Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/20

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Другие свойства гессианы и штейнерианы. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 20.

автор Луиджи Кремона
См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.


Штейнериана[править]

118. Пусть  — точка гессианы, а  — соответствующая ей точка штейнерианы. Прямая проходит через , а ее точки являются полюсами первых поляр, касающихся в точке прямой 112a); среди них имеется одна, имеющая в двойную точку, и ее полюсом является точка (88d; 90a).[1]

118a. Пусть  — две точки штейнеринаны; полюса прямой  — это пересечений поляр и , имеющих по двойной точке в соответствующих точках гессианы. Если взять точку бесконечно близко к , то прямая  — касательная к штейнериане в точке  — имеет полюс в ; поэтому касательные к штейнериане являются полярными прямыми для точек гессианы. Поэтому (§ 90b):

Штейнериана является оболочкой прямых, имеющих два совпадающих полюса.

118b. Эта теорема помогает вычислить класс штейнерианы. Полюса касательных, проведенных к этой кривой из произвольной точки , лежат на поляре , которая пересекает гессиану в точках. Поэтому штейнеринана имеет класс .

118c. Поскольку точки перегиба фундаментальной кривой принадлежат гессиане (§ 100), полярные прямые для этих точек, то есть стационарные касательные кривой , касаются и штейнерианы.

Точки штейнерианы, соответствующие точкам перегиба кривой , рассматриваемым как точки гессианы, лежат на стационарных касательных фундаментальной кривой; эти касательные к тому же касаются кривой класса , которую огибают индиктриссы для точек гессианы (§ 114b).

118d. В силу общей теоремы § 103-103a, -ая поляра для гессианы, то есть оболочка полярных прямых, полюса которых лежат на гессиане, является кривой класса и порядка , составной частью которой является штейнерианы. [2]

Если  — пересечение двух касательных к штейнериане, каждая из которых имеет полюс на гессиане, то через эти два полюса проходит первая поляра . Если эти касательные сливаются, то два полюса сливаются в одну единственную точку, в которой гессиана касается , и поэтому точка лежит на кривой , которую [согласно § 103a] можно рассматривать и как место полюсов поляр, касающихся гессианы. Но точки , которые можно определить как такие точки, в которых пересекаются две соседние касательные штейнерианы, — это, помимо точек самой кривой, точки, лежащие на любой из стационарных касательных к самой кривой. Следовательно, линия  — -ая поляра для гессианы — составлена из штейнерианы и ее стационарных касательных. Отсюда: штейнерианы имеет стационарных касательных.

Таким образом, о штейнериане мы знаем ее порядок , класс и число точек перегиба. Поэтому, по формулами Плюкера (§ 99, 100), можно найти остальные характеризующие ее числа:

Штейнериана кривой порядка .
порядок: класс:
число двойных точек: число двойных касательных:
число точек возврата: число стационарных касательных (точек перегиба):

Числа , и , к которому добавлено число точек, в которых стационарные касательные пересекают штейнериану и пересекаются между собой, являются соответственно числом точек возврата, двойных касательных и двойных точек составной кривой порядка , -ой полярой для гессианы, что согласуется с общими результатами § 103. [3]

Особые пучки сети[править]

119. Пусть  — некоторая касательная к штейнериане, проведенная в точке ; пусть, далее,  — соответствующая ей точка гессианы. Первые поляры для точек прямой образуют пучок кривых, касающихся в точке прямой . Среди кривых этого пучка имеется одна, именно , для которой точка является двойной, а еще других кривых, именно первых поляр для точек, в которых пересекает штейнериану, имеют где-то по двойной точке.

119a. Если  — двойная касательная к штейнериане, и  — точки касания, а и  — соответствующие им точки гессианы, то первый поляры для точек прямой касаются друг друга и в точке , и в точке . Поэтому (§ 118d):

В геометрической сети кривых порядка , имеется пучков, в каждом из которых кривые касаются друг друга в двух различных точках.

119b. Если на двойной касательной обе точки касания сливаются в точку , то есть эта прямая теперь является стационарной касательной штейнерианы, то точки и тоже сливаются в одну единственную точку, а первые поляры для точек прямой касаются друг друга с кратностью три в точке , являющейся двойной точкой поляры .

Кроме того, первые поляры касаются в точке гессианы, поскольку стационарные касательные штейнерианы являются составной частью места полюсов первых поляр, касающихся гессианы (§ 118d). Отсюда следует, что, если  — точка перегиба штейнерианы, а  — двойная точка первой поляры , то прямая касается гессианы в . [4]

Аналогично доказывается, что в геометрической сети кривых порядка имеется пучков, в каждом из которых кривые касаются друг друга с кратностью три, то есть оскулирующие друг с другом в одной точке.

Первая поляра, имеющая две двойные точки[править]

120. Рассмотрим первую поляру , имеющую две двойные точки — и . Проведем через точку произвольную прямую , первые поляры для точек прямой образуют пучок, кривые которого имеют двойных точек (§ 88), именно, точек, общих кривой и штейнериане, являются полюсами того же числа первых поляр, имеющих двойную точку. Но, поскольку две двойные точки лежат на одной и той же поляре , то этот пучок содержит только других кривых, обладающих двойными точками; отсюда получается, что пересекает штейнерину не более чем в точках, отличных от , то есть  — двойная точка штейнерианы.

Когда в качестве прямой взята полярная прямая , все первые поляры для ее точек касаются[5] друг друга в точке , а, следовательно, эта точка считается за две среди двойных точек пучка (§ 88a). Тогда точки и эквивалентны трем двойным точкам, пучок содержит только кривых, имеющих двойные точки [и отличных от ]; а это означает, что прямая имеет только точек, общих со штейнерианой и отличных от . Поэтому эта точка эквивалентна трем пересечениям этой кривой с прямой ; то же можно сказать и о прямой .

Итого: если первая поляра имеет две двойные точки и , то ее полюс является двойной точкой штейнерианы, касающейся здесь прямых и .

Вспомнив число двойных точек штейнерианы, подсчитанное в § 118, d), получаем:

В геометрической сети порядка , имеется кривых, каждая из которых имеет две двойные точки.[6]

Первая поляра, имеющая точку возврата[править]

121. Представим себе теперь первую поляру , имеющую точку возврата . Произвольная прямая , проведенная через точку , задает пучок первых поляр, одна из которых имеет точку возврата в точке ; поэтому число других первых поляр, имеющих двойные точки, равно 88b). Это означает, что прямая пересекает штейнериану в двух точках, сливающихся в точку .

Но если взять в качестве прямой поляру , то первые поляры для это прямой касаются друг друга в точке , и поэтому среди них имеется только , кривых, имеющих двойные точки [и отличных от ]; а это означает, что прямая имеет только точек (§88c), общих со штейнерианой и отличных от . Поэтому эта точка эквивалентна трем пересечениям прямой со штейнерианой, и это, очевидно, есть специфическое свойство прямой .

Итого: если первая поляра имеет точку возврата , то ее полюс является точкой возврата штейнерианы, касающейся здесь прямой .[7]

Воспользовавшись числом точек возврата штейнерианы, подсчитанным в § 118d, имеем:

В геометрической сети порядка , имеется кривых, каждая из которых имеет точку возврата.

Штейнериана и -ая поляра для заданной кривой[править]

122. Кривая порядка пересекает гессиану в точках; полярные прямые для этих точек касаются -ой поляры для 103e) и штейнерианы (§ 118a). Пусть  — одна из этих точек, а  — точка касания штейнерианы и полярной прямой . Поляра имеет двойную точку в , поэтому она имеет здесь две совпадающие точки, общие с кривой . Это означает, что точка принадлежит -ая поляра для , поскольку последнюю можно описать как место полюсов первых поляр, касающихся 103).

Иными словами: -ая поляра для заданной кривой порядка касается штейнерианы в точках, являющихся полюсами того же числа первых поляр, имеющих двойные точки там, где заданная кривая пересекает гессиану.

При имеем:

Произвольная прямая пересекает гессиану в точках, являющихся двойными для того же число первых поляр, полюса которых — это точки касания штейнерианы и -ой поляры для прямой .

Очевидно, что:

Если  — обычная касательная к гессиане, то -ая поляра для имеет со штейнерианой имеет одно четырехточечное касание и двухточечных.

Если  — стационарная касательная к гессиане, то -ая поляра для имеет со штейнерианой имеет одно шеститочечное касание и двухточечных.

Если  — двойная касательная к гессиане, то -ая поляра для имеет со штейнерианой имеет два четырехточечных касания и двухточечных.

Примечания[править]

  1. Удобнее воспользоваться общей теоремой § 78. — Перев.
  2. Штейнериана имеет тот же класс, но меньший при порядок 88d). — Перев.
  3. В тексте это — первый случай применения формул Плюкера к составным кривым. При этом каждая особая точка трактуется как некоторое число совпадающих двойных точек и точек возврата. Эта «интуитивно ясная» интерпретация была указана раньше, в §74d. — Перев.
  4. О случае, когда поляра имеет несколько двойных точек, будет сказано в след. параграфе. — Перев.
  5. В оригинале и переводе Курце здесь и в след. параграфе сказано «проходит», хотя в § 112a было доказано именно касание и именно это необходимо для применения теоремы из § 88a. По тем же непонятным причинам и в § 88с пропущено требование касания. — Перев.
  6. Steiner, Ук. соч. p. 4-5.
  7. Штейнер доказал, что штейнериана (которую он называл Kerncurve) имеет точек возврата (Журнал Крелля, Bd. 47, p. 4). Потом Клебш, обнаружив, что это число совпадает с числом поляр, имеющих точки возврата, предположил, что полюса этих поляр являются точками возврата штейнерианы, и доказал это свойство для случая (Ueber Curven vierter Ordnung, Журнал Крелля, Bd. 59, Berlin 1861, p. 131).