ЭСБЕ/Декартовы овалы

Декартовы овалы
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Давенпорт — Десмин. Источник: т. X (1893): Давенпорт — Десмин, с. 303 ( скан · индекс ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Черт. 1.

Декартовы овалы — кривые четвертого порядка, состоящие из двух замкнутых частей, имеющих общую ось симметрии и три фокуса на этой оси, один внешний $F_{2}$ и два $F_{1}$ и $F$, находящихся внутри внутреннего овала.

Если означить через $c_{2}$ расстояние между $F$ и $F_{1}$, через $c$ — расстояние между $F_{1}$ и $F_{2}$, через $c_{1}$ — расстояние между $F$ и $F_{2}$, через $r_{1}$ $r_{2}$ и $r_{2}$ расстояния какой-либо точки до фокусов $F,F_{1},F_{2}$, то уравнения овалов могут быть выражены трояким образом: 1) внутреннего: $mr+lr_{1}=nc_{2}$, внешнего $mr-lr_{1}=nc_{2}$, или 2) внутреннего $nr+lr_{2}=mc_{1}$, внешнего $nr-lr_{2}=mc_{1}$, или 3) внутреннего $mr_{2}-nr_{1}=lc$, внешнего $nr_{1}-mr_{2}=lc$, здесь $m,n,l$ суть три отвлеченные количества, свойственные каждой паре овалов.

Кривые эти обладают следующим свойством: отношение синусов углов, составляемых радиусами-векторами, проведенными из фокусов к точке кривой, с нормалью имеет постоянную величину для всей кривой; напр. для наружного овала:

${\frac {\sin(F_{2}Mn)}{\sin(F_{1}Mn)}}={\frac {n}{m}}$;

поэтому если наружный овал будет меридиональным сечением поверхности вращения, ограничивающей снаружи прозрачное вещество с показателем преломления ${\tfrac {n}{m}}$, а со стороны $X$ на поверхность будет падать пучок лучей, направляющихся к точке $F_{2}$, то эти лучи по преломлении соберутся внутри вещества в точке $F_{1}$. Декарт, открывший эти кривые, задался именно этим свойством их, имея в виду строить оптические стекла, ограниченные этими овалами. Полная литература, относящаяся к Декартовым овалам, собрана проф. Лигиным и помещена в «Bulletin des sciences mathem. et astronom.», 2-е Série t. VI, 1882.

Д. Б.