Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/22

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Гессиана и кейлиана кривой третьего порядка. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 22.

автор Луиджи Кремона
См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.


Ангармоническое отношение кубики[править]

130. Применим развитую выше общую теорию в случае, когда фундаментальная кривая имеет порядок три, то есть является так называемой кубикой . При этом будем предполагать, что она лишена кратных точек, и поэтому ее класс равен шести (70) и на ней имеется девять точек перегиба (§ 100).

130a. Произвольная точка является полюсом полярной коники и полярной прямой (§ 68). Через две точки, взятые произвольным образом, проходит одна единственная полярная коника (§ 77a). Все полярные коники, проходящие через точку , [составляют пучок и поэтому] имеют общими также и три остальные точки , их полюса лежат на прямой, полярной для четырех точек .

Отсюда следует, что прямая имеет четыре полюса, являющиеся вершинами четырехугольника, вписанного в полярные коники для точек этой прямой.

Все прямые, проходящие через одну и ту же точку , имеют своими полюсами точки коники 69, a).

130b. Полярные прямые и совпадают (§ 69c). Если через точку провести касательные к конике , а через точку  — касательные к конике , то четыре точки касания лежат на одной прямой — второй смешанной поляре 123).[1]

130c. Через произвольную точку плоскости можно, в общем случае, провести шесть касательных к заданной кубике, поскольку эта кривая — шестого класса. Все шесть точек касания лежат на полярной конике .

130d. Но если  — точка кубики, то последняя касается здесь как полярной прямой , так и полярной коники , и через эту точку проходят только четыре прямые, касающиеся кубики в других точках. Их точки касания являются четырьмя пересечениями кубики с полярной коникой 71).

131. Пусть  — точка кубики и пусть полярная коника , касающаяся кубики в точке , пересекает кубику еще в точках , тогда прямые касаются кубики в точках соответственно (§ 130, d).

Касательная пересекает бесконечно близкую касательную в своей точке касания (§ 30); следовательно, если точка кубики, следующая за точкой , то четыре прямые  — это те самые четыре касательные, которые можно провести через точку . Далее, поскольку полярная коника касается кубики в точке и пересекает ее еще в точках , то все шесть точек лежат на этой конике, и поэтому два пучка и имеют одно и то же ангармоническое отношение (§ 62). Это означает, что ангармоническое отношение четырех касательных к конике, проведенных через одну ее точку , не меняется при замене этой точки следующей за ней:

Ангармоническое отношение пучка четырех касательных к кубике, которые можно провести через произвольную ее точку, постоянно.[2][3]

131a. Отсюда следует, что если и  — два пучка касательных относительно двух произвольных точек и кубики, то четыре точки, в которых касательные первого пучка пересекают соответствующие им касательные второго пучка, лежат на некоторой конике, проходящей через точки 62). Соответствие между касательными двух пучков может быть зафиксирована четырьмя различными способами, поскольку ангармоническое отношение пучка совпадает с отношением для трех пучков , , 1); поэтому 16 точек, в которых четыре касательные, проведенные через точку , пересекают четыре касательные, проведенные через точку , лежат на четырех кониках, проходящих через точки .

131b. Постоянное ангармоническое отношение четырех касательных, проведенных к кубике через произвольную ее точку, может быть названо ангармоническим отношением кубики.

Кубика называется гармонической, когда ее ангармоническое отношение равно , то есть когда четыре касательные, проведенные через произвольную точку кубики, образуют гармонический пучок.

Кубика называется эквиангармонической, когда ее ангармоническое отношение равно , то есть когда для четырех касательных, проведенных через произвольную точку кубики, совпадают между собой три главных ангармонические отношения (§ 27).

Гессиана и штейнериана[править]

132. Если полярная коника является парой прямых, пресекающихся в точке , то и наоборот полярная коника является парой прямых, пересекающихся в 78). Следовательно, место двойных точек полярных коник, выродившихся в пару прямых, является также и местом их полюсов, то есть гессиана и штейнериана являются одной и той же кривой третьего порядка (§ 88d, 90).

132a. Поскольку прямая является местом двух прямых, соединяющих две точки гессианы с двумя точками штейнерианы, оболочка прямых , которая в силу общей теоремы § 98b должна быть кривой шестого класса, вырождается в кривую третьего класса [4].

132b. Точки являются сопряженными полюсами относительно любой полярной коники, принадлежащей геометрической сети второго порядка (§ 98b)[5]. Отсюда:

Место пар сопряженных полюсов относительно сети коник является кривой третьего порядка (именно, гессианой сети).[6][7]

132c. В общей теории было доказано, что штейнериана в своей произвольной точке касается полярной прямой для соответствующей точки гессианы (§ 118a), и что гесииана касается в своей произвольной точке второй поляры для соответствующей точки штейнерианы (§ 127a). Применительно к случаю кривой третьего порядка, эти два свойства дают одно и то же: касательные к гессиане в точке являются полярными прямыми для точки ; то есть:

Гессиана является оболочкой прямых, полярных для своих точек.

Из этой теоремы следует, что через произвольную точку можно провести ровно шесть касательных к гессиане. В самом деле, полярные прямые, проходящие через точку , имеют своими полюсами точки полярной коники , которая пересекает гессиану в шести точках; каждая из этих точек является полюсом полярной прямой, касающейся гессианы и пересекающейся с другими в точке . Само собой разумеется, что точки касания этих шести касательных лежат на полярной коники для относительно гессианы.[8]

Гессиана и кейлиана[править]

Рис. к § 133. См. описание рисунка.

133. Пусть и два сопряженных полюса относительно полярных коник (см. рис.); полярная коника составлена из двух прямых и , пересекающихся в точке , а полярная коника составлена их двух других прямых и , пересекающихся в точке . Если две полярные коники пересекаются в точках , то эти точки являются полюсами прямой , а прямые и , пересекающиеся в точке , составляют полярную конику для точки , лежащей на прямой 130, a).[9] Поэтому  — новая пара сопряженных полюсов, а  — третья точка пересечения гессианы с прямой .

Согласно § 132c, касательная к гессиане, проведенная в точке , — это полярная прямая . Но эта прямая является полярой для точки относительно коники , образованной прямыми и , и поэтому она совпадает с прямой , гармонически сопряженной к относительно . Впрочем это свойство [касательной гессианы] можно было бы вывести из теоремы § 127b). Аналогично, касательная к гессиане в точке  — это прямая . Итого:

Касательные к гессиане в двух сопряженных полюсах пересекаются в точке, принадлежащей этой же кривой, и при этом сопряженный ей полюс — это третье пересечение гессианы с прямой .

133a. Две точки кубики называются соответствующими, когда они имеют одну и ту же касательную точку (§ 39b), то есть когда проведенные в этих точках касательные к кубике пересекают кривую в одной и той же точке.

Используя это определение, можно сказать, что два сопряженных полюса относительно сети коник являются соответствующими точками гессианы этой сети.

133b. Поскольку полярные прямые и пересекаются в точке , полярная коника проходит через точки и . Но  — тоже является точкой гессианы; поэтому полярная коника состоит из двух прямых: и еще одной прямой, проходящей через точку . Итого:

Прямая, соединяющая два сопряженные полюса , пересекает гессиану в точке , сопряженной полюсу той полярной коники, составной частью которой является прямая .

Прямые, составляющие полярные коники для точек гессианы, огибают некоторую кривую третьего класса (§ 128). Эта кривая, следовательно, совпадает с оболочкой прямых, соединяющей две соответствующие точки гессианы (§ 132a).

Будем называть эту кривую кейлианой (Cayleyana) заданной кубики, в честь знаменитого Кейли, нашедшего и доказавшего ее наиболее интересные свойства в своем элегантном аналитическом мемуаре о кривых третьего порядка[10].

133c. Касательные, которые можно провести через произвольную точку гессианы к кейлиане, — это прямая, соединяющая с ее сопряженным полюсом , и две прямые, составляющие полярную конику .

133d. Если  — четыре полюса прямой , то три пары прямых , и составляют три полярные коники, полюса которых лежат на ; поэтому точки пересечения этих четырех пар прямых принадлежат гессиане. Итого:

Гессиана является местом диагональных точек, а кейлиана — оболочкой сторон полного четырехугольника, вершины которого являются полюсами произвольной прямой.

134. Пусть и  — две пары сопряженных полюсов,  — точка пересечения прямых и , а  — точка пересечения прямых и . Тогда  — шесть вершин полного четырехсторонника и поскольку концы двух его диагоналей и являются, по предположению, сопряженными полюсами относительно любой их полярных коник, то также и точки являются сопряженными полюсами относительно той же сети коник (§ 109). Отсюда:

Если  — три точки гессианы, лежащие на одной прямой, то три сопряженные им полюса образуют треугольник, стороны которого проходят через .[11]

Отсюда получается, что, если заданы два сопряженных полюса и еще одна точка гессианы, то для нахождения сопряженного к ней полюса достаточно провести прямые , которые пересекут гессиану в точка ; точка пересечения прямых и будет искомой[12].

134a. Прямые, проведенные из произвольной точки гессианы через пары сопряженных полюсов, образуют инволюцию второй степени. В самом деле, если одна прямая, проведенная произвольным образом через точку пересекает гессиану в точках и , то полюса , сопряженные к этим точкам, лежат на одной прямой с точкой ; поэтому прямые связаны друг с другом таким образом, что одна однозначно определяет другую, что и тр. д.[13]

134b. Наоборот, пусть задано шесть точек , тогда место точки , такой, что пары прямых , , состоят в инволюции, является кривой третьего порядка, для которой  — три пары соответствующих точек[14].

135. Когда два из четырех полюсов (сопряженных полюсов) для некоторой прямой сливаются в одну единственную точку , эта последняя принадлежит гессиане (§ 90b) и все проходящие через нее полярные коники имеют здесь общую касательную 112a). [Возвращаясь к конструкции, изображенной на рис. к § 133], обозначим как два оставшиеся полюса прямой , [через эти точки должны проходить полярные коники для всех точек прямой , поэтому] в этих точках прямые , составляющие полярную конику , пересекают прямую, проходящую через точку и образующую вмести с прямой полярную конику .

Две касательные, которые можно провести через точку к кейлиане (§ 133d), совпадают с , а третья — это прямая ; аналогично, две касательные, которые можно провести через точку к кейлиане, сливаются с прямой , а третья — это . Поэтому (§ 30) прямые касаются кейлианы в точках .

Отсюда следует, что кейлиана является местом полюсов, сопряженных к точкам гессианы (§ 105), то есть если полярная прямая движется, огибая гесссиану, два совпадающих полюса описывают саму гессиану, а два оставшихся различных полюса — кейлиану.

135a. Вспомним теперь, что [в силу § 133c] через произвольную точку гессианы проходят три касательные к кейлиане; две из них и связаны между собой таким образом, что прямая, проведенная через их точки касания , является опять касательной к кейлиане.

135b. Эта прямая, проходящая через точку и образующая вмести с конику , пересекает кейлиану не только в точках , то есть в сопряженных полюсах для , но и в точках , то есть в сопряженных полюсах для . Поскольку эта прямая является касательной к кейлиане, получается, что эта кривая имеет шестой порядок.[15]

Сказанное можно доказать также следующим способом. Через [произвольную] точку проходит шесть касательных к гессиане (§ 132c); каждая из этих прямых имеет по два полюса, совпадающих с точкой гессианы, поэтому оставшиеся двенадцать полюсов лежат на кейлиане. Но полюса прямых, проходящих через точку , лежат на конике , и значит, эта коника пересекает кейлиану в 12 точках, то есть кейлиана является кривой шестого порядка.

135c. Из всего предыдущего получается, что, если прямая касается кейлианы, то точка касания является полюсом, сопряженным к той точке гессианы, которая сама лежит на этой прямой, а соответствующая ей точка не лежит.[16] Следовательно, если мы обозначим как точку касания прямой прямой с кейлианой, то  — полюс, сопряженный к .

Пусть  — третья точка, в которой гессиана пересекает прямую , а  — полюс, сопряженный к . Та прямая, которая проходит через точку и образует вмести с прямой полярную конику , пересекает прямую в точке .

Полярная прямая проходит через точку , поскольку коника является парой прямых, пересекающихся в точке . Эта прямая является первой полярой коники , то есть пары прямых , поэтому полюс и точки , в которых прямая пересекает конику и прямую , составляют гармоническую систему (§ 110, a); отсюда:

Прямая, соединяющая две соответствующие гессианы, делится гармонически третьей точкой гессианы, лежащей на этой прямой, и точкой касания этой прямой и кейлинаны. [17]

Полоконики[править]

136. Полярные прямые для точек прямой огибают конику, являющуюся также местом полюсов полярных коник, касающихся 103, 103a) и место полюсов прямой относительно полярных коник для точек самой прямой 125). Эта коника, в общей теории (§ 104) была названа (чистой) второй полярой для [и обозначена как ], в рассматриваемом же случае для краткости называется (чистой) полоконикой (poloconica) для прямой .

136a. Конику можно определить не только как место точек, полярные прямые для которых пересекаются в точке , он и как оболочку прямых, полоконики для которых проходят через точку 104, g):

136b. Прямые, полоконики для которых имеют двойную точку, — это в точности прямые, составляющие полярные коники для точек гессианы (§ 128), то есть прямые, касающиеся кейлианы.

Рассмотрим опять прямую (рис. к § 133) и разыщем ее полоконику как место полюсов полярных коник, касающихся прямой . Поскольку является частью полярной коники , точка является двойной точкой искомой полоконики (§ 128). Заметим теперь, что как полярная коника пересекает прямую в двух точках, совпадающих с , а коника  — в двух точках, совпадающих с ; поэтому полоконика для этой прямой является парой прямых .

Отсюда видно, что гессиана является местом двойных точек полоконик, вырождающихся в пару прямых, а также и оболочкой этих прямых (ср. § 133), в то время как кейлиана является оболочкой прямых, для которых вырождаются полоконики.[18]

136c. Место точки, относительно полярной коники для которой прямые и являются сопряженными, является коникой (именно второй смешанной полярной , введенной в общей теории), которую можно назвать смешанной полоконикой для прямых . Она является также местом полюсов любой из этих прямых относительно полярной коники для другой (§ 125a, b).

136d. Полярная прямая для точки пересечения прямых касается полоконик и в двух точках, в которых она пересекает смешанную полоконику 125c).

137. Если прямая пересекает гессиану в трех точках , полоконика касается этой кривой в сопряженных к ним полюсах 122, 127). Отсюда следует, что, если  — обыкновенная касательная к гессиане, причем  — точка касания, а  — точка простого пересечения, то полоконика имеет четырехточечное касание с гессианой в точке (полюсе, сопряженном к ) и двухточеченое касание в точке (полюсе, сопряженном к ). Если же прямая касается гессианы в точке перегиба , то полоконика имеет шеститочечное касание с гессианой в точке 127, d).

137a. Шесть точек, в которых гессиана касается чистых полоконик для двух прямых, лежат на смешанной полоконике для этих прямых (§ 127). Поэтому:

Если две прямые пересекают гессиану в шести точках, то сопряженные к ним полюса лежат на одной и той же конике.[19]

Если через три точки, в которых гессиана касается полоконики, провести произвольную конику, то она пересечет гессиану в трех новых точках, в которых эта кривая касается второй полоконики.

Мы видели в § 136b, что, если  — сопряженные полюса (рис. к § 133), в которых гессиана касается прямых, проходящих через точку , то эти прямые составляют чистую полоконику для прямой . Эта полоконика касается гессианы в точках . Поэтому эти три точки и три другие аналогичные лежат на одной и той же конике.

Коника-спутник[править]

137b. Четыре касательные прямые, которые можно провести из точки к гессиане, составляют чистые полоконики для двух прямых, пересекающихся в точке и образующих полярную конику 136b). Точки касания этих четырех прямых лежат на конике, касающейся гессианы в точке 130d), и поэтому точки касания гессианы и с чистыми полокониками для этих двух прямых, лежат на смешанной полоконике для этих двух прямых [§ 137a]. Отсюда:

Пусть точка лежит на гессиане кривой ; если обозначить прямые, из которых состоит коника , как , тогда

.

138. Пусть секущая, проведенная произвольным образом через фиксированный полюс , пересекает фундаментальную кубику в точках , а полярную конику в . Отметим на этой секущей две точки , определенные двумя уравнениями:

,
(1.)

или же одним квадратным уравнением:

(2.)


В силу соотношений, имеющихся между тремя точками и двумя их гармоническими центрами (Art. III.), имеем:

,
,

поэтому уравнение (2) можно переписать так:

.
(3.)


Когда секущая вращается вокруг , место точек описывает кривую второго порядка, которую можно назвать коникой-спутником (conica satellite) для полюса [20].

Если точки совпадают, то есть если секущая касается кубики в точке и пересекает ее в точке , то левая часть уравнения (3) имеет множитель . Поэтому коника-спутник содержит шесть точек, в которых фундаментальная кубика пересекает касательные, проведенные через полюс.

Если точки совпадают, то есть если секущая касается в точке поляной коники , то в силу (1) и сами точки совпадают с , иными словами, в этой точке секущая касается и коники-спутника. Поэтому коника-спутник касается полярной коники в точках, в которых полярная коника пересекает полярную прямую.

138a. Из этих двух свойств и теоремы § 39b получается след.: если  — точка гессианы, если если полярная коника для вырождается в пару прямых, пересекающихся в точке , то также и коника-спутник вырождается в пару прямых, пересекающихся в этой точке, причем эта пара образована прямыми-спутниками тех прямых, которые составляют полярную конику для .

Поэтому каждая из двух прямых, пересекающихся в точке и составляющих полярную конику для точки , имеет в качестве точки-спутника точку 39b). Иными словами:

Гессиана — место точек-спутников прямых, касающихся кейлианы.

138b. Отсюда можно получить другое определение кейлианы, заметив, что (см. рис. к § 133) точка является касательной точкой для (как и для ) относительно гессианы; поскольку же прямые составляют гармонический пучок,  — полярная прямая для . Поэтому кейлиана является оболочкой прямых, являющихся смешанными вторыми полярами для двух точек гессианы, одна из которых является касательной для другой[21].

Примечания[править]

  1. В авторском экземпляре отмечено, что произвольная прямая является второй смешанной полярой для двух своих точек , полярные коники для которых касаются этой прямой. Этому дается такое доказательство: пусть , тогда , то есть вторая смешанная поляра является прямой, соединяющей полюса прямой относительно полярных коник для . На произвольной прямой имеется ровно две коники, скажем , пучка полярных коник, полюса которых лежат на этой прямой, касаются самой прямой. Тогда и поэтому , что и тр.д. — Перев.
  2. Salmon, Théorèmes sur les courbes de troisième degré (Журнал Крелля, Bd. 42, Berlin, 1851, p. 274) — Higher piane curves, p. 151.
  3. Ср. другое доказательство ниже, в § 149c. — Перев.
  4. Cayley, Mémoire sur les courbes du troisième ordre (Journal de M. Liouville, août 1844, p. 290).
  5. Полярная прямая для относительно любой коники  — это прямая , проходящая через двойную точку , то есть через . — Перев.
  6. Hesse, Ueber die Wendepuncte и т. д. P. 105.
  7. Здесь требуется обращение предыдущего утверждения: если  — пара точек, сопряженных относительно любой коники , то формально прямой должна принадлежать любая точка плоскости, что возможно только если имеет двойную точку в . — Перев.
  8. Класс гессианы-штейнерианы кубики можно было бы вычислить по общим формулам § 118d. Для предложенного в тексте построения существенно, что исходная кубика не имеет особых точек и поэтому определена для всех точек плоскости. — Перев.
  9. Сказанное следует из того обстоятельства, что точки составляют базу пучка коник, полюса которых лежат на прямой . — Перев.
  10. A Memoir on curves of the third order (Philosophical Transactions, vol, 147, part 2, London 1857, p. 415—446),
  11. В авторском экз. отмечено, что треугольник является сопряженным к пучку полярных коник для точек прямой , см. § 108a.
  12. Maclaurin, Ук. соч., p. 242.
  13. В авторском экземпляре отмечено, что двойные лучи этой инволюции — это касательные к кейлиане, проходящие через точку и отличные от прямой . См. § 133c. — Перев.
  14. Cayley, Mémoire sur les courbes du troisième ordre, p. 287.
  15. Других точек пересечения быть не может, так как кривая третьего класса может быть самое большее шестого порядка. При этом из симметрии ясно, что точка касания с кейлианой должна быть отлична от названных четырех точек. — Перев.
  16. На прямой, касающейся кейлианы, всего имеются три точки гессианы, но две из них соответствуют друг другу. — Перев.
  17. Cayley, A Memoir on curves etc., p. 425.
  18. Cayley, A Memoir on curves etc., p. 432.
  19. Более общо, если коника пересекает гессиану в шести точках, то сопряженные к ним полюса лежат на некоторой другой конике (§ 129). — Автор.
  20. Каким бы было аналогичное исследование для фундаментальной кривой порядка ? Оно бы привело к кривой-спутнике (curva satellite) порядка . См.: Salmon, Higher piane curves, p. 68-69. — Автор.
  21. Cayley, A Memoir on curves etc. p. 439—442.