Определитель (Determinant). — Решая два уравнения первой степени с двумя неизвестными:
,
,
получаем следующие выражения для x и у:
,
.
Подобным же образом, решая три уравнения первой степени с тремя неизвестными, получим выражение последних в виде отношений многочленов, составленных из постоянных, входящих в уравнения. Например, многочлен, стоящий в знаменателях, будет:
.
Многочлены такого вида называются определителями и обозначаются особыми символами; так:
![{\displaystyle a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}={\begin{vmatrix}a_{1},a_{2}\\b_{1},b_{2}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3792e44a0405a9b8e8f51af0584d9037c93b84e)
![{\displaystyle a_{1}b_{2}c_{3}-a_{1}b_{3}c_{2}+...-a_{3}b_{2}c_{1}={\begin{vmatrix}a_{1},a_{2},a_{3}\\b_{1},b_{2},b_{3}\\c_{1},c_{2},c_{3}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db6f33b3340e372221044e758ff3f3a2f932bd45)
Свойства О. и действия над ними рассматриваются в алгебраическом анализе. Многие сложные вычисления значительно упрощаются при пользовании О. В высшем анализе приходится пользоваться так называемыми функциональными О., составленными из производных от функций, зависящих от нескольких переменных; таков, напр., функциональный определитель:
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}\displaystyle {\frac {d\phi _{1}}{dx_{1}}},{\frac {d\phi _{1}}{dx_{2}}},{\frac {d\phi _{1}}{dx_{3}}}\\\displaystyle {\frac {d\phi _{2}}{dx_{1}}},{\frac {d\phi _{2}}{dx_{2}}},{\frac {d\phi _{2}}{dx_{3}}}\\\displaystyle {\frac {d\phi _{3}}{dx_{1}}},{\frac {d\phi _{3}}{dx_{2}}},{\frac {d\phi _{3}}{dx_{3}}}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f41a61405c6b270653f024dc015990bcdcfe5ad)
трех функций φ1, φ2, φ3 от трех переменных х1, x2, x3. Есть на всех языках сочинения, заключающие теорию О. См. Ващенко-Захарченко, «Теория определителей»; Baltzer, «Théorie et application des déterminants».
Д. Б.