2°. Сумма угловъ (AOB, BOC, COD, DOE, EOA, черт. 19), расположенныхъ вокругъ общей вершины (O) по обѣ стороны отъ какой-нибудь прямой (DM), равна 4d, потому что, сложивъ углы DOC, COB и ВОМ, расположенные по одну сторону отъ прямой MD, мы получимъ въ суммѣ 2d, и сложивъ углы MOA, AOE и EOD, расположенные по другую сторону отъ MD, мы въ суммѣ еще получимъ 2d; значитъ, сумма всѣхъ этихъ угловъ равна 2d+2d, т.-е. 4d.
27. Обратная теорема. Если сумма двухъ угловъ, имѣющихъ общую вершину и общую сторону и не покрывающихъ другъ друга, равна двумѵ прямымъ, то такіе углы — смежные, т.-е. двѣ другія стороны ихъ составляютъ продолженіе одна другой.
Пусть даны (черт. 20) два угла: AOB и ВОС, имѣющіе общую вершину O и общую сторону OB и не покрывающіе другъ друга; пусть, кромѣ того, извѣстно, что сумма ихъ равна 2d; требуется доказать, что при этихъ условіяхъ OC есть продолженіе AO. Допустимъ противное (противоположное) тому, что требуется доказать, а именно допустимъ, что OC не есть продолженіе AO. Посмотримъ, къ
Черт. 20.
чему приведетъ насъ это предположеніе. Такъ какъ всякая прямая можетъ быть продолжена въ обѣ стороны, то и прямая AO можетъ быть продолжена за точку О. Пусть это продолженіе будетъ нѣкоторая полупрямая OD, которая, согласно нашему допущенію, не сливается съ ОС. Тогда углы AOB и BOD будутъ смежные и потому, по доказанному прежде (25):
AOB+BOD=2d.
Съ другой стороны, согласно условію нашей теоремы:
AOB+BOC=2d.
