Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/19

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Кривые, описываемые точкой, индикатриссы для которых меняются по заданному закону. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 19.

автор Луиджи Кремона
См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.


112. Вернемся к общему случаю фундаментальной кривой произвольного порядка , и попытаемся провести через заданную точку прямую, касающуюся здесь первой поляры для точки этой же прямой[1]. Полюса первых поляр, проходящих через точку , лежат на полярной прямой . Если, кроме того, точка должна быть точкой касания поляры с прямой, проведенной через полюс , то поляра должна проходить через точку 70); поэтому точка  — это точка пересечения полярной прямой с полярной коникой , то есть должна быть касательной к полярной конике . Следовательно, искомые прямые — это две касательные, которые из точки можно провести к полярной конике для этой точки, то есть две индикатриссы точки 90c).

Рис. к § 112a.

112a. Если  — точка гессианы, то ее полярная коника — это пара прямых, пересекающихся в соответствующей точке штейнерианы, через которую проходит еще полярная прямая . Точки этой прямой — это полюса первых поляр , проходящих через точку и имеющих здесь общую касательную (§ 90a); [полюс одной из них лежит на этой касательной], отсюда следует, что эта прямая является индекатриссой для точки 112]. Но обе индикатриссы для совпадают с прямой 90c); откуда в силу § 98b имеем:

Прямая, соединяющая точку гессианы с соответствующей ей точкой штейнерианы, касается в первой из этих точек всех первых поляр, через нее проходящих.

Отсюда следует, что линия класса , которую огибают общие касательные в точках касания первых поляр (§ 91b), можно также определить как оболочку прямых, соединяющих пары соответствующих точек гессианы и штейнерианы98b).

112b. Пусть задана прямая , на ней существуют точек, каждая из которых, скажем , является полюсом первой поляры, касающейся прямой в некоторой точке 103c); следовательно на произвольной прямой имеется точек, для каждой из которых эта прямая является индикатриссой.

Если является касательной к фундаментальной кривой, то в точке касания совпадают две точки и две соответствующие им точки . [2]

Кривая [править]

113. Каково место точки , если одна из ее индикатрисс проходит через фиксированную точку ? Каждая прямая, проходящая через , содержит подходящих положений точки 112b); а точка представляет еще две другие точки , соответствующие двум индикатриссам для той же точки . Следовательно, искомое место — это кривая порядка , которая проходит два раза через точку .

Для касательной к фундаментальной кривой в точке касания совпадают две точки ; следовательно, линия касается в точках касания с прямыми, проведенными из этой точки . [Таким образом, кривые и касаются во всех своих общих точках, а сами эти точки лежат на .]

[Подсчитаем теперь число точек пересечения с полярой .] Заменяя в § 112 полюс на точку , имеем:

,

то есть точки пересечения поляр и , а таковых имеется , лежат на кривой . Наоборот, если лежит на пересечении и , то точка должна лежать на полярной конике и на касательной, проведенной из точки к полярной конике , а, следовательно, также и полярной прямой . Но тогда точка лежит на первой поляре . Таким образом, только эти точек являются общими для кривой с полярой ; а значит, в каждой из этих точек кривые касаются. [3] Итого: кривая касается фундаментальной кривой и второй поляры всюду, где она их пересекается, и все точек касания лежат на первой поляре .

Поскольку поляру , считаемую два раза, можно рассматривать как линию порядка , и поскольку фундаментальная кривая и поляра составляют вмести другую кривую того же порядка, то через точек, в которых поляра пересекает и поляру , можно провести пучок кривых порядка , каждая из которых касалась бы фундаментальной кривой и поляры во всех точках [пересечения с ними] (§ 41). Среди бесконечного числа кривых этого пучка та, которая проходит через точку , и есть кривая .

Оболочка индикатрисс для точек, лежащих на заданной кривой[править]

114. Какого класса оболочка индикатрисс для точек, лежащих на заданной кривой порядка ? Иными словами, сколько точек этой кривой имеют индикатриссы, проходящие через точку , зафиксированную произвольным образом? Согласно § 113, место точки , индикатриссы для которой проходят через , является кривой порядка , которая пересекает в точках; следовательно в пересекается касательных к искомой оболочке.

Следует заметить, что эта оболочка касается фундаментальной кривой всюду, где пересекается с , и, следовательно, пара индикатрисс для каждой из этих пересечений сливается с соответствующей касательной к . Итого:

Индикатриссы для точек, лежащих на линии порядка , огибают линию класса , касающуюся фундаментальной кривой в тех точках, в которых фундаментальная кривая пересекается с заданной линией порядка .

114a. Отсюда при следует, что индикатриссы для точек заданной прямой огибают кривую класса , касающуюся в точках самой этой прямой, поскольку она является индикатриссой для своих точек (§ 112b) [4].

114b. В доказанной в § 114 общей теоремы, если точка лежит на гессиане, являющейся кривой порядка , то индикатриссы для огибают кривую класса ; но поскольку в это случае для каждого положения точки пара индикатрисс сливается в одну единственную прямую (§ 90c), то оболочки редуцируется до : этот результат уже был получен другим способом в § 91b, 112a).

Эта оболочка содержит касательных, проходящих через заданную точку , поэтому каждая из точек гессианы, индикатриссами для которых служат названные касательные, представляет два пересечения гессианы с определенной в § 113 кривой .

Объединив это свойство с доказанным в § 113, имеем:

Пусть задана точка , то место точки , такой, что прямая является касательной к полярной конике , является линией порядка , которая проходит два раза через точку и касается фундаментальной кривой, ее гессианы и второй поляры всюду, где она пересекает эти кривые.

Место точки, индикатрисса для которой является касательной к заданной кривой[править]

115. Попытаемся теперь определить порядок места точки , индикатрисса для которой является касательной к заданной кривой класса , то есть выяснить сколько точек, лежащих на прямой , имеют индикатриссы, касающиеся кривой . Если точка движется вдоль прямой , то, в силу § 114a, ее индикатриссы огибают линию класса , которая имеет общих касательных с заданной кривой . Поэтому искомое место имеет порядок .

Если мы рассмотрим общую касательную к кривым и , то в точке касания с совпадают две точки , для которых касательная дает положение индикатриссы, отсюда получается, что искомое место касается фундаментальной кривой в точках, в которых фундаментальная кривая касается общих с кривой касательных, или же (что то же) в точках, в которых фундаментальная кривая пересекает первую поляру для 104d).

Кривая имеет общих касательных с оболочкой индикатрисс для точек гессианы, поэтому  — это и число точек, общих гессиане [имеющей согласно § 90a порядок ] и обсуждаемому сейчас месту порядка , итого:

Место точки, из которой можно провести касательные к ее полярной конике, одна из которых касается заданной кривой класса , является линией порядка , которая касается фундаментальной кривой и ее гессианы всюду, где их пересекает.

Кривая [править]

116. Пусть заданы две фиксированные точки и . Разыщем место точки , такой, что прямые и являются сопряженными полярами (§ 108) относительно полярной коники . Очевидно, что это место проходит через и .[5]

Пусть  — прямая, проведенная произвольным образом через , а  — точка на . Пусть полярные прямые и пересекают в точках и соответственно. Когда эти две точки сливаются в одну единственную точку, эта последняя оказывается полюсом прямой относительно коники , а, следовательно, и оказывается точкой искомого места.

Выберем на произвольным образом точку , ей отвечают положений полюса проходящей через нее полярной прямой , именно точки пересечения прямой и первой поляры , а, следовательно, столько же положений точки . Если, наоборот, взять произвольным образом точку , то есть задать точку пересечения прямых и , то полюс лежит на поляре , пересечения которой с дают положения точки , соответствующие заданной точке ; таким образом, этой точке соответствуют точек .

Следовательно, число точек на прямой , в которых и совпадают, равно ; поскольку же сама точка принадлежит искомой кривой, то ее порядок равен .

Обозначим ее как , поскольку, когда совпадает с , эта кривая совпадает с кривой , уже рассмотренной в § 113 [6].

Пусть  — точка касания фундаментальной кривой с касательной, проведенной из точки точки ; прямая касается в точке полярной коники , поэтому, какова бы ни была , прямая проходит через полюс . Следовательно, принадлежит кривой , то есть эта линия проходит через точек касания фундаментальной кривой с касательными, проведенными из точки ; и по той же причини — еще через точек, в которой касается прямых, проведенных через .[7]

Выясним, в скольких точках кривая пересекает поляру , которую для краткости будем называть смешанной второй полярой для точек и . Если проходит через , то и полярная прямая проходит через , иными словами, точки , являются сопряженными полюсами относительно коники 108). В таком случае, для того, чтобы прямые и были сопряженными относительно той же коники, достаточно, чтобы поляра проходила через или , то есть чтобы точка лежала или на поляре , или на . Поэтому кривая проходит через точки, в которых вторая смешанная поляра для пересекает первые поляры для этих точек.

Пусть теперь и  — две соответствующие точки гессианы и штейнерианы, такие, что прямая проходит через точку . Для того, чтобы выразить условие — прямые и являются сопряженными относительно коники  — достаточно сказать, что прямые , и пересекаются в одной точке. Но в рассматриваемом случае коника является парой прямых, пересекающихся в точке 90a), поэтому через эту точку проходят прямые и . Но по предположению и прямая проходит через точку , а значит, точка принадлежит , то есть эта кривая проходит через точек гессианы, индикатриссы которой пересекаются в точке 112a). Аналогично, кривая проходит и через точек гессианы, индикатриссы которой проходят через точку . Итого:

Пусть заданы две точки и , тогда место точки , такой, что прямые и являются сопряженными относительно коники , является кривой порядка , проходящей через:

  1. точки и ;
  2. точки, в которых фундаментальная кривая касается прямых, проходящих через или ;
  3. точки, в которых касается прямой, проходящей через , или касается прямой, проходящей через ;
  4. точки гессианы, индикатриссы для которых проходят через или .

116a. Другими словами, кривая пересекает фундаментальную кривую и ее гессиану в тех точках, где она касается кривых и , зависящих только от точек и соответственно (§ 113).

116b. Если задана точка , а движется, описывая прямую , то линия порождает пучок. В самом деле, какова бы ни была точка , эта линия проходит через постоянных точек, именно:

  1. точку ;
  2. точек , в которых она касается прямых, проведенных из точки ;
  3. точек гессианы, индикатриссы которой пересекаются в точке ;
  4. точек, в которых (помимо подвижной точки ) прямая пересекает ; эти точки неподвижны, поскольку являются общими точками двух проективных инволюций, независящих от .[8]

Это свойство может быть доказано путем подсчета кривых , проходящих через заданную точку , когда фиксировано, а должна лежать на прямой . Поскольку прямые и должны быть сопряженными относительно коники , то точка должна быть пересечением прямой с прямой, соединяющей точку с полюсом относительно коники . [Поэтому через проходит одна единственная кривая с указанными свойствами, а значит, все эти кривые образуют пучок.]

Тем же путем доказывается след.: если точка фиксирована, кривые , проходящие через одну и ту же точку образуют пучок; то есть что через две заданные точки, скажем и , проходит одна единственная кривая при фиксированном и т. д.

Обобщения[править]

117. Предыдущее исследование (§ 116) может быть обобщено, если вместо точки взять кривую-оболочку или также вместо  — другую кривую-оболочку, или же одну единственную кривую вместо систему двух точек.

Пусть задана кривая кривая класса и точка , попытаемся определить место точки , такой, что прямая является сопряженной относительно коники к какой-либо касательной, которую можно провести через точку к кривой : иными словами, прямая проходит через точку пересечения прямой и взаимной поляры для относительно коники 110).

Искомая кривая проходит раз через , поскольку, если точка попадает в , то имеется прямых , удовлетворяющих указанному выше условию: именно, прямые, соединяющие точку с точками, в которых полярная прямая пересекает взаимную поляру для (относительно коники ).

Пусть  — точка на кривой , тогда прямая является касательной к фундаментальной кривой в этой точке. Если эта прямая касается еще и , то принадлежит взаимной поляре для (относительно ) и, следовательно, какова бы ни была точка , прямая проходит через точку , общую взаимной поляре и прямой , а значит, точка точка принадлежит искомому месту. Стало быть, это место содержит точек касания фундаментальной кривой с общими с кривой касательными.

Если же принадлежит и является касательной к этой кривой в точке , то . Эта прямая пересекает в точках взаимную поляру для , поэтому является точкой кратности искомой кривой. Последняя имеет, таким образом, точек кратности там, где касается прямых, проведенных из точки .

Пусть теперь  — точка гессианы, а  — соответствующая ей точка штейнерианы. Если прямая является касательной к заданной кривой , то она сопряжена к прямой относительно коники , поскольку эта прямая, как и поляры , , проходит через точку . [9] Отсюда получается, что точка принадлежит рассматриваемому месту, а это означает, что это место проходит через точек гессианы, индикатриссы в которых касаются 112a].

Пусть опять и  — соответствующие точки гессианы и штейнерианы, но пусть теперь прямая проходит через точку . Тогда, поскольку коника является парой прямых, парой прямых, пересекающихся в точке , поляра, взаимная к относительно этой коники, является пучком прямых, пересекающихся в точке 110a). Поэтому точка представляет пересечений как прямой , так и поляры с взаимной полярой для , и следовательно, является местом соседних точек, общих искомой кривой и гессиане. Поэтому обсуждаемое геометрическое место имеет касание порядка с гессианой в каждой из точек, индикатриссы которых проходят через . [10]

Используем последнее обстоятельство для вычисления порядка обсуждаемой кривой. Пусть  — произвольная прямая, проведенная через точку , и пусть  — некоторая точка прямой . Пусть, далее, прямая пересекает в точке , а взаимная полярая для (относительно коники ) пересекает прямую в точках . Если взять произвольным образом точку , то ей ответят положений точки (пересечения прямой с полярой ) и, следовательно, положений для точки . Если же наоборот, взять произвольным образом , как пересечение прямой с взаимной полярой для относительно полярной коники с неопределенным полюсом, то этот полюс лежит на первой поляре для относительно 104, k), то есть на кривой порядка 104, d), которая пересекает в том же числе точек , и каждой из них соответствует одна точка . Поэтому каждой точке отвечает точек , а каждой точке  — точек ; поэтому совпадение точки с одной из соответствующих ей точек происходит раз. Как только такое совпадение подтверждается, точка принадлежит искомой кривой. Значит, эта кривая имеет точек на , помимо точки , которая считается ; иными словами, порядок равен .

117a. Аналогично доказывается след.:

Пусть заданы две кривые и классов и соответственно, тогда место точки , такой, что проведенные через нее две прямые, одна касающаяся кривой , а другая — кривой , являются сопряженными относительно коники , является линией порядка , которая

  1. проходит раз через каждую из точек, в которых фундаментальная кривая касается прямых, касающихся кривой ;
  2. проходит раз через каждую из точек, в которых касается прямых, касающихся кривой ;
  3. имеет касание кратности с гессианой в каждой из точек, в которых касаются ;
  4. имеет касание кратности с гессианой в каждой из точек, в которых касаются .

117b. Если же задана одна единственная оболочка класса , и ищется место точки , такой, что две касательные, проведенные из нее к , являются сопряженными относительно коники , то получается линия порядка , проходящая раз через каждую из точек, где фундаментальная кривая касается касательных к , касающаяся с порядком гессианы в каждой из ее точек, индикатриссы для которых касаются .

Примечания[править]

  1. Clebsch, Ук. соч. p. 280—285.
  2. Точки пересечения пучка поляр с прямой задают инволюцию степени , откуда и получается указанное число кратных точек. Если же прямая касается фундаментальной кривой в точке , то эта точка принадлежит всем полярам пучка и поэтому число двойных точек, отличных от , есть , и число всех касаний совпадет с общим случаем, если посчитать два раза. Такой способ подсчета вполне оправдывается для задачи след. параграфа. — Перев.
  3. Видимо, этот вывод делается только на основе того, что кривые имеют с учетом кратностей в точках. — Перев.
  4. В авторском экз. отмечено, что эта кривая имеет порядок и содержит, помимо названных точек, еще пересечений заданной прямой с гессианой и фундаментальной кривой. — Перев.
  5. При условие понимается так: прямая, соединяющая точку с полюсом прямой , удовлетворяет двум совпадающием условиям — требованиям прохождения через точку и точку . — Перев.
  6. В авторском экземпляре отмечено, что пересекает прямую в точках, полярные коники для которых касаются этой прямой, то в точках, принадлежащих кривым и . — Перев.
  7. В соответствии с договоренностью (§ 102) молчаливо подразумевается, что  — неособая кривая порядка . — Перев.
  8. Эти инволюции уже были введены при подсчете порядка кривой . — Перев.
  9. Когда полюс пробегает прямую , поляра вращается вокруг точки . — Перев.
  10. Сегре считает, что рассматриваемое место имеет точку кратности и предлагает заменить «касание порядка » на «пересечение порядка ». Это, однако, едва ли соответствует точке зрения автора. Своеобразие его подхода к использованию бесконечно близких точек здесь пополняется важной деталью: двумя абзацами выше на имелось различных точек взаимной поляры и из этого выводилось, что  — точка кратности , теперь же эти точки — бесконечно близкие и из этого выводится, что в точке будет касание с кратностью . — Перев.