Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/19

Кривые, описываемые точкой, индикатриссы для которых меняются по заданному закону. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 19.
автор Луиджи Кремона

См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.

112. Вернемся к общему случаю фундаментальной кривой $C_{n}$ произвольного порядка $n$, и попытаемся провести через заданную точку $p$ прямую, касающуюся здесь первой поляры $oC_{n}$ для точки $o$ этой же прямой^[1]. Полюса первых поляр, проходящих через точку $p$, лежат на полярной прямой $p^{n-1}C_{n}$. Если, кроме того, точка $p$ должна быть точкой касания поляры $oC_{n}$ с прямой, проведенной через полюс $o$, то поляра $o(oC_{n})=o^{2}C_{n}$ должна проходить через точку $p$ (§ 70); поэтому точка $o$ — это точка пересечения полярной прямой $p^{n-1}C_{n}=pp^{n-2}C_{n}$ с полярной коникой $p^{n-2}C_{n}$, то есть $po$ должна быть касательной к полярной конике $p^{n-2}C_{n}$. Следовательно, искомые прямые — это две касательные, которые из точки $p$ можно провести к полярной конике для этой точки, то есть две индикатриссы точки $p$ (§ 90c).

Рис. к § 112a.

112a. Если $p$ — точка гессианы, то ее полярная коника — это пара прямых, пересекающихся в соответствующей точке $o$ штейнерианы, через которую проходит еще полярная прямая $p^{n-1}C_{n}$. Точки этой прямой — это полюса первых поляр , проходящих через точку $p$ и имеющих здесь общую касательную (§ 90a); [полюс одной из них лежит на этой касательной], отсюда следует, что эта прямая является индекатриссой для точки $p$ [§ 112]. Но обе индикатриссы для $p$ совпадают с прямой $po$ (§ 90c); откуда в силу § 98b имеем:

Прямая, соединяющая точку гессианы с соответствующей ей точкой штейнерианы, касается в первой из этих точек всех первых поляр, через нее проходящих.

Отсюда следует, что линия класса $3(n-1)(n-2)$, которую огибают общие касательные в точках касания первых поляр (§ 91b), можно также определить как оболочку прямых, соединяющих пары соответствующих точек гессианы и штейнерианы (§ 98b).

112b. Пусть задана прямая $R$, на ней существуют $2(n-2)$ точек, каждая из которых, скажем $o$, является полюсом первой поляры, касающейся прямой $R$ в некоторой точке $p$ (§ 103c); следовательно на произвольной прямой имеется $2(n-2)$ точек, для каждой из которых эта прямая является индикатриссой.

Если $R$ является касательной к фундаментальной кривой, то в точке касания совпадают две точки $o$ и две соответствующие им точки $p$. ^[2]

Кривая $L^{ii}$

113. Каково место точки $p$, если одна из ее индикатрисс проходит через фиксированную точку $i$? Каждая прямая, проходящая через $i$, содержит $2(n-2)$ подходящих положений точки $p$ (§ 112b); а точка $i$ представляет еще две другие точки $p$, соответствующие двум индикатриссам для той же точки $i$. Следовательно, искомое место — это кривая $L^{ii}$ порядка $2(n-2)+2=2(n-1)$, которая проходит два раза через точку $i$.

Для касательной к фундаментальной кривой в точке касания совпадают две точки $p$; следовательно, линия $L^{ii}$ касается $C_{n}$ в $n(n-1)$ точках касания с прямыми, проведенными из этой точки $i$. [Таким образом, кривые $L^{ii}$ и $C_{n}$ касаются во всех своих общих точках, а сами эти точки лежат на $iC_{n}$.]

[Подсчитаем теперь число точек пересечения $L^{ii}$ с полярой $i^{2}C_{n}$.] Заменяя в § 112 полюс $o$ на точку $i$, имеем:

$iC_{n}\cap i^{2}C_{n}\subset L^{ii}$,

то есть точки пересечения поляр $iC_{n}$ и $i^{2}C_{n}$, а таковых имеется $(n-1)(n-2)$, лежат на кривой $L^{ii}$. Наоборот, если $p$ лежит на пересечении $i^{2}C_{n}$ и $L^{ii}$, то точка $i$ должна лежать на полярной конике $p^{n-2}C_{n}$ и на касательной, проведенной из точки $p$ к полярной конике $p^{n-2}C_{n}$, а, следовательно, также и полярной прямой $p^{n-1}C_{n}$. Но тогда точка $p$ лежит на первой поляре $iC_{n}$. Таким образом, только эти $(n-1)(n-2)$ точек являются общими для кривой $L^{ii}$ с полярой $i^{2}C_{n}$; а значит, в каждой из этих точек кривые касаются. ^[3] Итого: кривая $L^{ii}$ касается фундаментальной кривой и второй поляры $i^{2}C_{n}$ всюду, где она их пересекается, и все $n(n-1)+(n-1)(n-2)$ точек касания лежат на первой поляре $iC_{n}$.

Поскольку поляру $iC_{n}$, считаемую два раза, можно рассматривать как линию порядка $2(n-1)$, и поскольку фундаментальная кривая и поляра $i^{2}C_{n}$ составляют вмести другую кривую того же порядка, то через $2(n-1)^{2}$ точек, в которых поляра $iC_{n}$ пересекает $C_{n}$ и поляру $i^{2}C_{n}$, можно провести пучок кривых порядка $2(n-1)$, каждая из которых касалась бы фундаментальной кривой и поляры $i^{2}C_{n}$ во всех точках [пересечения с ними] (§ 41). Среди бесконечного числа кривых этого пучка та, которая проходит через точку $i$, и есть кривая $L^{ii}$.

Оболочка индикатрисс для точек, лежащих на заданной кривой

114. Какого класса оболочка индикатрисс для точек, лежащих на заданной кривой $C_{m}$ порядка $m$? Иными словами, сколько точек этой кривой имеют индикатриссы, проходящие через точку $i$, зафиксированную произвольным образом? Согласно § 113, место точки $p$, индикатриссы для которой проходят через $i$, является кривой порядка $2(n-1)$, которая пересекает $C_{m}$ в $2m(n-1)$ точках; следовательно в $i$ пересекается $2m(n-1)$ касательных к искомой оболочке.

Следует заметить, что эта оболочка касается фундаментальной кривой $C_{n}$ всюду, где $C_{n}$ пересекается с $C_{m}$, и, следовательно, пара индикатрисс для каждой из этих пересечений сливается с соответствующей касательной к $C_{n}$. Итого:

Индикатриссы для точек, лежащих на линии порядка $m$, огибают линию класса $2m(n-1)$, касающуюся фундаментальной кривой в тех точках, в которых фундаментальная кривая пересекается с заданной линией порядка $m$.

114a. Отсюда при $m=1$ следует, что индикатриссы для точек заданной прямой огибают кривую класса $2(n-1)$, касающуюся в $2(n-2)$ точках самой этой прямой, поскольку она является индикатриссой для $2(n-2)$ своих точек (§ 112b) ^[4].

114b. В доказанной в § 114 общей теоремы, если точка $p$ лежит на гессиане, являющейся кривой порядка $3(n-2)$, то индикатриссы для $p$ огибают кривую класса $6(n-1)(n-2)$; но поскольку в это случае для каждого положения точки $p$ пара индикатрисс сливается в одну единственную прямую (§ 90c), то оболочки редуцируется до $3(n-1)(n-2)$: этот результат уже был получен другим способом в § 91b, 112a).

Эта оболочка содержит $3(n-1)(n-2)$ касательных, проходящих через заданную точку $i$, поэтому каждая из $3(n-1)(n-2)$ точек $p$ гессианы, индикатриссами для которых служат названные касательные, представляет два пересечения гессианы с определенной в § 113 кривой $L^{ii}$.

Объединив это свойство с доказанным в § 113, имеем:

Пусть задана точка $i$, то место точки $p$, такой, что прямая $pi$ является касательной к полярной конике $p^{n-2}C_{n}$, является линией $L^{ii}$ порядка $2(n-1)$, которая проходит два раза через точку $i$ и касается фундаментальной кривой, ее гессианы и второй поляры $i^{2}C_{n}$ всюду, где она пересекает эти кривые.

Место точки, индикатрисса для которой является касательной к заданной кривой

115. Попытаемся теперь определить порядок места точки $p$, индикатрисса для которой является касательной к заданной кривой $K_{r}$ класса $r$, то есть выяснить сколько точек, лежащих на прямой $R$, имеют индикатриссы, касающиеся кривой $K_{r}$. Если точка $p$ движется вдоль прямой $R$, то, в силу § 114a, ее индикатриссы огибают линию класса $2(n-1)$, которая имеет $2r(n-1)$ общих касательных с заданной кривой $K_{r}$. Поэтому искомое место имеет порядок $2r(n-1)$.

Если мы рассмотрим общую касательную к кривым $K_{r}$ и $C_{n}$, то в точке касания с $C_{n}$ совпадают две точки $p$, для которых касательная дает положение индикатриссы, отсюда получается, что искомое место касается фундаментальной кривой в $rn(n-1)$ точках, в которых фундаментальная кривая касается общих с кривой $K_{r}$ касательных, или же (что то же) в точках, в которых фундаментальная кривая пересекает первую поляру для $K_{r}$ (§ 104d).

Кривая $K_{r}$ имеет $3r(n-1)(n-2)$ общих касательных с оболочкой индикатрисс для точек гессианы, поэтому $3r(n-1)(n-2)$ — это и число точек, общих гессиане [имеющей согласно § 90a порядок $3(n-2)$] и обсуждаемому сейчас месту порядка $2r(n-1)$, итого:

Место точки, из которой можно провести касательные к ее полярной конике, одна из которых касается заданной кривой класса $r$, является линией порядка $2r(n-1)$, которая касается фундаментальной кривой и ее гессианы всюду, где их пересекает.

Кривая $L^{ij}$

116. Пусть заданы две фиксированные точки $i$ и $j$. Разыщем место точки $p$, такой, что прямые $pi$ и $pj$ являются сопряженными полярами (§ 108) относительно полярной коники $p^{n-2}C_{n}$. Очевидно, что это место проходит через $i$ и $j$.^[5]

Пусть $R$ — прямая, проведенная произвольным образом через $j$, а $p$ — точка на $R$. Пусть полярные прямые $pp^{n-2}C_{n}$ и $ip^{n-2}C_{n}$ пересекают $R$ в точках $a$ и $b$ соответственно. Когда эти две точки сливаются в одну единственную точку, эта последняя оказывается полюсом прямой $pi$ относительно коники $p^{n-2}C_{n}$, а, следовательно, и $p$ оказывается точкой искомого места.

Выберем на $R$ произвольным образом точку $a$, ей отвечают $n-1$ положений полюса $p$ проходящей через нее полярной прямой $pp^{n-2}C_{n}=p^{n-1}C_{n}$, именно точки пересечения прямой $R$ и первой поляры $aC_{n}$, а, следовательно, столько же положений точки $b$. Если, наоборот, взять произвольным образом точку $b$, то есть задать точку пересечения прямых $R$ и $ip^{n-2}C_{n}$, то полюс $p$ лежит на поляре $ibC_{n}$, $n-2$ пересечения которой с $R$ дают положения точки $p$, соответствующие заданной точке $b$; таким образом, этой точке соответствуют $n-2$ точек $a$.

Следовательно, число точек $p$ на прямой $R$, в которых $a$ и $b$ совпадают, равно $(n-1)+(n-2)$; поскольку же сама точка $j$ принадлежит искомой кривой, то ее порядок равен $(n-1)+(n-2)+1=2(n-1)$.

Обозначим ее как $L^{ij}$, поскольку, когда $j$ совпадает с $i$, эта кривая совпадает с кривой $L^{ii}$, уже рассмотренной в § 113 ^[6].

Пусть $p$ — точка касания фундаментальной кривой с касательной, проведенной из точки точки $i$; прямая $p^{n-1}C_{n}=pi$ касается в точке $p$ полярной коники $p^{n-2}C_{n}$, поэтому, какова бы ни была $j$, прямая $pj$ проходит через полюс $pi$. Следовательно, $p$ принадлежит кривой $L^{ij}$, то есть эта линия проходит через $n(n-1)$ точек касания фундаментальной кривой с касательными, проведенными из точки $i$; и по той же причини — еще через $n(n-1)$ точек, в которой $C_{n}$ касается прямых, проведенных через $j$.^[7]

Выясним, в скольких точках кривая $L^{ij}$ пересекает поляру $ijC_{n}$, которую для краткости будем называть смешанной второй полярой для точек $i$ и $j$. Если $ijC_{n}$ проходит через $p$, то и полярная прямая $ip^{n-2}C_{n}$ проходит через $j$, иными словами, точки $i$, $j$ являются сопряженными полюсами относительно коники $p^{n-2}C_{n}$ (§ 108). В таком случае, для того, чтобы прямые $pi$ и $pj$ были сопряженными относительно той же коники, достаточно, чтобы поляра $p^{n-1}C_{n}$ проходила через $i$ или $j$, то есть чтобы точка $p$ лежала или на поляре $iC_{n}$, или на $jC_{n}$. Поэтому кривая $L^{ij}$ проходит через точки, в которых вторая смешанная поляра для $i,j$ пересекает первые поляры для этих точек.

Пусть теперь $p$ и $o$ — две соответствующие точки гессианы и штейнерианы, такие, что прямая $po$ проходит через точку $i$. Для того, чтобы выразить условие — прямые $pi$ и $pj$ являются сопряженными относительно коники $p^{n-2}C_{n}$ — достаточно сказать, что прямые $p^{n-1}C_{n}$, $jp^{n-2}C_{n}$ и $pi$ пересекаются в одной точке. Но в рассматриваемом случае коника $p^{2}C_{n}$ является парой прямых, пересекающихся в точке $o$ (§ 90a), поэтому через эту точку проходят прямые $p^{n-1}C_{n}$ и $jp^{n-2}C_{n}$. Но по предположению и прямая $pi$ проходит через точку $o$, а значит, точка $p$ принадлежит $L^{ij}$, то есть эта кривая проходит через $3(n-1)(n-2)$ точек гессианы, индикатриссы которой пересекаются в точке $i$ (§ 112a). Аналогично, кривая $L^{ij}$ проходит и через $3(n-1)(n-2)$ точек гессианы, индикатриссы которой проходят через точку $j$. Итого:

Пусть заданы две точки $i$ и $j$, тогда место точки $p$, такой, что прямые $pi$ и $pj$ являются сопряженными относительно коники $p^{n-2}C_{n}$, является кривой $L^{ij}$ порядка $2(n-1)$, проходящей через:

1. точки $i$ и $j$;
2. точки, в которых фундаментальная кривая касается прямых, проходящих через $i$ или $j$;
3. точки, в которых $iC_{n}$ касается прямой, проходящей через $j$, или $jC_{n}$ касается прямой, проходящей через $i$;
4. точки гессианы, индикатриссы для которых проходят через $i$ или $j$.

116a. Другими словами, кривая $L^{ij}$ пересекает фундаментальную кривую и ее гессиану в тех точках, где она касается кривых $L^{ii}$ и $L^{jj}$, зависящих только от точек $i$ и $j$ соответственно (§ 113).

116b. Если задана точка $i$, а $j$ движется, описывая прямую $R$, то линия $L^{ij}$ порождает пучок. В самом деле, какова бы ни была точка $j$, эта линия проходит через $4(n-1)^{2}$ постоянных точек, именно:

1. точку $i$;
2. $n(n-1)$ точек $C_{n}$, в которых она касается прямых, проведенных из точки $i$;
3. $3(n-1)(n-2)$ точек гессианы, индикатриссы которой пересекаются в точке $i$;
4. $2n-3$ точек, в которых (помимо подвижной точки $j$) прямая $R$ пересекает $L^{ji}$; эти точки неподвижны, поскольку являются общими точками двух проективных инволюций, независящих от $j$.^[8]

Это свойство может быть доказано путем подсчета кривых $L^{ij}$, проходящих через заданную точку $q$, когда $i$ фиксировано, а $j$ должна лежать на прямой $R$. Поскольку прямые $qi$ и $qj$ должны быть сопряженными относительно коники $q^{n-2}C_{n}$, то точка $j$ должна быть пересечением прямой $R$ с прямой, соединяющей точку $q$ с полюсом $qi$ относительно коники $q^{n-2}C_{n}$. [Поэтому через $q$ проходит одна единственная кривая $L^{ij}$ с указанными свойствами, а значит, все эти кривые образуют пучок.]

Тем же путем доказывается след.: если точка $i$ фиксирована, кривые $L^{ij}$, проходящие через одну и ту же точку $q$ образуют пучок; то есть что через две заданные точки, скажем $q$ и $q'$, проходит одна единственная кривая $L^{ij}$ при фиксированном $i$ и т. д.

Обобщения

117. Предыдущее исследование (§ 116) может быть обобщено, если вместо точки $j$ взять кривую-оболочку или также вместо $i$ — другую кривую-оболочку, или же одну единственную кривую вместо систему двух точек.

Пусть задана кривая кривая $K_{r}$ класса $r$ и точка $i$, попытаемся определить место точки $p$, такой, что прямая $pi$ является сопряженной относительно коники $p^{n-2}C_{n}$ к какой-либо касательной, которую можно провести через точку $p$ к кривой $K_{r}$: иными словами, прямая $pi$ проходит через точку пересечения прямой $p^{n-1}C_{n}$ и взаимной поляры для $K_{r}$ относительно коники $p^{n-2}C_{n}$ (§ 110).

Искомая кривая проходит $r$ раз через $i$, поскольку, если точка $p$ попадает в $i$, то имеется $r$ прямых $pi$, удовлетворяющих указанному выше условию: именно, прямые, соединяющие точку $i$ с $r$ точками, в которых полярная прямая $p^{n-1}C_{n}$ пересекает взаимную поляру для $K_{r}$ (относительно коники $i^{n-2}C_{n}$).

Пусть $p$ — точка на кривой $C_{n}$, тогда прямая $p^{n-1}C_{n}$ является касательной к фундаментальной кривой в этой точке. Если эта прямая касается еще и $K_{r}$, то $p$ принадлежит взаимной поляре для $K_{r}$ (относительно $p^{n-2}C_{n}$) и, следовательно, какова бы ни была точка $i$, прямая $pi$ проходит через точку $p$, общую взаимной поляре и прямой $p^{n-1}C_{n}$, а значит, точка точка принадлежит искомому месту. Стало быть, это место содержит $rn(n-1)$ точек касания фундаментальной кривой с общими с кривой $K_{r}$ касательными.

Если же $p$ принадлежит $C_{n}$ и $pi$ является касательной к этой кривой в точке $p$, то $pi=p^{n-1}C_{n}$. Эта прямая пересекает в $r$ точках взаимную поляру для $K_{r}$, поэтому $p$ является точкой кратности $r$ искомой кривой. Последняя имеет, таким образом, $n(n-1)$ точек кратности $r$ там, где $C_{n}$ касается прямых, проведенных из точки $i$.

Пусть теперь $p$ — точка гессианы, а $o$ — соответствующая ей точка штейнерианы. Если прямая $po$ является касательной к заданной кривой $K_{r}$, то она сопряжена к прямой $pi$ относительно коники $p^{n-2}C_{n}$, поскольку эта прямая, как и поляры $pp^{n-2}C_{n}$, $ip^{n-2}C_{n}$, проходит через точку $o$. ^[9] Отсюда получается, что точка $p$ принадлежит рассматриваемому месту, а это означает, что это место проходит через $3r(n-1)(n-2)$ точек гессианы, индикатриссы в которых касаются $K_{r}$ [§ 112a].

Пусть опять $p$ и $o$ — соответствующие точки гессианы и штейнерианы, но пусть теперь прямая $po$ проходит через точку $i$. Тогда, поскольку коника $p^{n-2}C_{n}$ является парой прямых, парой прямых, пересекающихся в точке $o$, поляра, взаимная к $K_{r}$ относительно этой коники, является пучком $r$ прямых, пересекающихся в точке $o$ (§ 110a). Поэтому точка $o$ представляет $r$ пересечений как прямой $pi$, так и поляры $p^{n-1}C_{n}$ с взаимной полярой для $K_{r}$, и следовательно, $p$ является местом $r$ соседних точек, общих искомой кривой и гессиане. Поэтому обсуждаемое геометрическое место имеет касание порядка $r$ с гессианой в каждой из $3(n-1)(n-2)$ точек, индикатриссы которых проходят через $i$. ^[10]

Используем последнее обстоятельство для вычисления порядка обсуждаемой кривой. Пусть $R$ — произвольная прямая, проведенная через точку $i$, и пусть $p$ — некоторая точка прямой $R$. Пусть, далее, прямая $p^{n-1}C_{n}$ пересекает $R$ в точке $a$, а взаимная полярая для $K_{r}$ (относительно коники $p^{n-2}C_{n}$) пересекает прямую $R$ в $r$ точках $b$. Если взять произвольным образом точку $a$, то ей ответят $n-1$ положений точки $p$ (пересечения прямой $R$ с полярой $aC_{n}$) и, следовательно, $r(n-1)$ положений для точки $b$. Если же наоборот, взять произвольным образом $b$, как пересечение прямой $R$ с взаимной полярой для $K_{r}$ относительно полярной коники с неопределенным полюсом, то этот полюс лежит на первой поляре для $K_{r}$ относительно $bC_{n}$ (§104, k), то есть на кривой порядка $r(n-2)$ (§104, d), которая пересекает $R$ в том же числе точек $p$, и каждой из них соответствует одна точка $a$. Поэтому каждой точке $a$ отвечает $r(n-1)$ точек $b$, а каждой точке $b$ — $r(n-2)$ точек $a$; поэтому совпадение точки $a$ с одной из соответствующих ей точек $b$ происходит $r(n-1)+r(n-2)$ раз. Как только такое совпадение подтверждается, точка $p$ принадлежит искомой кривой. Значит, эта кривая имеет $r(2n-3)$ точек на $R$, помимо точки $i$, которая считается $r$; иными словами, порядок равен $2r(n-1)$.

117a. Аналогично доказывается след.:

Пусть заданы две кривые $K_{r}$ и $K_{s}$ классов $r$ и $s$ соответственно, тогда место точки $p$, такой, что проведенные через нее две прямые, одна касающаяся кривой $K_{r}$, а другая — кривой $K_{s}$, являются сопряженными относительно коники $p^{n-2}C_{n}$, является линией порядка $2rs(n-1)$, которая

1. проходит $s$ раз через каждую из $rn(n-1)$ точек, в которых фундаментальная кривая $C_{n}$ касается прямых, касающихся кривой $K_{r}$;
2. проходит $r$ раз через каждую из $sn(n-1)$ точек, в которых $C_{n}$ касается прямых, касающихся кривой $K_{s}$;
3. имеет касание кратности $s$ с гессианой в каждой из $3r(n-1)(n-2)$ точек, в которых касаются $K_{r}$;
4. имеет касание кратности $r$ с гессианой в каждой из $3s(n-1)(n-2)$ точек, в которых касаются $K_{s}$.

117b. Если же задана одна единственная оболочка $K_{r}$ класса $r$, и ищется место точки $p$, такой, что две касательные, проведенные из нее к $K_{r}$, являются сопряженными относительно коники $p^{n-2}C_{n}$, то получается линия порядка $rn(r-1)(n-1)$, проходящая $r-1$ раз через каждую из $rn(n-1)$ точек, где фундаментальная кривая касается касательных к $K_{r}$, касающаяся с порядком $(r-1)$ гессианы в каждой из $3r(n-1)(n-2)$ ее точек, индикатриссы для которых касаются $K_{r}$.

Примечания

1. Clebsch, Ук. соч. p. 280—285.
2. Точки пересечения пучка поляр с прямой $R$ задают инволюцию степени $n-1$, откуда и получается указанное число кратных точек. Если же прямая $R$ касается фундаментальной кривой в точке $p$, то эта точка принадлежит всем полярам пучка и поэтому число двойных точек, отличных от $p$, есть $2(n-2)-2$, и число всех касаний совпадет с общим случаем, если $p$ посчитать два раза. Такой способ подсчета вполне оправдывается для задачи след. параграфа. — Перев.
3. Видимо, этот вывод делается только на основе того, что кривые $L^{ii}$ $i^{2}C_{n}$ имеют с учетом кратностей в $2(n-1)(n-2)$ точках. — Перев.
4. В авторском экз. отмечено, что эта кривая имеет порядок $8n-14$ и содержит, помимо названных $2(n-2)$ точек, еще $3(n-2)+n$ пересечений заданной прямой с гессианой и фундаментальной кривой. — Перев.
5. При $p=i$ условие понимается так: прямая, соединяющая точку $p=i$ с полюсом прямой $pj=ij$, удовлетворяет двум совпадающием условиям — требованиям прохождения через точку $i$ и точку $p$. — Перев.
6. В авторском экземпляре отмечено, что $L^{ij}$ пересекает прямую $ij$ в $2(n-2)$ точках, полярные коники для которых касаются этой прямой, то в точках, принадлежащих кривым $L^{ii}$ и $L^{ij}$. — Перев.
7. В соответствии с договоренностью (§ 102) молчаливо подразумевается, что $C_{n}$ — неособая кривая порядка $n$. — Перев.
8. Эти инволюции уже были введены при подсчете порядка кривой $L^{ij}$. — Перев.
9. Когда полюс $q$ пробегает прямую $ip$, поляра $qp^{n-2}C_{n}$ вращается вокруг точки $o$. — Перев.
10. Сегре считает, что рассматриваемое место имеет точку кратности $r$ и предлагает заменить «касание порядка $r$» на «пересечение порядка $r$». Это, однако, едва ли соответствует точке зрения автора. Своеобразие его подхода к использованию бесконечно близких точек здесь пополняется важной деталью: двумя абзацами выше на $pi$ имелось $r$ различных точек взаимной поляры и из этого выводилось, что $p$ — точка кратности $r$, теперь же эти точки — бесконечно близкие и из этого выводится, что в точке $p$ будет касание с кратностью $r$. — Перев.