Страница:А. П. Киселёв. Элементарная геометрия (1914).djvu/178

другимъ сторонамъ, то она есть биссектрисса угла треугольника (внутренняго или внѣшняго).

Пусть $D$ и $D_{1}$ (черт. 208) двѣ точки, удовлетворяющія пропорціямъ:

${\frac {DA}{DA}}={\frac {BA}{BC}}\quad [1];\qquad {\frac {D_{1}A}{D_{1}C}}={\frac {BA}{BC}}\quad [2].$

Требуется доказать, что прямыя $BD$ и $BD_{1}$ дѣлятъ пополамъ: первая внутренній, а вторая внѣшній уголъ тр-ка $ABC$.

Проведя черезъ точку $C$ прямую $EE_{1}\parallel AB$, найдемъ изъ подобія треугольниковъ:

${\frac {DA}{DC}}={\frac {BA}{EC}}\quad [3];\qquad {\frac {D_{1}A}{D_{1}C}}={\frac {BA}{CE_{1}}}\qquad [4].$

Сравнивая пропорціи [3] съ [1] и [4] съ [2], находимъ: .

$EC=BC\quad {\text{и}}\quad CE_{1}=BC.$

Поэтому въ тр-кѣ $BEC$ равны углы 2 и 5, а въ треугольникѣ $BE_{1}C$ равны углы 3 и 6; но уг. 5=уг. 1 (какъ внутренніо накр. лежащіе при пар.) и уг. 6=уг. 4 (по той же причинѣ); слѣд., уг. 2=уг. 1 и уг. 3=уг. 4, т.-е. $BD$ и $BD_{1}$ суть биссектриссы.

228. Теорема. Геометрическое мѣсто точекъ, которыхъ разстоянія отъ двухъ данныхъ точекъ $A$ и $B$ находятся въ постоянномъ отношеніи $m:n$, есть окружность, когда $m$ не равно $n$, и прямая, когда $m=n$.

Предположимъ сначала, что $m$ не равно $n$. Тогда на безконечной прямой, проходящей черезъ $A$ и $B$ (черт. 209), можно найти двѣ точки принадлежащія искомому геометрическому мѣсту (225). Пусть это будутъ точки $C$ и $C_{1}$ т.-е.

$CA:CB=m:n\quad {\text{и}}\quad C_{1}A:C_{1}B=m:n.$