Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/21

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Свойства вторых поляр. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 21.

автор Луиджи Кремона
См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.


Сеть смешанных поляр, полюса которых лежат на заданной прямой[править]

123. Поляра была названа выше в § 116 для краткости смешанной второй полярой для точек . В согласии с этой договоренностью, поляру будем называть чистой второй полярой для точки .

Если смешанная поляра проходит через точку , то прямая проходит через точку (69d); поэтому в силу § 108 верно:

Смешанная вторая поляра для точек  — это место точек, служащих полюсами полярных коник, относительно которых точки являются сопряженными полюсами.

Пусть теперь задана прямая . Если на ней взять две точки , сопряженные относительно коники , то смешанная поляра проходит через точку . Пары точек, лежащие на и сопряженные относительно указанной коники, составляют инволюцию, двойные точки которой являются точками пересечениями коники с прямой (§ 108). Поэтому точки являются полюсами двух чистых вторых поляр, проходящих через точку .

Отсюда получается след.: для того, чтобы вторая смешанная поляра, полюса которой лежат на прямой , проходила через точку , необходимо и достаточно, чтобы точки делили гармонически точками , [в которых коника пересекает эту прямую]. Иными словами: если  — четыре гармонические точки, то вторая смешанная поляра проходит через полюса всех всех полярных коник, которым принадлежат точки . Когда полярная коника проходит через две точки , ее полюс лежит на чистых полярах и (69, a), поэтому точек, общих этим двум вторым полярам, являются полюсами того же числа полярных коник, проходящих через точки , а следовательно, и точками, общими для всех смешанных вторых поляр, проходящих через , и имеющих полюса на .

Итого: смешанные вторые поляры, которые проходят через одну заданную точку и оба полюса которой лежат на заданной прямой, образуют пучок порядка .

Условие прохождения через две точки однозначно определяют смешанную вторую поляру, полюса которой лежат на [заданной] прямой . Именно, точки прямой , сопряженные друг к другу относительно полярной коники , образуют одну инволюцию, вторую же инволюцию порождает точка ; пара сопряженных точек, общая обеим инволюциям (§ 25b) как раз и образована полюсами искомой смешанной второй поляры.

Таким образом, смешанные и чистые поляры, полюса которых лежат на заданной прямой, составляют геометрическую сеть порядка . Кроме того, чистые вторые поляры для точек прямой образуют семейство кривых индекса 2, то есть через произвольную точку проходят две чистые поляры, полюса которых лежат на заданной прямой (и на конике ). Место двойных точек чистых и смешанных поляр, полюса которых лежат на заданной прямой, то есть гессиана названной сети, является кривой порядка 92).

Сеть смешанных вторых поляр для пары прямых, пересекающихся в заданной точке[править]

124. Как мы только что заметили, через две точки заданной прямой проходят полярных коник, полюса которых — суть пересечения чистых вторых поляр для . Если эти две точки сливаются в одну единственную точку , то мы имеем полярных коник, касающихся в точке прямой , и их полюса — это пересечения чистой второй поляры для с полярой для точки, бесконечно близкой к на , то есть точки касания чистой второй поляры для со второй полярой для заданной прямой (кривой, которую огибают чистые вторые поляры для точек , иными словами, места полюсов полярных коник, касающихся прямой (104)).

Кроме того, выше было отмечено, что если  — четыре гармонические точки (на прямой ), то поляра проходит через пересечений поляр . Предположим теперь, что сливаются в одну единственную точку , а значит одна из двух других точек (пусть, для определенности, ) тоже попадает в 4). Поэтому смешанная вторая поляра для двух точек прямой проходит через точек, в которых чистая вторая поляра для касается второй поляры для . Итого:

Кривая порядка , а именно вторая поляра для прямой , касается в точках чистой второй поляры для произвольной точки прямой . При этом все точек, в которых вторая поляра для касается двух чистых вторых поляр для точек прямой , лежат на одной и той же кривой порядка , именно, на смешанной второй поляре для точек .

124a. Из всего доказанного получается, что вторая поляра для прямой и сеть чистых и смешанных вторых поляр для точек этой прямой состоят в том же отношении, в каком состоят коника и сеть прямых, касающихся ее или секущих.[1]

124b. Этот важный вывод не является чем-то присущим исключительно вторым полярам, но вообще распространяется на произвольные сети. Пусть задана геометрическая сеть кривых порядка , среди которых имеется бесконечное число кривых, составляющих ряд индекса 2. Оболочка кривых этого ряда — это линия, которая касается каждой огибающей ее кривой в точках, в которых огибающая кривая пересекает следующую за ней кривую ряда. Но через произвольную точку проходят только две кривые ряда и они неизбежно совпадают, если точка лежит на этой кривой-оболочке. Поэтому оболочка не может пересекать огибающие ее кривые без касания; отсюда, поскольку две кривые ряда касаются в точках, оболочка кривых рассматриваемого ряда является кривой порядка .

Все кривые сети, проходящие через одну единственную точку, образуют пучок. Точки касания оболочки и одной из огибающих ее кривых являются точками пересечения соседних кривых, поэтому они составляют базу одного из пучков сети. Все кривые сети, проходящие через точку, в которой оболочка касается заданной кривой, огибающей эту оболочку, проходят также через остальные точек касания оболочки и огибающей ее кривой.

Через две точки, в которых оболочка касается двух различных огибающих ее кривых, проходит одна единственная кривая сети. Поэтому произвольная кривая, принадлежащая сети, но не ряду, пересекает оболочку в точках, в которых эта оболочка касается двух кривых ряда.

124c. Вернемся ко второй поляре для прямой ; точек, в которых эта кривая касается чистой второй поляры для точки прямой , составляют базу пучка смешанных вторых поляр, одним из полюсов которых является точка , а другим — подвижная точка прямой . Если две из этих точек касания сливаются в одну точку, то кривые пучка имеют в ней общую касательную, а для одной из них эта точка является двойной (§ 47). Эта точка, следовательно, принадлежит гессиане сети, образованной чистыми и смешанными вторыми полярами для точек прямой 123). Поэтому в каждом из пересечений гессианы со второй полярой для , последняя кривая имеет касание кратности 4 с чистой второй полярой (полюс которой лежит на прямой ), касающейся ее еще в других различных точках.

125. Вторую поляру для прямой можно также рассматривать как место пересечений соответствующих кривых двух проективных пучков. Пусть  — две фиксированные точки, а  — подвижная точка прямой . Поляры и пересекаются в точках, принадлежащих второй поляре для , поскольку в них происходит касание между этой кривой и 124). Когда точка пробегает прямую , а точки остаются постоянными, эти две смешанные поляры образуют два проективных пучка порядка , а место точек, общих двум соответствующим кривым описывает вторую поляру для .

В качестве точек можно, очевидно, брать любые две точки, лежащие на прямой , поскольку пересечений поляр и есть ни что иное как полюса прямой относительно 77). Отсюда получается нижеследующее новое определение (ср. § 86):

Вторая поляра для прямой — это место полюсов этой прямой относительно первой поляры для точки, пробегающей эту же прямую.[2]

125a. Это определение естественным образом приводит к важному обобщению.

Пусть заданы две прямые , каково место полюсов одной из них относительно первой поляры для подвижной точки на второй прямой? Зафиксируем произвольным образом две точки на прямой и возьмем произвольную точку на прямой , тогда смешанные поляры и пересекаются в точках, которые являются полюсами относительно . Когда точка пробегает прямую , эти смешанные поляры образуют два проективных пучка порядка ; место точек, в которых пересекаются соответствующие кривые, является линией порядка , которая, очевидным образом, и есть искомая кривая. Эту кривую можно назвать второй смешанной полярой для прямых , с тем, чтобы отличать ее от определенной выше чистой второй поляры для .

125b. Как чистая вторая поляра для  — это место таких точек, в которых полярная коника касается прямой , так и вторая смешанная поляра для двух прямых  — это место таких точек, относительно полярных коник для которых прямые являются сопряженными.

В самом деле, если [ — точка второй смешанной полярой для рассматриваемых прямых, то согласно пред.] поляры и проходят через точку , поэтому прямая проходит через точки и [и, следовательно, совпадает с ], то есть точка является полюсом прямой относительно коники , что и тр. д.

[Такого описания смешанной поляры для пары прямых двойственно описанию поляры для пары точек, данному в § 123; его симметрия дает право обозначить поляру для пары прямых как , а чистую поляру обозначить как .]

125c. Взяв в § 125a в качестве точки пересечение прямых , найдем, что вторая смешанная поляра для этих прямых проходит через точек, общих полярам и , то есть (§ 124) через точек, в которых касается . Итого:

Чистая вторая поляра для точки пересечения двух прямых касается чистых вторых поляр для этих прямых, каждую в точках. Вмести точки касания лежат на второй смешанной поляре для этих прямых.

126. Для того, чтобы вторая смешанная поляра для прямых , пересекающихся в заданной точке , проходила через другую заданную точку , необходимо и достаточно (§ 125b), чтобы эти две прямые были сопряжены относительно коники , то есть чтобы эти эти прямые составляли гармоническую систему с касательными , которые можно провести к конике через точку . Поэтому, если прямые образуют гармонический пучок, то проходит через полюса всех полярых коник, касающихся прямых . Но если полярная коника касается этих двух прямых, то ее полюс лежит на обеих полярах и 104b, 124); поэтому пересечений этих двух кривых являются полюсами того же числа полярных коник, вписанных в угол , а следовательно, и точками, общими всем смешанным вторым полярам для прямых, пересекающихся в заданной точке , проходящих через заданную точку . Поэтому такие смешанные поляры составляют пучок.

Отсюда следует, что через заданные две точки проходит одна единственная смешанная поляра для двух прямых, о которых известно лишь, что они проходят через заданную точку . Иными словами, вторые поляры, смешанные и чистые, для прямых, проходящих через заданную точку, составляют геометрическую сеть кривых порядка .

Какой индекс имеет ряд чистых вторых поляр для всех прямых, проходящих через заданную точку ? Подсчитаем, сколько таких вторых порляр проходит через произвольную точку . Огибающая прямых, чистые вторые поляры для которых проходят через точку , — это полярная коника 104g); из точки к этой конике можно провести две касательные, поэтому через проходят только две прямые чистые вторые поляры, которым принадлежит точка . Итого: чистые вторые поляры для прямых, проходящих через одну заданную точку, составляют ряд индекса 2.

Свойства гессианы[править]

127. Пусть  — точка, общая поляре и гессиане фундаментальной кривой . Поскольку — точка , коника касается ; поскольку же  — точка гессианы, коника вырождается в пару прямых, пересекающихся в соответствующей точке штейнерианы. Поэтому точек, общих гессиане и , имеется столько же, сколько пересечений со штейнерианой, то есть . Отсюда:

Чистая вторая поляра для произвольной прямой касается гессианы всюду, где ее пересекает, то есть в точках.

Поскольку коника составлена из двух прямых, пересекающихся в точке , прямая , проходящая через , имеет, относительно этой коники, бесконечное число полюсов, лежащих на другой прямой, проходящей через 110a). Поэтому прямая , произвольным образом (не через точку ), содержит один полюс прямой относительно коники ; и, в силу § 125b,  — точка поляры . Итого:

Точки, в которых гессиана касается чистых вторых поляр для двух заданных прямых, а таковых имеется , лежат на смешанной второй поляре для этих прямых. [3]

Чистые вторые поляры для прямых, проходящих через заданную точку , составляют, согласно § 126, ряд порядка и индекса 2, и, следовательно, огибают кривую порядка 124b). Эта линия составлена из гессианы и поляры 125c); все точек, в которых чистые вторые поляры для любых двух из прямых [проходящих через точку ] касаются гессианы и , лежат на смешанной второй поляре для этих двух прямых.

127a. Этим доказано, что поляра касается гессианы в точке ; кроме того поляра проходит через , поскольку эта точка является двойной для . С другой стороны и ( проходит через ) касаются друг друга всюду, где они пересекаются (§ 124); поэтому:

Гессиана, в произвольной своей точке, касается чистой второй поляры для соответствующей точки штейнерианы.

127b. Отсюда следует, что касательная, проведенная в точке к гессиане, является гармонически сопряженной к прямой относительно двух прямых, касающихся в ее двойной точке 74c); если же имеет точку возврата в , то касательная возврата касается в этой точке и гессианы.

Аналогично, касательная в точке к штейнериане является гармонически сопряженной к прямой относительно двух прямых, из которых составлена .

127c. Если мы рассмотрим прямую , проходящую через точку , то касается гессианы в . И наоборот, прямые, чистые вторые поляры для которых проходят через точку , касаются 104g); но эта коника вырождается в две прямые, пересекающиеся в точке ; поэтому прямые, все чистые вторые поляры для которых содержат точку , проходят через точку .

Иными словами, гессиана касается в точке не только чистой второй поляры для , но и чистых и смешанных поляр для всех прямых, проходящих через точку .

127d. Поскольку точки касания гессианы с полярой соответствуют точкам пересечения прямой со штейнерианой [§ 127], то, когда прямая касается этой кривой в точке , поляра имеет 4-точеное касание с гессианой в соответствующей точке и простое касание в остальных точка.

Согласно § 104g касательные прямые к конике  — это такие прямые, чистые вторые поляры для которых проходят через точку . Эта коника имеет касательных, общих со штейнерианой, поэтому ряд, составленный из чистых вторых поляр , имеющих 4-точечное касание с гессианой, имеет индекс .

Если  — двойная касательная для шейнерианы, то имеет два 4-точечных касания с гессианой и еще 2-точечных касаний.

Если же  — стационарная касательная штейнерианы, то имеет 6-точечное касание с гессианой и еще 2-точечных касаний.

128. Каковы прямые, чистые вторые поляры для которых имеют двойную точку? Поскольку  — это место полюсов полярных коник, касающихся прямой , то для того, чтобы вторая поляра имела двойную точку, необходимо, чтобы существовала полярная коника, имеющая более двух общих точек с прямой , то есть полярная коника, вырождающаяся в пару прямых, одна из которых совпадает с прямой . [4] Откуда:

Прямые, чистые вторые поляры для которых имеют двойную точку, — это прямые, которые составляют полярные коники для точек гессианы. При этом двойные точки чистой второй поляры для такой прямой являются так же точками гессианы.

Чистая вторая поляра для произвольной точки пересекает гессиану в точках, именно, полюсах того же числа вырожденных полярных коник, проходящих через точку . Поэтому:

Прямые, составляющие полярные коники для точек гессианы, огибают кривую класса .

129. Поляра  — это место точки, касательные к полярной конике для которой, проведенные через точку , составляют гармонический пучок с заданными прямыми. Такие коники составляют ряд индекса , поскольку имеется именно такое число точек, в которых пересекает чистую вторую поляру для произвольной точки; поэтому среди таких коник имеется , касающихся произвольной заданной прямой (85).

Пусть теперь задана произвольная коника , и разыскивается место точки, полярная коника для которой [относительно кривой ] вписана в [подвижный] треугольник сопряженный к . Пусть  — произвольная точка и . Имеется полярных коник, касающихся прямой и еще двух прямых, пересекающихся в точке и сопряженных относительно коники , то есть полярных коник, вписанных в треугольник, сопряженный к конике , одна из сторон которого совпадает с прямой . Но полярные коники, касающиеся прямой , имеют своими полюсами точки ; поэтому искомое место имеет точек, общих с чистой второй полярой для произвольной прямой, то есть является кривой порядка .

Когда треугольник, сопряженный к конике , имеет вершину на этой кривой, две его стороны совпадают с касательной, а в качестве третьей можно взять произвольную прямую, проходящую через . Поэтому, когда точка принадлежит еще и шетйнериане, то есть если  — двойная точка полярной коники соответствующей точки гессианы, такая коника может рассматриваться как вписанная в этот треугольник. Как следствие имеем:

Место точки, полярная коника для которой вписана в треугольник, сопряженный к заданной произвольным образом конике, является линией порядка , пересекающей точки гессианы в точка, соответствующих пересечениям штейнерианы с заданной коникой.

Когда коника вырождается в пару прямых, эта линия порядка оказывается ничем иным как смешанной второй полярой для этих прямых.

Таким образом, произвольной конике соответствует одна вполне определенная кривая порядка . Согласно теореме § 111f, коникам, описанных вокруг одного и того же четырехугольника, соответствуют кривые порядка , составляющие пучок.

Примечания[править]

  1. Сеть прямых на плоскости содержит ряд прямых, касающихся коники, имеющий индекс 2. Любые две прямые этого ряда касаются коники в двух точках точках, через которые проходит единственная прямая сети. — Перев.
  2. Salmon, Higher piane curves, p. 152.
  3. В авторском экземпляре отмечено, что поэтому смешанные вторые поляры для постоянной прямой и подвижной прямой проходят через постоянных точек гессианы. Также отмечено, что эти поляры составляют сеть. В самом деле, если поляра должна пройти через две точки , то прямая соединяет полюса прямой относительно коник . — Перев.
  4. В тексте имеется опять соединение принципа двойственности и понятия соседних точек и прямых: раз место полюсов коник имеет двойную точку, то сами коники имеют двойную касательную, что возможно лишь в случае вырождения коники. Сегре, в примечании к этому месту, рассматривает как огибающую вторых поляр для точек прямой и замечает, что оболочка кривых ряда индекса 2 имеет двойные точки в двух типах точек: 1.° в точках, общих всем кривым этого ряда, 2.° в двойных точках для некоторой кривой ряда. В тексте учтены только двойные точки первого типа, когда  — общая точка всех вторых поляр для точек , а прямая является частью коники , что, по мнению Сегре, требует исправления. — Перев.