Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/1

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Ангармоническое отношение. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 1.

автор Луиджи Кремона
См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.


Ангармоническое отношение четырех точек[править]

1. Пусть на прямой заданы четыре точки , , и ; точка делит отрезок в отношении , а точка — в отношении . [1] Отношение этих двух величин,

,

называется ангармоническим отношением[2] четырех точек , , и и обозначается символом [3]. Меняя порядок, в котором рассматриваются заданные точки, получим 4! ангармонических отношений, поскольку именно столько имеется перестановок четырех элементов. Коль скоро

,

то есть

,

среди 4! отношений каждое повторяется по четыре раза. Таким образом, среди 4! ангармонических отношений имеется только шесть, вообще говоря, различных; в качестве таковых можно взять

,
.

Поскольку справедливо равенство

,

то есть

,

и аналогично

и ,

то шесть ангармонических отношений можно разбить на три пары взаимно обратных величин. Назовем главными три отношения

,

и тогда три оставшихся ангармонических отношения будут к ним обратными.

Для четырех точек на прямой, как известно, верно соотношение

,

из которого сразу следует, что

или

,

и аналогично,

,
,

то есть среди 6 ангармонических отношений вмести с некоторой отношением содержится и такое отношение, что их сумма равна единице. Такие отношения называют дополнительными.

Из предыдущих соотношений следует, что по одному данному из шести ангармонических отношений можно отыскать все остальные. В самом деле, пусть , тогда обратное отношение есть . Дополнительные к ним отношения есть и . Наконец, отношения, обратные к эти последним, есть и .

Ангармоническое отношение пучка четырех прямых[править]

Фиг. к § 2.

2. Соединим заданные точки с произвольной точкой , не лежащей на прямой (см. фиг.), то есть построим пучок четырех прямых, проходящих через точку и соответственно . Из теоремы синусов, примененной к треугольникам и , имеем

.

Аналогично, из треугольников и имеем

,

откуда

,

или, обозначая как четыре направления и как углы между ними заключенные,

,

то есть равенство, которое символически можно записать так

.

Выражение в правой части этого равенства можно назвать ангармоническим отношением четырех прямых . Тогда: ангармоническое отношение четырех прямых , выходящих из центра , равно ангармоническому отношению четырех точек , в которых эти прямые пересекают произвольную прямую (которую в таком случае называют секущей). Отсюда следует, что если прямые пересекают другую секущую в точках , то ангармоническое отношение этих новых четырех точек равно ангармоническому отношению точек . Также очевидно, что если точки соединить с другим центром прямыми , то ангармоническое отношение этих прямых равно отношению прямых .

Фиг. 1 к § 3.

3. Пусть даны четыре точки на одной прямой и три точки на другой прямой, на этой последней существует единственная, вполне определенная точка , такая что

.

Это становится очевидном, если заметить, что отрезок должен делиться точкой так, чтобы было верно

.

В частности, если точки и совпадают (фиг. 2), то прямые проходят через одну и ту же точку .

Аналогично: дано два пучка четырех прямых и , центрами которых пусть являются и . Их ангармонические отношения совпадают:

,

если прямые и совпадают друг с другом (а следовательно, и с единственной прямой, проходящей через и ), то три точки пересечений прямых и , и , и лежат на одной прямой.

Фиг. 2 к § 3.

Пусть даны четыре точки на одной прямой и четыре точки на другой прямой (фиг. 2). Если ангармонические отношения этих точек равны:

,

также и два пучка и имеют равные ангармонические отношения (см. § 2). Но в этих двух пучках соответствующие друг другу лучи и совпадают, поэтому три точки , и лежат на одной прямой. Это свойство позволяет указать простое правило построения точки , когда даны и .

Подобным же образом решается аналогичная проблема для двух пучков четырех прямых.

Гармонические точки[править]

4. Четыре точки на одной прямой называются гармоническими, если

,

и тогда также

Пары точек и в этом случае называют сопряженными друг к другу, точку — гармонически сопряженной к относительно пары и т.д.[4]

Если точка — бесконечно удаленная, отношение имеет предел , тогда равенство сводится к , поэтому делит отрезок пополам.

Гармоническое соотношение можно записать так

.

Поэтому, если одна из точек , напр., , лежит между и , то другая точка, то есть , лежит вне отрезка . В частности, если совпадает с , то и совпадает с ними. Из этого же соотношения следует, что, если совпадает с , то и совпадает с .

Гармоническое соотношение позволяет однозначно определить одну из четырех точек по данным трем другим. Но если эти точки совпадают, то четвертая становится неопределенной.

Аналогично: четыре прямые , , и , пересекающиеся в одной точке, называются гармоническими, если верно

,

то есть если они пересекают произвольную секущую в четырех гармонических точках.

Фиг. к § 5.

5. Пусть задан полный четырехсторонник (см. фиг.), то есть система четырех прямых, пересекающиеся попарно в шести точка , , , , , . Три диагонали , и образуют треугольник . Пусть — гармонически сопряженная к относительно , — гармонически сопряженная к относительно . Прямая, гармонически сопряженная к относительно лучей и , должна проходить через точку , а прямая, гармонически сопряженная к относительно лучей и — через точку . [Поскольку ангармонические отношение этих пучков совпадают, то, в силу § 3, луч должен проходить через , а – через . Это возможно лишь тогда, когда] эти точки совпадают с , точкой пересечения и . Это означает, что каждая диагональ делится гармонически двумя другими.

Из этого следует простое правило построения одной из четырех гармонических точек , , и , когда даны три другие.

Похожим свойством обладает полный четырехугольник, то есть система четырех точек, лежащих попарно на шести прямых, и это позволяет строить гармонические пучки четырех прямых.

6. Четыре точки на прямой, относительно точки той же прямой, можно представить уравнением четвертого порядка:

,

то есть будут корнями этого уравнения. Если ангармоническое отношение , верно

,

или, заменяя отрезки разностями и принимая во внимание известное соотношение между коэффициентами и корнями уравнения,

.

Аналогично: равенства и дают соответственно

,
.

Перемножая эти три уравнения, получим необходимое и достаточное условие для того, чтобы одна из трех систем , и была гармонической. Получающееся в результате соотношение является симметрическим относительно отрезков , и поэтому его можно выразить через коэффициенты уравнения. В итоге получится следующее: соотношение

является условием того, что точки, представленные уравнением

,

взятые в одном из возможных порядков, образуют гармоническую систему.[5]

Примечания[править]

  1. Следует сразу предостеречь: «длины» отрезков далее могут быть комплексными. Именно, молчаливо подразумевается, что на прямой выбрано некоторое направление. Если начало отрезка лежит раньше его конца , то его длина считается положительной, в противном случае – отрицательной. Если какая-то задача разрешима лишь при дополнительных условиях, то считается, что она разрешима всегда в «мнимых» числах (принцип продолжения). Все основные утверждения Art. 1-5 устроены таким образом, что в них участвуют не сами длины, а отношения вида . Разумеется, знак отношения не зависит от выборы направления на прямой. Можно сказать, что для дальнейшего достаточно смотреть на как на единый символ, а не отношение двух величин, постулировав существование соответствия между тройками точек прямой и полем комплексных чисел (или просто алгебраически замкнутым), обладающего очевидными свойствами. Впрочем, и сами числа появляются ниже тоже только как подобного рода отношения. — Перев.
  2. Шаль, Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов, гл. I, § 30. Т. 1. Москва: М. Катков, 1883.
  3. Möbius, Der barycentrische Calculus, Leipzig 1827, стр. 244 и след. — Witzschel, Grundlinien der neuer Geometrie, Leipzig 1858, стр. 21 и след.
  4. Поскольку , порядок точек , не важен. Это определение эквивалентно тому, которое использует Шаль (см. Примечание X к «Историческому обзору»): пара точек гарманически сопряжена относительно двух точек , если верно (где — середина отрезка ). — Перев.
  5. Salmon, Lessons introductory to the modern higher algebra. Dublin, 1859. P. 100