Одно изъ важнѣйшихъ преимуществъ новѣйшей геометріи передъ древней заключается въ томъ, что она, благодаря употребленію положительныхъ и отрицательныхъ количествъ, обнимаетъ въ одномъ выраженіи всѣ особые случаи теоремы, каковы бы ни были относительныя положенія частей фигуры. Такимъ образомъ въ настоящее время девять главныхъ задачъ, составлявшихъ вмѣстѣ съ ихъ многочисленными частностями 83 теоремы въ двухъ книгахъ de sectione determinata, представляютъ одну задачу, разрѣшаемую помощію только одной формулы.
Многіе писавшіе о геометрическомъ анализѣ древнихъ занимались сочиненіемъ de sectione determinata, частію пытаясь вполнѣ возстановить обѣ книги, частію разрѣшая отдѣльныя задачи. Таковы въ XVII столѣтіи: Снеллій, Александръ Андерсонъ, Марино Гетальди ; къ концу того же столѣтія: Рожеръ Винтимилья, Гуго Омерикъ; потомъ Р. Симсонъ въ оставшемся послѣ него трудѣ Орега геіідиа 1776 г. и около того же времени Джіаннини въ Оризсиіа таіЬетаііса.
Въ послѣднее время Дж. Лесли посвятилъ также нѣсколько страницъ этой задачѣ въ беотеігісаі Апаіузіз (кн. 2, теор. 10—18). Его изслѣдованіе тѣсно связано съ теоріею инволюціи шести точекъ и рѣшеніе, какъ кажется, выведено изъ этой теоріи. Дѣйствительно, одно новое свойство инволюціи прямо привело насъ къ простому и общему построенію задачи de sectione determinata, рѣшенію, кажется, отличающемуся отъ всѣхъ прежнихъ. Та же теорія ведетъ къ доказательству изслѣдованнаго Аполлоніемъ случая наибольшихъ. (См. Примѣчаніе X).
36. Леммы Паппа къ плоскимъ мѣстамъ Аполлонія представляютъ также нѣкоторыя соотношенія между отрѣзками, образуемыми точками прямой линіи; но эти соотношенія отличаются отъ предыдущихъ и не могутъ быть выведены изъ общаго выраженія инволюціи шести точекъ. Но и они могутъ быть приведены къ одной теоремѣ, выражающей общее свойство четырехъ точекъ, расположенныхъ произвольно на прямой линіи: эта теорема есть вторая общая теорема Стеварта[1].
- ↑ Some general theorems of considerable use in the Higher parts of mathematics. Edinburg, 1746, in 8°. — Мы приведемъ эту теорему въ четвертой эпохѣ, когда будемъ говорить о Стевартѣ.
