четырьмя трехсторонниками пучка.

143b. Выясним теперь, имеются ли в пучке другие кубики, являющиеся гессианами для собственной гессианы. Кубике отвечает единственная кубика, являющаяся ее гессианой, а этой новой кубике отвечает ее гессиана . В обратном порядке: кривая является гессианой трех кубик, каждая из которых в свою очередь является гессианой трех других кубик ; таким образом отвечает девять новых кубик . Поскольку кубики однозначно определяются заданием касательной в точке 46), или также заданием точек , в которых они пересекают гармоническую поляру , можно сказать, что каждой точке соответствует одна единственная точка , но каждой точке отвечает девять точек ; поэтому совпадения двух соответствующих точек имеет место десять раз, то есть десять кубик удовлетворяют указанному условию. В это число входят четыре сизигические трехсторонники, поэтому за их вычетом, получаем:

Пучок сизигических кубик содержит шесть кубик, каждая из которых является гессианой для собственной гессианы.[19][20]

Аналитическое выражение для проективности инволюции и пункутала на гармонической поляре[править]

144. Разыщем теперь соотношение, выражающее при помощи отрезков проективность, имеющую место между инволюцией третьей степени, образованной точками , и пунктуалом, порожденным точкой 143). Возьмем за начало отрезков точку , то есть вершину одного из сизигических треугольников, через которую проходит прямая ; и обозначим как любую из точек , тогда проективность между ними может быть выражена при помощи уравнения вида (§ 24a):

,
(1.)

где  — постоянные коэффициенты. Предположим, что точка , соответствующая точке 143), бесконечно удалена, что можно сделать не ограничивая общности рассмотрения. В самом деле, далее речь пойдет об ангармонических отношениях, и поэтому можно вместо точек прямой подставить их проекции, полученные из произвольного центра на прямой, параллельной лучу, проведенному через точку 8).

Поскольку три значения , соответствующие , известны: , и , константы должны удовлетворять соотношениям , и .

Вспомним теперь, что  — точка полярной прямой для относительно любой кубики пучка (§ 142), из теоремы § 13) имеем

;

значит, коль скоро бесконечно велико, коэффициент . Таким образом, уравнение (1) принимает вид:

.
(2.)


Условие того, что уравнение (2) относительно переменной имеет два равны корня, имеет вид:

,
(3.)

это уравнение третьей степени относительно дает три [положения для] точки , именно , и , причем, напр., отвечают три точки , две из которых совпадают с одной с , а третья — с и т. д.

Если же в уравнении (2) положить , то получится

,
(4.)

то есть каждая точка , удовлетворяющая уравнения (4), совпадает с одной из соответствующих ей точек . Но точками , обладающими таким свойством, являются (помимо ) все те же точки , и , получающиеся из уравнения (3); поэтому уравнения (3) и 4) должны иметь одно и то же решение, а следовательно, их коэффициенты должны быть пропорциональны.

Уравнение (4) не содержит первой степени , поэтому должен обратиться в нуль коэффициент при в (3), то есть верно , откуда следует , поскольку другой вариант —  — привел бы к отсутствию отрезка в (2). Таким образом, уравнения (3) и (4) можно переписать так:

,
,

откуда после исключения получается:

.
(5.)

Полагая в уравнения (3) и 4) и для краткости , или полагая и для краткости , в обоих двух случаях получим:

,
(6.)

корни этого уравнения и есть .

Подставляя теперь , и или в уравнение (2), получим в первом случае:

,
(7.)

а во втором случае:

.
(7bis.)

Таким образом, в первом случае одна из трех точек , отвечающих , совпадает с самой точкой , а две другие сводятся к одной единственной точке , отличной от . Во втором случае две точки , соответствующие , попадают в точку . В рассматриваемом случае реализуется первая ситуация, но не вторая (§ 143); поэтому должно быть именно , а не .

Таким образом, искомое уравнение, выражающие проективность между инволюцией, образованной тройками точек , и пунктуалом, образованным точкой , может быть записан в виде:

,
(8.)

где  — некоторый постоянный коэффициент.[21]

144a. Точки заданы уравнением (6), а точки  — уравнением (7):

,

то есть

;

поэтому обе системы четырех точек и  — эквиангармонические (§ 27).

Отсюда: если  — вещественная точка перегиба сизигических кубик, две из четырех вершин , лежащих на гармонической поляре , — тоже вещественные, а две другие — мнимые (§ 26). Двойственное утверждение (ср. § 141d): две из четырех прямых (сторон сизигического трехсторонника), пересекающиеся в точке , являются вещественными, а две другие — мнимыми. Для того, чтобы хотя бы одна точка перегиба кубики является вещественной, необходимо, чтобы полное число пересечений кубики с ее гессианой было нечетным числом.

Пусть 1 — вещественная точка перегиба, и из четырех прямых 140b), то есть 123, 148, 157, 169, пусть вещественными являются первые две, а мнимыми две другие. Четыре точки перегиба 5, 7 и 6, 9 тогда оказываются необходимо мнимыми, причем первые две оказываются комплексно сопряженными ко вторым. Пусть 5 сопряжено к 9, а 6 к 7. Две вещественные прямые 59 и 67 и две комплексно сопряженные прямые 56 и 79 пересекаются в двух вещественных точках и , лежащих на гармонической поляре для точки перегиба 1 (§ 139a).

Поскольку прямые 123 и 148 — вещественные, точки перегиба 2 и 3, как и 4 и 8, являются или вещественными, или комплексно сопряженными. Но пары прямых (24, 38) и (28, 34) должны давать другие две вершины , лежащие на . Поскольку  — мнимые, точки 2, 3, 4 и 8 не могут быть одновременно вещественными или мнимыми, скажем, 2 и 3 вещественные, а 4 и 8 мнимые.

Отсюда следует, что из девяти точек перегиба кубики только три, лежащие на одной прямой, являются вещественными, остальные же являются мнимыми и сопряженными друг другу[22]. Аналогично, из двенадцати прямых , содержащих тройки точек перегиба, четыре (123, 148, 259, 367) являются вещественными, а остальные нет. Один из четырех сизигических треугольников имеет одну вещественную вершину, другой имеет их три, остальные — ни одной.

144b. Пусть, как мы предположили ранее,  — одна из точек, в которой заданная кубика рассматриваемого пучка пересекает прямую , а  — пересечение этой прямой с касательной, проведенной в точке перегиба . Предположим теперь, что точки имеют аналогичный смысл для гессианы заданной кривой; для верно равенство, аналогичное (8):

.

Но гессиана проходит, как уже было отмечено выше в § 143, через точку , поэтому верно:

,

(9.)

следовательно, по заданной точке можно найти точку . Напр., если попадает в точку , мы имеем , то есть совпадает с ; а если  — одна из точек , то есть если удовлетворяет уравнению

,

то

,

иными словами, оказывается одной из точек . Отсюда следует, что сизигические кубики, касательные к которым, проведенные в точке перегиба , проходят через одну из точек , имеют в качестве гессианы сизигические треугольники; сказанное уже было получено выше в § 143a.

Если же, наоборот, задана точка , то уравнение (9) дает три точки , соответствующие трем кубикам, общая гессиана которых — это кривая, соответствующая заданной точке (143).

144c. Если заданная кубика является гессианой собственной гессианы (§ 143b), то помимо уравнения (9) получается след.:

.

Вычитая это уравнение из уравнения (9), и исключая из получившегося соотношения, после сокращения на множитель , соответствующий кубике-трехстороннику, посредством самого уравнения (9), получим:

,
(10.)

то есть уравнение шестой степени, которое дает, следовательно, шесть точек , соответствующих шести кубикам, обладающим свойством быть гессианой собственной гессианы.

145. Четыре касательные, которые в общем случае можно провести к кубике из произвольной ее точки, в случае, когда в качестве последней взята точка перегиба , — это прямые . Поэтому ангармоническое отношение кубики (§ 131, b) — это ангармоническое отношение четырех точек , в которых гармоническая поляра для точки перегиба пересекается со стационарной касательной и самой кубикой.

Сказанное позволяет выделить очевидным образом серди сизигических кубик заданного пучка эквигармонические и гармонические (§ 131b).

Поскольку три точки даются уравнением (8), четыре точки можно представить уравнением:

,

(11.)

получающимся из (8) путем умножения его на .

Необходимое и достаточное условие для того, что уравнение (11) задает эквигармоническую систему состоит в след. (§ 27):

,

которое удовлетворяется в четырех точках . Поэтому в силу теоремы § 144b пучок сизигических кривых содержит четыре эквигармонические кубики, каждая из которых обладает еще свойством иметь в качестве гессианы сизигический трехсторнник.

Для того, чтобы (11) доставляло гармоническую систему, должно быть верно (§ 6):

.

Это уравнение совпадает с (10), поэтому пучок сисзигических кубик содержит шесть гармонических кубик, являющихся также кубиками, обладающими свойством быть гессианой собственной гессианы[23].

Примечания[править]

  1. Маклорен, Ук. соч. p. 228.
  2. В авторском экз. добавлено след.: каждая кубика гомологична (гармонична) сама себе, если принять за центр, а гармоническую поляру — за ось гомологии. — Перев.
  3. Шаль Sur les courbes da 3e et du 4e degré, Lettres à M. Quetelet (Corresp. math. et ph. t. 5, Bruxelles 1829, p. 236), Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов, прим. XX.
  4. Маклорен, Ук. соч., p. 231.
  5. Plücker, System der analytischen Geometrie, p. 288.
  6. Salmon, Lettre à M. A. L. Crelle (Журнал Крелля, Bd. 39, Berlin, 1850, p. 365).
  7. В авторском экземпляре добавлено след.: если  — шесть точек такой коники, что прямые пересекаются в одной точке , все кубики, проходящие через точки , имеют точку перегиба в , а соответствующая гармоническая поляра совпадает с полярой для относительно заданной коники. — Перев.
  8. Hesse, Ueber die Wendepuncte u. s. w. p. 107.
  9. Кубики, сизигические заданной, составляют пучок кубик, проходящих через заданных точек. — Перев.
  10. Plücker, System der analytischen Geometrie, p. 284.
  11. Clebsch, Ueber die Wendetangenten der Curven dritter Ordnung (Журнал Крелля, Bd. 58, Berlin, 1861, p. 232).
  12. Следует заметить, что таким путем пара сопряженных точек не определяется однозначно: из произвольной точки кубики можно провести четыре касательные к кубике, любая пара точек касания может рассматриваться как пара сопряженных точек. Используя постоянство ангармонического отношения кубики (§ 131), можно лишь фиксировать выбор одной пары для всех точек заданной кривой, что впрочем и не удивительно, поскольку произвольная кубика является гессианой трех различных кубик, см. ниже § 143. — Перев.
  13. Это свойство будет доказано ниже в § 142.
  14. Желательно определение этой кривой как оболочки подвижной прямой.
  15. В авторском экземпляре это прокомментировано так: если  — вершина сизигического трехсторонника и если  — одна из точек перегиба, лежащих на противоположной стороне, то согласно теореме § 139 гармоническая поляра  — это место точек, гармонически сопряженных к относительно пересечений двух других сторон с произвольной секущей, проведенной через точку . Поэтому проходит через точку . — Перев.
  16. Hesse, Eigenschaften der Wendepuncte der Curven dritter Ordnung u. s. w. (Giornale di Crelle, Bd. 38, Berlin, 1849, p. 257—261).
  17. Hesse, Ueber die Elimination der Variabeln u. s. w. (Журнал Крелля, Bd. 28, Berlin, 1844, p. 89).
  18. В самом деле, возьмем кубику, касающуюся в точке , за фундаментальную, тогда ее гессиана принадлежит пучку коник, сизигических с заданной, и касается в точке и, следовательно, пересекает в точке , а такая кривая в пучке имеется одна, именно, заданная кривая. — Перев.
  19. Salmon, Higher piane curves, p. 184. — Aronhold, Zur Theorie der homogenen Functionen dritten Grades von drei Variabeln (Giornale di Crelle, Bd. 39, Berlino 1850, p. 153).
  20. В авторском экземпляре прибавлено, что эти шесть кубик можно разделить на три пары так, чтобы кубики одной пары являлись гессианами для другой. — Перев.
  21. В авторском экземпляре указано еще, что три точки являются гармоническими центрами 3-ей степени для точки относительно четырех точек . — Перев.
  22. Plücker, System der analytischen Geometrie, p. 265.
  23. Salmon, Higher piane curves, p. 192.