ЭСБЕ/Арифметически-геометрическая средняя

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску

Арифметически-геометрическая средняя
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона
Brockhaus Lexikon.jpg Словник: Араго — Аутка. Источник: т. II (1890): Араго — Аутка, с. 99 ( скан · индекс )
 Википроекты: Wikipedia-logo.png Википедия


Арифметически-геометрическая средняя из двух чисел получается следующим образом. Пусть данные числа суть a и g < a. Составим их арифметическую среднюю и геометрическую среднюю т. е. найдем и Таким же образом составим и и т. д. Числа и будут представлять убывающий ряд, вторые возрастающий. Все числа первого ряда больше всех чисел второго, и оба ряда стремятся к одному и тому же пределу, который и есть А.-геометрическая средняя. Означим ее AG. Напр. а = 2 g = 1. Последовательно находим

a1 = 1.5000000 g1 = 1.4132136
а2 = 1.3737734 g2 = 1.3731462
а3 = 1.3734598 g3 = 1.3734596
а4 = 1.3734597 g4 = 1.3734597

Итак, AG(2, 1) = 1.3734597

А.-геометрическая средняя играет роль в вычислении эллиптических интегралов. А именно, Гадес показал, что

Он же вычислил таблицу AG между единицей и синусами углов от 0 до 90° через полуградус (Гаусс, «Werke», Bd. III).