ЭЛ/ДО/Анализ

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
< ЭЛ
Перейти к навигации Перейти к поиску
Yat-round-icon1.jpg

Анализъ
Энциклопедическій лексиконъ
Brockhaus Lexikon.jpg Словникъ: Альмогады — Арамъ. Источникъ: т. II: Алм—Ара, с. 184—198 ( сканъ · индексъ ) • Другіе источники: ЭСБЕЭЛ/ДО/Анализ въ новой орѳографіи


[184]АНАЛИЗЪ, АНАЛИЗИСЪAnalyse — Analysis, Analyse, ἀνάλυσις (отъ ἀνά и λύω), разрѣшать, разлагать, возвращаться туда, откуда пришли.

Подъ этимъ словомъ логикъ разумѣетъ: во-1-хъ: способъ, которымъ, посредствомъ открытія и точнаго означенія всѣхъ частныхъ признаковъ предмета, стараются совершенно объяснить его; во-2-хъ: противоположную синтезису методу, которая, полагая дѣйствительно истиннымъ или возможнымъ то, что только ипотетически истинно или возможно, отыскиваетъ какъ ближайшую причину ипотезы, такъ и сей причины ближайшую причину, и т. д. Постепенно доходя такимъ образомъ до предложеній все болѣе и болѣе простыхъ, дойдешь наконецъ до предложенія столь простаго, что истина или ложь, возможность или невозможность полагаемаго откроется сама собою. Паппъ Александрійскій (de loco resoluto) говоритъ: «Анализисъ есть та метода, посредствомъ которой изъ выведенныхъ слѣдствій искомаго, доходятъ до какого нибудь даннаго, что ведетъ къ синтезису.» Подобнымъ образомъ Александръ Афродисейскій опредѣляетъ: «Синтезисъ есть переходъ отъ началъ къ слѣдствіямъ, Анализисъ — возвращеніе къ началамъ». Въ первомъ значеніи употребляется это слово грамматикомъ, ботаникомъ, химикомъ, и пр. Математикъ же древнихъ временъ слово Анализъ беретъ во второмъ изъ вышеприведенныхъ значеній, и успѣшно примѣняетъ выраженную имъ методу къ геометрическимъ изслѣдованіямъ, или къ рѣшенію ариѳметических задачъ (см. Алгебра). Въ самомъ дѣлѣ, со временъ Діофанта, для рѣшенія алгебраическихъ задачъ, вообще употребляется способъ истинно аналитическій, потому что при образованіи первоначальнаго уравненія, возможность задачи предполагается ипотетически и все дѣйствіе состоитъ только въ томъ, чтобы найденное предложеніе постепенно довести до предложеній болѣе простыхъ, послѣднее изъ которыхъ должно явно доказать возможность или невозможность задачи. При постепенномъ же распространеніи Алгебры, этотъ именно способъ постоянно доводилъ до открытія новыхъ истинъ. По симъ двумъ причинамъ вся Математическая Наука, основанная на понятіи о числахъ, была названа математическимъ Анализисомъ, или просто Анализисомъ. Потому и всякое изложеніе или разсмотрѣніе одной науки, основанное на примѣненіи математическаго Анализиса, теперь обыкновенно называется Аналитическимъ. Такъ напр. говорятъ: Аналитическая Геометрія, Аналитическая Механика, Théorie analytique des probabilités, de la chaleur, etc.

Въ этой статьѣ мы предложимъ одни только математическія значенія слова Анализисъ, а потому и разсмотримъ сперва Геометрическій Анализись Древнихъ.

Предметъ Анализиса, какъ методы, можетъ быть двоякій. Или должно доказать истину или ложь какого нибудь утвержденія (теоремы), или нужно удостовѣриться въ возможности или невозможности требованія (задачи или проблемы), и вмѣстѣ съ тѣмъ найти способъ удовлетворить возможному требованію. Оттого нѣкоторые, на прим. Паппъ, раздѣляютъ Анализисъ на теоретическій и на практическій, или проблематическій. [185]Когда, по приведеніи надлежащимъ образомъ въ дѣйствіе Анализиса, дошли въ первомъ случаѣ до предложенія, котораго истина признана, или въ послѣднемъ случаѣ до вывода, котораго возможность не подлежитъ ни какому сомнѣнію, и которое потому должно удовлетворить задачѣ, тогда получишь способомъ синтетическимъ, противоположнымъ аналитическому, въ первомъ случаѣ доказательство теоремы, во второмъ синтетическое рѣшеніе вмѣстѣ съ доказательствомъ проблемы. Каждый Анализисъ теоремы можетъ быть продолженъ до тѣхъ поръ, пока не будетъ доведенъ до одного или нѣсколькихъ опредѣленій; ибо одни только опредѣленія должны быть почитаемы собственными источниками всѣхъ остальныхъ математическихъ предложеній. Даже такъ называемыя аксіомы суть, въ строгомъ смыслѣ, одни только слѣдствія опредѣленій. Каждое конечное слѣдствіе Анализиса геометрической проблемы, когда оно возможно или изображаемо, древніе называли Datum. Слово Diorismus означало у нихъ опредѣленіе, сколько и какихъ именно родовъ рѣшенія можетъ допустить задача. Слѣдующіе примѣры объяснятъ сказанное о тѣхъ двухъ случаяхъ, разсмотрѣніемъ которыхъ вообще занимается Геометрическій Анализисъ.

Примѣръ I. Утверждается, что два подобные треугольника относятся одинъ къ другому какъ квадраты ихъ сходственныхъ сторонъ. (Подобные треугольники тѣ, въ которыхъ углы одного равны угламъ другаго, и стороны одного пропорціональны сходственнымъ сторонамъ другаго, т. е. сторонамъ противолежащимъ равнымъ угламъ. См. Отношеніе и Пропорція).

Lexicon-02-187.svg
Анализисъ.

1. Если слѣдовательно и подобные треугольники, и и квадраты, построенные на сходственныхъ сторонахъ и , тогда должно быть: треуг.  : треуг.  : .

2. Но какъ тр. половина прямоугольника , который имѣетъ одно съ нимъ основаніе и равную высоту или , и также тр. половина прямоугольника , то должно бы быть .

3. Тогда, по теоріи пропорцій, было бы также .

4. Но поелику у прямоугольниковъ и одинакое основаніе , и у прямоугольниковъ и также одинакое основаніе , а, въ силу извѣстнаго предложенія, прямоугольники при равныхъ основаніяхъ относятся какъ ихъ высоты, то должно бы быть: и , слѣдовательно, по 3му пункту, или .

5. Тогда было бы также , т. е. высоты обоихъ треугольниковъ должны бы относиться какъ ихъ основанія: это и дѣйствительно можетъ быть непосредственно выведено изъ опредѣленія подобныхъ треугольниковъ.

Синтезисъ.

1. , потому что треугольники и подобны.

2. , изъ 1 пункта, по теоріи пропорцій и поелику и .

3. и поелику прямоугольники, при равныхъ основаніяхъ, относятся какъ ихъ высоты.

4. и , изъ 2 и 3 пунктовъ.

5. Тр. :тр. , изъ 4 пункта и изъ того, что каждый треугольникъ есть половина прямоугольника, имѣющаго равное съ нимъ основаніе и равную высоту.

Примѣръ II. Требуется провести къ двумъ, на одной плоскости лежащимъ, неравнымъ кругамъ, величина и положеніе которыхъ даны, одну общую касательную, т. е. прямую линію, которая касалась бы каждаго изъ тѣхъ круговъ только въ одной точкѣ.

[186]
Рис. 2.
Анализисъ.

1. Діоризмъ. Круги неравны; оттого требуемая касательная не можетъ быть параллельна прямой линіи, проходящей чрезъ центры и . И такъ она должна эту прямую линію пресѣчь или между и , или, потому что кругъ меньше круга въ продолженіи ея со стороны . Но извѣстно, что изъ каждой внѣ круга лежащей точки можно провести къ нему двѣ касательныя. Слѣдовательно, задача не только кажется возможною, но и допускающею даже четыре рѣшенія.

Рис. 3.

2. Если бы сперва точка пресѣченія касательной съ продолженною прямою была , и если бы тогда точки прикосновенія, надъ или подъ , были и , то, по извѣстному свойству касательныхъ круга, радіусы и должны бы оба стоять перпендикулярно на касательной , слѣдовательно быть другъ другу параллельными. Оттого, по предложенію также извѣстному, должно быть: .

Рис. 4.

3. То же самое и для другихъ двухъ случаевъ, когда полагается внутри : и тогда должно быть: .

4. Но если, въ каждомъ изъ четырехъ разсмотрѣнныхъ случаевъ, въ центрахъ и устроитъ на перпендикулярные радіусы и , то должно быть также , и потому проходящая чрезъ концы и прямая линія должна пересѣчь линію въ той же точкѣ , какъ и прежде касательная.

5. Для того, чтобы опредѣлить изъ этого искомую точку , должны быть устроены въ точкахъ и на линіи перпендикулярные поперечники, и должны быть проведены, или чрезъ оба верхніе, или чрезъ оба низшіе концы ихъ, или чрезъ одинъ верхній и одинъ низшій конецъ, прямыя линіи до пересѣченія съ линіею или ея продолженіемъ. Но такъ какъ все это всегда возможно, и также всегда, какъ учитъ Геометрія, изъ каждой, внѣ круга лежащей точки, могутъ быть проведены къ нему двѣ касательныя, то и самая предложенная задача возможна и дѣйствительно допускаетъ четыре рѣшенія.

Это послѣднее предложеніе содержитъ слѣдовательно Data задачи, и легко усмотрѣть, какъ учиненный нами Анализъ можетъ быть обращенъ въ синтетическое рѣшеніе задачи.

Древнѣйшими извѣстіями о геометрическомъ Анализисѣ Древнихъ обязаны мы Паппу Александрійскому, Греческому математику второй половины четвертаго столѣтія. До насъ дошла большая часть его Collectiones mathematicae. Въ седьмой книгѣ этого сочиненія описываетъ онъ Анализисъ Древнихъ, и называетъ относящіяся до того предмета сочиненія въ слѣдующемъ порядкѣ: Эвклидовы Data и Porismata; Апполлонія de sectione rationis, de sectione spatii, de sectione determinata; de tactionibus, de inclinationibus, de locis planis и conicorum libri coto; Аристея de lovus solidis; Эвклида de locis ad superficiem, и Эратосѳена de mediis proprtionalibus. Паппъ выписалъ также нѣкоторыя мѣста изъ означенныхъ сочиненій. Изъ нихъ уцѣлѣли только Эвклидовы Data и творенія Аполлонія о коническихъ сѣченіяхъ и de sectione rationis. Нютонъ весьма уважалъ послѣднее изъ сихъ сочиненій, Арабскій переводъ котораго нашелъ Борелли. Въ число аналитиковъ, поименованныхъ Паппомъ, должно по всей справедливости вкдючить его самого. Его остальныя творенія переведены на Латинскій языкъ и истолкованы Коммандиномъ, 1583 и 1660; кромѣ того есть частныя выписки, напримѣръ въ [187]Dictionnary Гуттона. Діогенъ Лаэрцій и Проклъ, въ своемъ обширномъ толкованіи первой книги Элементовъ Эвкдида, изобрѣтеніе Геометрическаго Анализиса приписываютъ Платону. Не зная ни одного математическаго сочиненія этого знаменитаго философа, нельзя съ точностію опредѣлить употребленнаго имъ способа. Во второй книгѣ Архимеда о шарѣ и цилиндрѣ есть нѣсколько замѣчательныхъ примѣненій Геометрическаго Анализиса. Онъ сравниваетъ между собою величины, не различая, даны ли онѣ или неизвѣстны, и при третьей задачѣ или пятомъ предложеніи, соединеніемъ предложеній, основанныхъ на свойствахъ шара и конуса, доходитъ наконецъ до пропорціи, которая, если будетъ переведена на алгебраическій языкъ, непосредственно дастъ уравненіе третьей степени, отъ чего и зависитъ рѣшеніе задачи. Утверждаютъ, что древніе геометры обыкновенно преподавали свою науку синтетически, и утаивали Анализисъ, и что Платонъ сообщалъ его только избраннымъ ученикамъ; но это можетъ относиться только до нѣкоторыхъ особенныхъ ухватокъ, открытыхъ при занятіи наукою. Что же касается до общихъ основныхъ правилъ, то можно навѣрное полагать, что всякій, умѣвшій ихъ примѣнить, умѣлъ бы также и открыть ихъ. Такъ называемый теоретическій Анализисъ, о которомъ упоминаетъ Паппъ, едва ли можетъ быть употребленъ иначе, какъ при изслѣдованіи предложенія, которое сочинитель далъ или примѣнилъ, не доказавъ. Рѣдко случается, предложеніе геометрическое открыть догадками. А потому этотъ способъ доказательствъ употребляется только при оборотѣ доказаннаго предложенія, чтобы показать, что противное данному оборотному предложенію невѣрно. Читатель не зналъ бы, какая дорога довела до даннаго предложенія; онъ легко узналъ бы ее при прямомъ доказательствѣ. Для примѣненія древняго Анализиса къ рѣшенію задачъ, для такъ называемаго практическаго Анализиса, нельзя дать руководствъ столь неизмѣнныхъ, чтобы можно было во всякомъ случаѣ найти искомое. Для соединенія искомыхъ величинъ съ данными всегда необходимо какое нибудь приготовленіе, открытіе и введеніе вспомогательныхъ величинъ или среднихъ членовъ. Надобно имѣть въ виду опредѣляемое непосредственно даннымъ, для того, чтобы проложить себѣ дорогу къ искомому. Предоставляется изобрѣтательности каждаго помочь себѣ въ этомъ случаѣ, когда и задачи могутъ быть различныхъ родовъ, и различныя средства могутъ вести къ одной и той же цѣли. Упражненіе здѣсь лучше правилъ. Безъ сомнѣнія, должно притомъ твердо помнить предложенія элементарной Геометріи. Превосходныя замѣчанія объ этомъ предметѣ находятся въ Нютововой Arithmetica universalis.

Когда исчезъ мракъ среднихъ вѣковъ, съ изученіемъ Геометріи ожилъ Геометрическій Анализъ, и весьма естественно, что первые возстановители его были учениками Грековъ. Въ XVII столѣтіи тщательно и остроумно обработывали этотъ предметъ Віета, Ферматъ, Вивіани, Гетельди, Снелліусъ, Гугенсъ и нѣсколько другихъ. Особенно занимались отыскиваніемъ и возстановленіемъ растерянныхъ сочиненій Древнихъ. Въ XVIII столѣтіи по этой части отличались Англичане, возбужденные, можетъ быть, жалобою соотечественника Нютона, на упадокъ Геометрическаго Анализиса. Онъ недоволенъ былъ самимъ собою за излишнее пренебреженіе той методы, и усильно просилъ своихъ друзей заняться ею. Въ самомъ дѣлѣ, съ совершеннымъ пренебреженіемъ ее, мы бы не только лишились одного изъ важнѣйшихъ умственныхъ упражненій, но и трудно было бы намъ рѣшить нѣкоторыя геометрическія задачи. Галлей въ 1706 году издалъ въ Оксфордѣ книги de dectione rationis и de sectione spatii; Роберть Симсонъ издалъ loca plana, Гласговъ, 1749; Горслей — книги de inclinationibus, Оксфордъ 1770; Лаусонъ — de lacotionibus, Лондонъ, 1771, и книги de determinata sectione, тамъ же, 1772; Валлисъ издалъ тѣ же книги, Лондонъ, 1772. Онѣ также возстановлены Р. Симсономъ, умножены двумя книгами, и изданы по смерти его, иждивеніемъ Графа Стангопа въ Гласговѣ въ 1776 году, вмѣстѣ съ сочиненіемъ Эвклида Porismata, и нѣкоторыми другими, оставшимися послѣ Симсона, рукописями. Со времени пробужденія наукъ въ Европѣ, геометры не отступали отъ начертаннаго имъ Древними пути до тѣхъ поръ, какъ наконецъ въ XVII столѣтіи Декартово (1596 — 1650) приложеніе Алгебры къ Геометріи дало рѣшительный перевѣсъ Алгебраическому Анализису предъ Геометрическимъ; и многіе оставили [188]послѣдній способъ и предпочли первый, какъ кратчайшій и обильнѣйшій послѣдствіями.— Не должно смѣшивать Геометрическаго Анализиса съ Аналитическою Геометріею, основатель которой именно Декартъ. (См. Геометрія и Координаты. Мы отсылаемъ читателей къ симъ статьямъ: тамъ найдутъ они все, что мы должны были предположить извѣстнымъ.) Анализисъ Древнихъ относится къ Геометріи, и оттого пользовался только геометрическими средствами. Одно только твореніе Діофанта служить исключеніемъ. Анализисъ же новѣйшихъ временъ разсматриваетъ всѣ подлежащіе измѣренію предметы, а потому и геометрическія величины. Онъ употребляетъ общую Ариѳметику, или Алгебру, выражая связь величинъ уравненіями, которыя или разрѣшаются или разсматриваются нерѣшенныя. Въ этомъ именно заключается существенное отличіе его отъ Анализиса Древнихъ. Въ семъ отношеніи наша нынѣшняя статья тѣсно связана съ прежнею статьею: Алгебра.

Віетъ основалъ выразительный, удобный и многообъемлющій алгориѳмъ Алгебра. Онъ умѣлъ извлечь изъ этого сильнаго вспомогательнаго средства важнѣйшія выгоды для теоріи уравненій и другихъ предметовъ Алгебраическаго Анализиса. Сюда особенно принадлежатъ открытое имъ важное предложеніе объ отношеніяхъ между коэффиціентами и корнями алгебраическаго уравненія, его ученіе о законѣ, которому слѣдуютъ ряды синусовъ и хордъ многократныхъ угловъ и частей ихъ (doctrine des sections angulaires), и геометрическое строеніе опредѣленныхъ уравненій. Ему также былъ уже извѣстенъ законъ образованія коэффиціентовъ въ развитой степени биноміи. Но главною причиною обильныхъ открытій слѣдующихъ временъ неоспоримо было Декартово вышепомянутое открытіе теоріи координатъ и доставленные имъ Алгебрѣ и Геометріи важные выгоды, извлеченные изъ счастливаго соединенія обѣихъ тѣхъ наукъ. Изъ открытій, сообщенныхъ Декартомъ въ своей Геометріи, наибольшее доставило ему, кажется, удовольствіе открытіе общаго правила для опредѣленія касательныхъ какой нибудь кривой линіи. «De tous les problèmes,» говорит онъ, «que je connais en Géométrie, il n'en est aucun qui soit plus utile et plus général, et c'est de tous celui dont j'ai davantage désiré la solution.» Его метода основана на томъ, что, если круговая линія пересѣкаетъ другую какую нибудь кривую линію въ двухъ точкахъ, то, при уменьшеніи радіуса первой линіи, сіи двѣ точки болѣе и болѣе сближаются, и наконецъ сойдутся, въ такомъ случаѣ радіусъ круга будетъ перпенднкуляренъ касательной кривой линіи (см. выше: II примѣръ). Въ его Письмахъ (3 тома in 4to) находится другой еще способъ для того, чтобы подобнымъ же образомъ найти положеніе касательныхъ сближеніемъ точекъ пересѣченія прямой и данной кривой линіи. Въ самомъ дѣлѣ, проблема касательныхъ весьма важна для совокупной теоріи кривыхъ линій; она, кромѣ того, исторически замѣчательна тѣмъ, что служила главнымъ поводомъ къ изобрѣтенію дифференциальнаго исчисленія. Мы говоримъ главнымъ поводомъ, ибо, хотя то самое открытіе и принадлежитъ собственно XVII столѣтію, но многія задачи, извѣстныя уже въ начальныя времена геометрической науки, пробудили задолго еще передъ тѣмъ временемъ первыя идеи, собственный зародышъ открытія. Древніе геометры всегда должны были давать особенное направленіе своимъ изслѣдованіямъ, когда хотѣли сравнивать криволинѣйныя фигуры или между собою, или съ прямолинѣйными. Первый намъ извѣстный опытъ такого рода содержитъ второе предложеніе XII книги Элементовъ Эвклида, гдѣ доказывается, что для круговъ и квадратовъ ихъ поперечниковъ существуетъ то же самое отношеніе, которое мы доказали (I примѣръ) для подобныхъ треугольниковъ и квадратовъ сходственныхъ ихъ сторонъ, слѣдовательно для однѣхъ прямолинѣйныхъ фигуръ. Изъ того предложенія о треугольникахъ можно, путемъ весьма обыкновеннымъ, вывести, что также подобные многоугольники, произвольнаго числа сторонъ, въ кругахъ вписанные, т. е., такъ что круговыя линіи проходятъ чрезъ вершины всѣхъ угловъ многоугольниковъ, относятся другъ къ другу, какъ квадраты поперечниковъ тѣхъ круговъ. Но чѣмъ больше число сторонъ вписаннаго въ кругѣ многоугольника, тѣмъ болѣе приближается онъ къ кругу, а потому кругъ можетъ быть почитаемъ предѣломъ, въ строгомъ смыслѣ недостижимымъ, всѣхъ вписанныхъ въ немъ многоугольниковъ. И такъ, чтобы распространить предложеніе, найденное для [189]многоугольниковъ произвольнаго числа сторонъ, и на самые описанные около нихъ круги, долженъ бытъ непремѣнно переходъ отъ конечнаго къ безконечному. Такой именно переходъ составляетъ характеристическую черту вышепомянутыхъ теоремъ и задачъ, относящихся до криволинѣйныхъ фигуръ. Тѣми же почти средствами, которыя употреблялъ Эвклидъ для произведенія такого перехода, дошелъ и Архимедъ до предложеній гораздо труднѣйшихъ, до опредѣленія отношенія между поверхностями и объемами (толщинами) цилиндра и шара, до квадратуры параболы и до свойствъ спиралей. (См. относящіяся къ тому статьи.) И если безъ сомнѣнія и здѣсь, какъ почти вездѣ, по словамъ Гердера, аналогія была матерью открытій, то строгость, которой достигли Древніе въ геометрическихъ доказательствахъ, не позволяла изложенія открытыхъ ими истинъ основывать на одной только аналогіи. Для того выдумали они такъ называемую методу истощенія (methodus exhaustionis), получившую въ новѣйшее время названіе методы предѣловъ. Она состоитъ въ томъ, что, во-1-хъ, предѣломъ непрерывно продолжающагося ряда величинъ считается величина, съ которою члены того ряда такъ сближаются, что различіе между тою величиною и однимъ изъ тѣхъ членовъ можетъ сдѣлаться меньше всякой данной величины, какъ бы мала она не была; и, во-2-хъ, тогда доказывается, что свойство, принадлежащее вообще членамъ сего ряда, должно принадлежать и самому предѣлу. По пробужденіи наукъ, когда сочиненія Эвклида и Архимеда были переведены и истолкованы, начали искать нити, которая была въ состояніи навести тѣхъ великихъ людей на ихъ изобрѣтенія. Но желаніе, какъ можно скорѣе распространить завоеванную Древними область науки, было несообразно съ медлительною строгостію сихъ послѣднихъ, а потому преемники ихъ старались, отступая отъ проторенной стези, найти новые пути, которые гораздо скорѣе могли бы довести ихъ до желаемой цѣли. Это самое побудило безъ сомнѣнія Бонавентуру Каваллери изъ Милана (1598—1647) отказаться отъ той крайней строгости, и навело его ва методу недѣлимыхъ (methodus indivisibilium), на основаніи которой онъ позволилъ себѣ разсматривать линіи какъ бы составленныя изъ точекъ, поверхности изъ линій, тѣла изъ поверхностей. Симъ же путемъ, незадолго предъ тѣмъ, пошелъ во Франціи Роберваль (1602—1675). Возбужденный чтеніемъ Архимедовыхъ сочиненій, онъ искалъ общаго способа для рѣшенія проблемъ, относящихся къ криволинѣйнымъ фигурамъ, и открылъ методу, которую, въ письмѣ къ Торичелли, описываетъ совершенно подобною методѣ Каваллери; но самолюбивою утайкою лишился онъ чести первенства въ своемъ открытіи. Онъ изобрѣлъ также основанную на теоріи сложныхъ движеній методу проводитъ касательныя къ кривымъ линіямъ, но, не смотря на остроуміе ея начала, въ примѣненіи своемъ она далеко отстоитъ отъ методы Декарта. Уже прежде сего послѣдняго владѣлъ соперникъ его Ферматъ (1665) методою касательныхъ, превосходящею простотою методу Декарта, но онъ, подобно Робервалю и по столь же непохвальной причинѣ, объявилъ ее позже Декарта. Знаменитый Гугенсъ (1629—1695) прежде всѣхъ доказалъ изобрѣтенныя Ферматомъ, но изложенныя имъ безъ доказательствъ, правила кахъ для проблемы касательныхъ, такъ и для сходственнаго съ нею разысканія наибольшихъ и наименьшихъ величинъ (maxima и minima) координатъ кривой линіи. Правила эти столь близко подходятъ къ дифференціальному исчисленію, что нѣкоторые считали Фермата настоящимъ его изобрѣтателемъ. Правила для нахожденія касательныхъ были упрощены Слюзомъ (1623—1685). Наконецъ Барровъ (1630—1678), учитель Нютона, открылъ свой характеристическій треугольникъ, образованный разстояніемъ и разностію двухъ безконечно близкихъ ординатъ, и лежащею между ними безконечно малою дугою кривой линіи. Такимъ образомъ придалъ онъ методѣ касательныхъ Фермата послѣднюю степень простоты, которой она только способна. Въ то время, какъ геометровъ занимали означенныя двѣ задачи, о касательныхъ и о наибольшихъ и наименьшихъ величинахъ, многіе, особенно Grègore de St. Vincent, Роберваль и Паскаль, разсматривали третью задачу о квадратурѣ (т. е. о нахожденіи площади) пространствъ, ограниченныхъ кривыми и прямыми линіями. Но только въ Arythmetica infinitorum Джона Валлиса (1616—1703) видно собственно примѣненіе алгебраическаго исчисленія къ квадратурѣ, совершенно [190]основанное на методѣ недѣлимыхъ. Валлисъ принадлежитъ къ числу геометровъ, весьма много содѣйствовавшихъ успѣхамъ Анализиса. Не считая собственныхъ его открытій, его должно почитать виновникомъ всѣхъ, основанныхъ на изслѣдованіи изобрѣтенныхъ имъ рядовъ, т. е. такихъ суммъ, которыхъ члены поступаютъ по извѣстнымъ, отъ ихъ мѣста зависящимъ законамъ, до нѣкотораго предѣла или безковечно. Вилліамъ Броункеръ, Viscount of Castel-Lyons въ Ирландіи (1620—1684) и Николай Кауффманнъ изъ Голштиніи, извѣстный подъ именемъ Меркатора (въ 1660 году пріѣхавшій въ Англію), распространили открытія Валлиса, и дошли до первыхъ извѣствыхъ рядовъ для квадратуры круга и иперболы.

Въ такомъ положеніи находились Анализисъ и приложеніе его къ Геометріи, когда въ 1674 году Лейбницъ (1646—1716), недавно предъ тѣмъ бывшій въ Лондонѣ, и присоединившійся тамъ къ Олдембургу, увѣдомилъ сего послѣдняго, что онъ обладаетъ весьма важными предложеніями о квадратурѣ круга посредствомъ рядовъ, и весьма общими аналитическими методами. Олдембургъ отвѣчалъ ему, что и Яковъ Грегори (1636—1675) и Нютонъ (1642—1727) открыли способы для квадратуры кривыхъ линій, которые могутъ быть примѣнены также къ кругу. Въ послѣдствіе времени Нютонъ, въ письмѣ къ Олдембургу, которое прислано было для сообщенія Лейбницу, описалъ пользу открытаго имъ способа флюкціоновъ для нахожденія касательныхъ и квадратуры. Онъ скрылъ сей способъ подъ анаграммою. Въ іюнѣ 1677 года послалъ Лейбницъ письмо Олдембургу съ первымъ очеркомъ методы, долженствовавшей заключать въ себѣ все то, что обѣщала исполнить метода Нютова, и просилъ сообщить объ этомъ Нютону. Это было дифференціальное исчисленіе. Вскорѣ послѣдовавшая за тѣмъ смерть Олдембурга прекратила эту переписку, и Лейбницъ обнародовалъ свое открытіе въ 1684 году въ Лейпцигскихъ Acta eroditorum. Между тѣмъ Нютонъ уже въ 1671 году имѣлъ намѣреніе издать свою Methodus fluxionum et serierum infinitarum: въ исполненіи сего помѣшалъ ему пожаръ, истребившій это сочиненіе вмѣстѣ съ нѣсколькими другими бумагами; и только въ 1687 году объявилъ онъ очеркъ своей методы, въ превосходномъ сочиненіи: Principia philosophia naturalis. Здѣсь должно замѣтить, что Нютовъ почти забылъ о своихъ открытіяхъ, ибо только въ 1706 году явилось его разсужденіе о квадратурѣ кривыхъ линій, а сочиненіе о флюкціонахъ вышло только въ 1736 году, девять лѣтъ послѣ его смерти. Между тѣмъ, дифференціальное исчисленіе и противуположное ему интегральное весьма успѣвали трудами Лейбница, братьевъ Якова и Іоанна Бернулли, въ 1696 году явилась первая учебная книга объ этомъ предметѣ, подъ заглавіемъ: Analyse des Infiniment petits, изданная Маркизомъ де л'Опиталемъ, принадлежавшимъ къ малому числу геометровъ, сначала на этомъ полѣ трудившихся. Сильные споры приверженцевъ Нютова и Лейбница о первенствѣ открытія новаго исчисленія, относятся къ жизнеописанію участвовавшихъ въ нихъ лицъ, и не принадлежатъ къ этой статьѣ, посвященной одному только изображенію различныхъ постепенныхъ состояній науки. Тоже самое должно сказать объ остальныхъ сочиненіяхъ и открытіяхъ вышепомянутыхъ математиковъ. Мы постараемся дать теперь нашимъ читателямъ по возможности ясное понятіе объ основныхъ идеяхъ и главномъ предметѣ великаго Лейбницо-Нютоновскаго открытія.

Нютонова метода флюкціоновъ и флюэнтовъ (metheod of fluxions and fluent) основана на понятіяхъ о движеніи. Движеніе тѣла, которое должны мы здѣсь представить себѣ точкою, равномѣрно, если скорость его одна и та же, т. е. если оно въ равныя времена проходитъ равныя пространства; — неравномѣрно или перемѣнно, если скорость перемѣнна, т. е. если оно въ равныя времена проходитъ неравныя пространства. Неравномѣрное движеніе можетъ быть ускорено или замедлено, по мѣрѣ безпрестаннаго увеличенія или уменьшенія скорости. Нютонъ разсматриваетъ каждую кривую линію какъ выводъ двухъ движеній: въ слѣдствіе перваго, описывающая кривую линію, точка движется на ординатѣ ея, между тѣмъ какъ, въ слѣдствіе втораго движенія, ордината, параллельно самой себѣ, продолжаетъ движеніе свое на оси абсциссъ. Для большей простоты второе движеніе полагается равномѣрнымъ; первое же перемѣнное, ускоренное или замедленное, исключая одинъ только тотъ случай, когда образуемая линія должна быть прямою, а не кривою. Величины, на которыя [191]при такомъ сложномъ движеніи измѣняются абсциссы и ординаты , означаются знаками и , и называются fluxions (теченія) координатъ и , а сіи послѣднія въ этомъ же отношеніи называются fluents (текущія). Флюкціоны могутъ имѣть свои флюкціоны, и т. д. Они означаются знаками и и т.д., и образуютъ флюкціоны высшихъ разрядовъ. Прямая метода флюкціоновъ учитъ, посредствомъ даннаго уравненія между флюэнтами, находить взаимное отношеніе ихъ флюкціоновъ. Обратная метода, изъ даннаго отношенія между флюкціовами, возстановляетъ уравненіе между флюэнтами.

Лейбницъ, меньше Нютона, основывалъ свое исчисленіе на геометрическихъ рассужденіяхъ, или по крайней мѣрѣ изложеніе началъ его не зависѣло отъ нихъ такъ много. Онъ полагалъ, что есть величины, которыя безконечно малы въ отношеніи къ другимъ величинамъ, а потому и могутъ быть опущены безъ ощутительной погрѣшности противъ сихъ послѣднихъ величинъ. Онъ тѣмъ не ограничивается: по его системѣ есть безконечно малыя величины втораго, третьяго разрядовъ в т. д., которыя также могутъ быть опущены или совершенно исчезаютъ противъ величинъ безконечно малыхъ перваго, втораго разрядовъ и т. д. Положимъ, у кривой линіи приняты три безконечно смежные, такъ сказать, непосредственно одна за другою слѣдующія ординаты; тогда разности между каждыми двумя, одна къ другой прилежащими ординатами, будутъ безконечно малыя величины перваго разряда, а разность тѣхъ двухъ разностей будетъ безконечно малою величиною втораго разряда. Оттого и выраженія: дифференціалъ, а именно первый дифференціалъ, второй, третій, и т. д., дифференціальное исчисленіе, исчисленіе безконечно малыхъ величинъ, Анализъ безконечнаго, Calcul infinitesimal. Разность же, напр. между одною ординатою и непосредственно за нею слѣдующею другою ординатою, или дифференціалъ ординаты , означается знакомъ , дифференціалъ сего знакомъ или , и т.д. Намъ сначала кажутся странными эти положенія о безконечно-маломъ, но вся странность скрывается въ однихъ только выраженіяхъ. Можно доказать, что, излагая такимъ образомъ, мы избѣгаемъ многословія, и не доходимъ до заблужденій. Лейбницъ, опуская нѣкоторыя величины, не вводитъ тѣмъ ничего новаго, но дѣлаетъ въ этомъ отношеніи то же самое, что и до него дѣлали геометры и аналитики. Ибо каждую величину, которая, при извѣстныхъ обстоятельствахъ, дѣлалась меньше каждой данной величины, какъ-бы мала она ни была, сами Древніе, при тѣхъ же обстоятельствахъ, считали исчезающею. Дифференціальное исчисленіе, сходственное съ прямою методою флюкціоновъ, изъ даннаго уравненія между двумя перемѣнными величинами, каковы суть напр. координаты кривой линіи, учитъ находитъ отношеніе между ихъ дифференціалами. Интегральное же исчисленіе, соотвѣтствующее обратной методѣ флюкціоновъ, изъ отношенія между дифференціалами возстановляетъ уравненіе между первоначальными перемѣнными величинами. Потому исчисленіе флюкціоновъ и Анализисъ безконечнаго, подъ которымъ разумѣется дифференціальное и интегральное исчисленія, отличны другъ отъ друга однимъ только изложеніемъ, знаками и названіями. На материкѣ Европы всѣ вообще слѣдовали изложенію Лейбница, и удержали притомъ его знаки и выраженія. Въ новѣйшее время и Англичане мало по малу начинаютъ пользоваться тѣми же знаками и выраженіями. При всемъ томъ во Франціи и Германіи нѣсколько разъ пытались дать дифференціальному исчисленію другое основаніе и развитіе, считая первое слишкомъ неопредѣленнымъ и зыбкимъ, а оттого не имѣющимъ истинно математической вѣрности. Уже при методѣ флюкціоновъ принуждены были, для опредѣленія измѣняющейся скорости, движущейся на ординатѣ точки, прибѣгать или къ методѣ истощенія Древнихъ, или, какъ дѣлалъ большею частію самъ Нютонъ, къ способу первыхъ и послѣднихъ отношеній, т. е. тѣхъ, которыя должны быть между двумя въ одно время образующимися или въ одно время исчезающими перемѣнными величинами въ самое мгновеніе образованія или исчезанія ихъ. Все это не что иное, какъ метода предѣловъ. Притомъ, для нахожденія касательныхъ, слѣдовали исчисленію Баррова, которое Нютонъ только больше распространилъ. Для избѣжанія Лейбницова разряднаго положенія безконечно-малыхъ величинъ старался д'Аламбертъ, на той же [192]методѣ предѣловъ основать дифференціальное исчисленіе, исключивъ только изъ него несвойственный Анализису элементъ движенія. Эйлеръ между тѣмъ, въ своихъ Institutionis calculi differentialis, безконечно малыя величины считаетъ просто совершенными нулями, находящимися однако же въ извѣстныхъ отношеніяхъ другъ къ другу; какъ, на пр. 2 жды 0, 3 жды 0 все будетъ 0, такъ можно сказать, что 0 къ 0 въ первомъ случаѣ содержится какъ 1 къ 2, а въ послѣднемъ какъ 1 къ 3. Конечно многіе не знали, что должно разумѣть подъ отношеніями величинъ, кончившихъ свое существованіе: это to be and not to be не такъ легко было подвергнуть философскому разбору, какъ Гамлетовъ to be or not to be. Въ 1760 году хотѣлъ Ланденъ обойти употребленіе понятій о безконечно-маломъ и о движеніи; онъ предложилъ методу, въ основаніяхъ своихъ совершенно сходную съ методою предѣловъ. Эта попытка заслуживаетъ особенное вниманіе потому, что Ланденъ можетъ быть единственный изъ числа Англійскихъ математиковъ столь откровенный, что возсталъ противъ предразсудка своего народа, и явно сознался въ недостаткахъ методы флюкціоновъ. Карно въ своихъ съ большимъ стараніемъ и остроуміемъ пояснилъ начала дифференціальнаго исчисленія и различные образы его изложенія. Дифференціальныя уравненія называетъ онъ несовершенными (équations imparfaites), и объявляетъ слѣдующее мнѣніе. Если дифференціалы, находящіеся въ тѣхъ уравненіяхъ, будутъ почитаемы приращеніями перемѣнныхъ величинъ, то уравненія эти могутъ быть только приблизительныя, причемъ остается неопредѣленною степень точности, потому что она зависитъ отъ малости тѣхъ приращеній, а эта малость ничѣмъ не ограничена. Слѣдовательно отъ насъ зависитъ степень истины, которую мы хотимъ придать дифференціальнымъ уравненіямъ. Это совершенно согласно съ идеями Лейбница. Карно показываетъ также, какимъ образомъ тѣ несовершенныя уравненія при концѣ исчисленія дѣлаются въ самомъ строгомъ смыслѣ вѣрными или совершенными, оттого что оттуда тогда исчезаютъ дифференціалы, единственный источникъ несовершенства. Между тѣмъ, какъ еще и нынѣ дѣлаетъ большая часть математиковъ, весь Анализисъ раздѣлили на двѣ, существенно другъ оть друга отличныя части, на Анализись конечнаго, т. е. Общую Арифметику и Алгебру, включая сюда всѣ выведенныя оттуда теоріи, объясняемыя безъ помощи дифференціальнаго или интегральнаго исчисленій, и на Анализисъ безконечнаго. Въ 1772 же году предложилъ Лагранжъ въ Mémoires de l'Academie de Berlin, свое мнѣніе, въ силу котораго хотѣлъ онъ дать дифференціальному исчисленію основаніе совершенно элементарное, и крѣпко и естественно соединить обѣ части Анализиса. Это мнѣніе онъ еще болѣе укрѣпилъ и развилъ со всѣмъ свойственнымъ ему остроуміемъ, большею посдѣдовательностію и ясностію въ своей Théorie des fonctions analytiques и въ Leçons sur le calcul des fonctions. Здѣсь надобно нѣсколько пояснить значеніе слова функція: больше будетъ объ этомъ предметѣ сказано въ особой статьѣ. Первые аналитики употребляли это слово только для означенія различныхъ степеней одной и той же величины. Потомъ значеніе его распространилось на каждую величину, какимъ нибудь простымъ или сложнымъ аналитическимъ дѣйствіемъ образованную изъ другой величины. Теперь оно выражаетъ, что величина по опредѣленному закону зависитъ отъ одной или многихъ перемѣнныхъ величинъ, называемыхъ просто перемѣнными (variables) или аргументами функціи, не смотря на то, извѣстно или нѣтъ, какимъ образомъ должны бытъ соединены перемѣнныя другъ съ другомъ или съ другими неперемѣнными величинами, называемыми постоянными (constantes), для того, чтобы произвести первыя. Такъ напр. неизвѣстное количество алгебраическаго уравненія называется функціею коэффиціентовъ его, все равно, можно-ли разрѣшить уравненіе или нѣтъ. Потому весь Анализисъ есть наука о функціяхъ. Лагранжево изображеніе дифференціальнаго исчисленія, называемаго имъ Calcul des fonctions въ строгомъ смыслѣ, основывается на слѣдующемъ: Когда одинъ или нѣсколько аргументовъ функціи увеличится или уменьшится одною какою нибудь величиною, то выводъ того можно выразить рядомъ членовъ, изъ которыхъ первый будетъ данная функція, а остальные будутъ поступать по степенямъ величинъ, которыми увеличены или уменьшены аргументы. Общее [193]предложеніе, показывающее способъ образованія такого ряда, по правиламъ прямой методы флюкціоновъ или дифференціальнаго исчисленія, называется, именемъ изобрѣтателя, Тайлоровою теоремою. Притомъ коэффиціенты тѣхъ степеней суть выраженія, совершенно независимыя отъ помянутыхъ величинъ: они зависятъ только отъ особенной формы данной функціи. Эти коэффиціенты потому составляютъ рядъ функцій, для которыхъ Лагранжъ ввелъ особенные знаки, и которыя называетъ онъ производными (fonctions dérivés), именуя данную функцію первоначальною (primitive). Поэтому предметъ дифференціальнаго исчисленія состоитъ въ томъ, чтобы найти изъ первоначальныхъ функцій ихъ производныя; интегральное же исчисленіе учитъ изъ производныхъ функція возстановлять первоначальныя. Сколь ни простъ, систематическъ и ясенъ этотъ образъ изложенія въ отношеніи только аналитическомъ, сколь ни кажется онъ способнымъ приводить въ ближайшее отношеніе все, казавшееся намъ дотолѣ совершенно разнороднымъ, столь неудобенъ и недостаточенъ онъ въ примѣненіяхъ къ Геометріи и Механикѣ. Подобную цѣль, но и подобные же недостатки имѣло дериваціонное исчисленіе (calcul des dérivations) Арбогаста и другіе опыты, довести дифференціальное исчисленіе до обыкновенныхъ ариѳметическихъ начахь, и тѣмъ присоединить его къ элементамъ. Съ противной стороны другіе, и преимущественно Коши, въ своемъ Cours d'analyse de l'école royale polytechniquue, 1-re parte: Analyse algébrique, 1821, ввелъ въ алгебраическій Анализисъ понятіе о безконечно маломъ, на основаніи болѣе строгомъ, и старались такимъ образомъ присоединять уже къ элементамъ основное понятіе Лейбницова дифференціальнаго исчисленія. Вообще, чтобы привести всѣ мнѣнія къ единству и общности, необходимо, по весьма справедливымъ, кажется, примѣчаніямъ Лейпцигскаго профессора Дробиша[1], только согласиться на слѣдующіе пункты. Почти всеобщее до сихъ поръ раздѣленіе Математики на элементарную и высшую не можетъ ни въ какомъ отношеніи выдержать строгой критики: оно основано на однихъ только внѣшнихъ, до науки совершенно не касающихся, отношеніяхъ, которыя, весьма естественно, потому и дозволяютъ величайшій произволъ при разграниченіи обѣихъ частей. Но странно и неоспоримо было вредно, что большая часть не хотѣли согласиться на отличіе въ отдѣльныхъ математическихъ теоріяхъ элементарной части отъ высшей, между тѣмъ какъ это было бы весьма естественно и удобно для достиженія цѣли, потому что каждая теорія имѣетъ свои предложенія простыя и запутанныя. Къ счастію, этотъ педантическій отдѣлъ Математики низшей отъ высшей не положилъ ни какихъ оковъ на умственную изобрѣтательность. Случись это, и наука, безъ сомнѣнія, потеряла бы много открытій прекрасныхъ и богатыхъ послѣдствіями. Но кто можетъ исчислить, сколько погибло счастливыхъ соображеній математиковъ втораго разряда, достойныхъ впрочемъ всякаго уваженія, отъ господства предразсудковъ, подобныхъ тому, что въ развитіе и основаніе теоріи алгебраическихъ уравненій не должно мѣшать дифференціальнаго исчисленія! Впрочемъ нельзя не упомянуть, что уже въ теченіе нѣсколькихъ десятковъ лѣтъ много было сдѣлано для искорененія подобныхъ предразсудковъ. Потому остается только признать, безъ всякихъ околичностей, что гораздо скорѣе и легче достигнешь цѣли, когда за первыми элементами общей Ариѳметики и Алгебры тотчасъ послѣдуютъ начала дифференціальнаго исчисленія, въ простѣшеймъ видѣ изложенія и съ общепринятыми для нихъ знаками. Въ нынѣшнее время насъ рѣшительно къ тому принуждаютъ труды Фурье (Analyse des équations déterminées) и прекрасное предложеніе о числѣ дѣйствительныхъ, положительныхъ и отрицательныхъ корней алгебраическихъ уравненій, за которое еще недавно получилъ Штурмъ большую премію Парижской Академіи. Эти труды неоспоримо доказали, что главная проблема Алгебры, теорія уравненій, можетъ получить окончательное рѣшеніе однимъ только дифференціальнымъ исчисленіемъ. Вышеозначенное сочиненіе Фурье сверхъ того сильно содѣйствовало къ искорененію другаго, столь же значительнаго предразсудка мнимыхъ ригористовъ: мы говоримъ объ отношеніи чистаго Анализиса къ Геометріи. Въ чистомъ Анализисѣ, по понятіямъ [194]математическаго пуризма, не должно быть ни какихъ геометрическихъ доказательствъ или объясненій. Это мнѣніе еще съ большимъ упорствомъ, чѣмъ во Франціи, старались привести въ Германіи. Но если принять вообще, что строгій отдѣлъ общей Ариѳметики отъ геометрическихъ средствъ изложенія, покуда дѣло относится къ аналитическимъ формамъ и ихъ превращеніямъ, потребенъ и возможенъ, то совершенное изгнаніе геометрическаго изображенія алгебраическихъ выраженій, если предметомъ изслѣдованій будутъ самыя величины (valeurs), и именно непрерывные ряды величинъ тѣхъ формъ, доведетъ до однѣхъ только пустыхъ отвлеченностей и безполезныхъ натяжекъ. Мы даже утверждаемъ, что тогда введеніе соотвѣтствующихъ функціямъ линій, поверхностей, и т.д. не будетъ уже произвольнымъ, но непремѣнно нужнымъ, потому именно, что мы никогда дѣйствительно не исчисляемъ непрерывныхъ рядовъ величинъ, но всегда можемъ получить только величины отдѣльныя, какъ бы близки онѣ другъ къ другу ни были. Сверхъ того многія ариѳметическія понятія объясняются и получаютъ надлежащую связь только наглядностію. Какъ темно и несовершенно показалось бы намъ, напримѣръ, представленіе о значеніи того, что дифференціальныя частныя (произходящія отъ дѣленія перваго или высшаго дифференціала одной перемѣнной на дифференціалъ другой или на степень сего дифференціала) дѣлаются нулемъ или безконечно-великими, если бы въ кривой линіи, соотвѣтствующей функціи, геометрическія изображенія не объяснили всѣхъ тѣхъ обстоятельствъ изгибами, точками возврата и прочими особенностями слѣда кривой линіи. Но весьма замѣтно, что сочинителямъ, рѣшившимся строго воздерживаться отъ всякаго геометрическаго образа изложенія, стоило многихъ трудовъ выполнить свой обѣтъ: Геометріи запрещенъ былъ входъ въ текстъ сочиненія; она явилась въ примѣчаніяхъ. Исторія теоріи высшихъ уравненій многократно подтверждаетъ справедливость этихъ сужденій. Кривыя линіи и поверхности никогда не были вытѣснены изъ той теоріи, но всегда съ пользою къ ней были примѣняемы. Какъ прежде Стирлингъ и де Гюа, такъ въ новѣйшее время, съ успѣхомъ болѣе яснымъ и полнымъ, Фурье, разсматривая кривыя линіи, открылъ отличительный признакъ дѣйствительныхъ и мнимыхъ корней уравненій, и далеко опередилъ аналитическіе опыты Лагранжа и Варинга. Хотя и Лагранжъ открылъ для Нютонова аналитическаго параллелограмма (способа весьма важнаго для теоріи рядовъ) прекрасное аналитическое доказательство, и освободилъ его тѣмъ отъ всякой геометрической формы, но Фурье находитъ болѣе выгоднымъ, при пополненіи этого способа, возвратиться къ геометрическимъ средствамъ.

Изъ всего, что было говорено вообще, и въ особенности въ новѣйшія времена, о естественнѣйшемъ и удобнѣйшемъ раздѣленіи всего Анализиса, кажется намъ, заслуживаетъ особеннаго уваженія взглядъ, недавно сообщенный здѣшней Академіи Наукъ однимъ изъ ея членовъ, которымъ въ правѣ гордиться Россія. Интегральное исчисленіе, говоритъ онъ въ своемъ Разсужденіи о томъ предметѣ, есть отличнѣйшая, важнѣйшая, труднѣйшая и наименѣе обработанная отрасль математическаго Анализиса. Намъ извѣстны только отдѣльныя методы, не ручающіяся за успѣхъ интеграціи. Лейбницъ и Нютонъ смотрѣли на теорію интегральнаго исчисленія съ ложной точки зрѣнія: ихъ послѣдователи были въ семъ отношеніи простыми подражателями. И Эйлеръ интегральное исчисленіе считаетъ методою для опредѣленія самой Функціи изъ отношенія, даннаго между нею и производными ея Функціями. Въ слѣдствіе этого общаго взгляда на интегральное исчисленіе, оно стало подчинено дифференціальному, безъ котораго поэтому не можетъ быть интеграціи. Это несправедливо. Дифференціальное исчисленіе не должно считать отдѣльною теоріею: она принадлежитъ частію Алгебрѣ, частію интегральному исчисленію. Математическій Анализисъ распадается только на двѣ главныя части: на Алгебру, или ученіе объ алгебраическихъ функціяхъ, и на Интегральное исчисленіе, или науку о трансцендентныхъ функціяхъ. Алгебраическія функціи суть выводы алгебраическихъ дѣйствій, совершенныхъ въ конечномъ количествѣ. Трансцендентныя же функціи происходятъ изъ безконечнаго повторенія алгебраическихъ дѣйствій. Одно изъ нихъ, самое простое, сложеніе, повторенное до безконечности, ведетъ къ тому, что математики, разсматривая этотъ предметъ съ другой точки зрѣнія, [195]назвали интеграціею функціи объ одной перемѣнной. Это самая простая изъ теорій интегральнаго исчисленія; она столь же мало сдѣлала успѣховъ, какъ и прочія. Первая проблема, представляющаяся при интеграціи функціи объ одной перемѣнной, должна найти, въ какихъ случаяхъ можетъ быть приведена къ алгебраической функціи извѣстная подъ именемъ интеграла и составленная безконечнымъ множествомъ сложений трансцендентная функція. Математики всегда причисляли функціи логариѳмическія и круговыя къ трансцендентнымъ: онѣ въ самомъ дѣлѣ туда относятся; ибо можно доказать, что онѣ не въ состояніи удовлетворить ни одному алгебраическому уравненію. Интеграція функцій объ одной перемѣнной, продолжаетъ нашъ Академикъ, зависитъ отъ рѣшенія двухъ различныхъ проблемъ. Первая изъ нихъ есть вышепомянутая проблема о приведеніи интеграловъ къ алгебраическимъ функціямъ, или къ другимъ болѣе простымъ интеграламъ. Вторая проблема занимается сравненіемъ интеграловъ или трансцендентныхъ функцій другь съ другомъ, и получила удовлетворительное рѣшеніе въ предложеніи знаменитаго Норвежскаго математика Абеля. До сихъ поръ не обращали большаго вниманія на его Анализъ. Нашъ Академикъ, въ новѣйшей запискѣ, изслѣдовалъ примѣненіе общей методы разрѣшенія первой изъ тѣхъ проблемъ къ интеграціи раціональныхъ дробей[2], почитаемой истощенною со временъ Лейбница и Іоанна Бернулли. Онъ доказываетъ, что во всѣхъ случаяхъ, когда интегралъ такой будетъ алгебраическимъ, то его можно найти, неразрѣшивъ какого нибудь уравненія. Общее рѣшеніе той проблемы не только довело бы до окончанія интеграцію функцій объ одной перемѣнной, но и освободило бы всю науку отъ шаткихъ дѣйствій (tâtonnement), свойственныхъ еще нынѣшнему интегральному исчисленію столь же, сколько наблюдательнымъ наукамъ. Мы сочли долгомъ нѣсколько распространиться о занимательныхъ мнѣніяхъ нашего земляка: они питаютъ въ насъ надежду, что выводы ихъ будутъ содѣйствовать большему возвышенію ученой славы Россіи.

Въ новѣйшія времена Лежандръ прежде всѣхъ обратилъ вниманіе геометровъ на особенный замѣчательный родъ трансцендентныхъ функцій — эллиптическія функціи. Онѣ довели до важныхъ открытій его, Абеля и Кенигсбергскаго Профессора Якоби. Планъ и предѣлы Энциклопедическаго Лексикона позволяютъ только слегка коснуться сего предмета. Потому же мы мало скажемъ нашимъ читателямъ о знаменитой Изопериметрической проблемѣ, въ теченіе почти цѣлаго столѣтія занимавшей умы математиковъ и содѣйствовавшей открытію новой вѣтви дифференціальнаго исчисленія. Мы уже замѣтили, что Ферматъ, прежде всѣхъ, далъ прямую методу для рѣшенія проблемы о наибольшихъ и наименьшихъ величинахъ. Она послѣ того упрощена и обобщена дифференціальнымъ исчисленіемъ. Та метода относилась однако до однѣхъ наибольшихъ или наименьшихъ величинъ координатъ данныхъ кривыхъ линій и поверхностей. Но скоро возвысились до задачъ совершенно новыхъ и болѣе трудныхъ. Надобно было найти кривыя линіи, въ которыхъ извѣстныя величины, зависящія отъ всего протяженія тѣхъ линій, и заключающіяся въ данныхъ предѣлахъ, были бы maxima или minima въ отношеніи ко всѣмъ прочимъ кривымъ линіямъ. Надобно, напр., найти ту кривую линію, которая, оборачиваясь около своей оси, заключила бы, въ данныхъ предѣлахъ, наивозможно большее пространство. Первыя подобныя проблемы предложила Механика. Нютонъ прежде всѣхъ искалъ такой кривой линіи, что оборотившись около оси, произвела бы тѣло, которое, будучи движимо въ жидкости по направленію оси, претерпѣвало бы наивозможно меньшее сопротивленіе (solide de la moindre résistance). Онъ предложилъ, однако же безъ доказательства, пропорцію, достаточную для строенія кривой линіи чрезъ ея касательныя. Открытію аналитической методы, собственно принадлежащей къ тому роду задачъ, подала первый поводъ предложенная въ 1693 году Іоанномъ Бернулли, знаменитая проблема о Брахистохронѣ, линіи наискорѣйшаго ската, т. е. той линіи, по которой тѣло доходитъ въ кратчайшее время отъ одной данной до другой, также данной точки, не находящейся съ первою ни въ горизонтальной, ни въ вертикальной линіи. За этою проблемою слѣдовали проблемы собственно изопериметрическія, которыя требуютъ найти изъ всѣхъ кривыхъ линій, имѣющихъ равный периметръ, т. е. [196]одинакую длину, такія, которыя, въ извѣстныхъ предѣлахъ заключали бы наибольшее или наименьшее пространство, или, которыя, оборачиваясь около своихъ осей, образовали бы наибольшую или наименьшую поверхность, наибольшее или наименьшее тѣло, и пр. Особенныя трудности такихъ задачъ, и великая слава относящихся къ тому предмету изслѣдованій братьевъ Бернулли, Тайлора и Эйлера, произвели, что всѣ вообще проблемы изопериметрическими, названы были, въ которыхъ требовалось найти кривыя линіи, хотя не одинакаго периметра, но имѣвшія бы свойства maxima или minima. Для рѣшенія такихъ задачъ постановилъ первое начало Яковъ Бернулли въ сочиненіи, вышедшемъ въ Базелѣ въ 1701 году: Analysis magni problematis isoperimetrici. Тѣмъ началомъ пользовались Тайлоръ въ своей Methdus incrementorum, Іоаннъ Бернулли въ Mém. de l'Académie des Sciences, 1718, и Эйлеръ въ VI и VІІІ томахъ Comm. Acad. Imper. Petropolitanae. Собственно общее и полное рѣшеніе проблемы далъ Эйлеръ въ своемъ сочиненіи 1744 года: Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimique proprietate gaudentes. Сочиненіе это было бы совершенно удовлетворительнымъ въ отношеніи къ разсматриваемому предмету, если бы было основано на Анализисѣ болѣе сообразномъ съ духомъ дифференціальнаго исчисленія. Но сочинитель, разлагая дифференціалы и интегралы на такъ называемые первоначальные элементы, разрушаетъ механизмъ сего исчисленія и лишаетъ его существеннѣйшихъ выгодъ: простоты и общности алгориѳма. Слѣдовательно нужно было еще открыть способъ приспособить дифференціальное исчисленіе къ рѣшенію собственно относящихся къ его кругу проблемъ о помянутыхъ maxima и minima, не уклоняясь впрочемъ отъ простаго и однообразнаго хода исчисленія. И Лагранжъ открылъ для того Варіаціонное исчисленіе (Calcul des variations), обнародованное имъ сперва во второмъ томѣ Mém. de l'Acad. de Turin. Употребленіе и примѣненіе его развилъ потомъ Лагранжъ блистательно въ своей Mécanique analytique.

Мы упомянули уже, въ статьѣ Алгебра, о различіи задачъ опредѣленныхъ и неопредѣленныхъ, и притомъ сказали, что въ слѣдствіе того и алгебраическій Анализисъ обыкновенно раздѣляютъ на опредѣленный и неопредѣленный или Діофантическій. Неопредѣленный Анализисъ занимается рѣшеніемъ задачъ, заключающихъ въ себѣ больше неизвѣстныхъ, нежели сколько можно вывести уравненій изъ условій задачи. Когда этотъ недостатокъ въ уравненіяхъ не пополнится ни какими особенными посторонними условіями, задача имѣетъ безконечное множество рѣшеній, потому что для одного или нѣсколькихъ находящихся въ задачѣ неизвѣстныхъ количествъ могутъ быть приняты произвольныя величины; потомъ, посредствомъ выведенныхъ изъ задачи уравненій, могутъ быть вычислены величины и прочихъ неизвѣстныхъ. То же самое встрѣчаемъ мы въ уравненіи между координатами кривой линіи; тамъ абсциссѣ можемъ мы придать постепенно произвольныя величины, и уравненіемъ получить соотвѣтствующую каждой изъ нихъ ординатную величину: оттого и уравненіе въ состояніи выразить непрерывный рядъ точекъ и тѣмъ весь ходъ кривой линіи. Задачи Діофантова Анализиса бываютъ обыкновенно такого рода, что могутъ быть рѣшены только извѣстными родами чиселъ; напр. когда задача такъ устроена, что зависящее отъ нее уравненіе можно рѣшить какъ цѣлыми, такъ и дробными числами, но практическія смыслъ вывода не позволяетъ иныхъ чиселъ, кромѣ цѣлыхъ. Для того, чтобы объяснить это тѣмъ изъ нашихъ читателей, которые совершенно незнакомы съ Алгеброю, положимъ, что намъ даны для рѣшенія двѣ слѣдующія задачи:

1) На 19 рублей купили товаровъ двухъ родовъ: фунтъ товаровъ перваго сорта стоитъ 2 р., втораго — 3 р. Сколько фунтовъ товаровъ купили каждаго сорта?

2) Нѣсколькимъ работникамъ обоего пола заплатили поденщины 19 руб. Каждая баба получила по 2 р.; каждый мужикъ по 3 рубля. Сколько бабъ и мужиковъ работало?

Обѣ задачи ведутъ насъ къ одному и тому же уравненію. Если будетъ означать въ первой задачѣ число фунтовъ одного сорта, и во второй задачѣ число бабъ; а будеть означать въ первой задачѣ число фунтовъ другаго сорта, и во второй задачѣ число мужиковъ; то въ первой задачѣ всѣ фунты одного сорта стоили руб., и всѣ фунты втораго сорта руб.; равно и во второй задачѣ всѣ бабы получили руб., всѣ мужики руб. [197]Въ обѣихъ задачахъ должны слѣдовательно руб. съ руб. составлять 19 руб., или должны быть . Каждая изъ сихъ задачъ даетъ слѣдовательно для опредѣленія двухъ неизвѣствыхъ только одно уравненіе, а потому онѣ не опредѣлены. Не смотря на то, обѣ задачи сильно отличаются другъ отъ друга степенью ихъ неопредѣленности; ибо сущность второй задачи непремѣнно требуетъ для и только цѣлыхъ чиселъ, между тѣмъ какъ первая допускаетъ и дроби. Потому я могу въ первомъ случаѣ для одного изъ двухъ неизвѣстныхъ, напр. для принять произвольное цѣлое или дробное число, только такое, которое взятое 3 раза было бы меньше 19; и изъ того опредѣлить . Я возьму на пр. ; то жды , или : и такъ должны быть менѣе , т. е. , слѣдовательно будетъ тогда половиною или , и я могу отвѣчать: ф. перваго и ф. втораго сорта. Вторая задача гораздо труднѣе; ее ограничиваетъ условіе, что искомыя числа должны непремѣнно быть цѣлыми, и она для того допускаетъ гораздо меньше первой отвѣтовъ. Въ самомъ дѣлѣ, эта задача имѣетъ только три дѣльные отвѣта, именно: 8 бабъ и 1 мужикъ, или 5 бабъ и 3 мужика, или 2 бабы и 5 мужиковъ.

Для всегдашняго удовлетворенія такихъ ограничивающихъ условій потребны совершенно особенныя средства; для того и привели все къ тому относящееся къ одной системѣ правилъ и методъ, и назвали неопредѣленнымъ Анализисомъ или неопредѣленною Аналитикою (см. Аналитика). Такую систему оставилъ намъ Эйлеръ во второй части вышедшей его здѣсь въ С. Петербургѣ Алгебры. Лагранжъ одарилъ ту часть многими занимательными примѣчаніями и прибавками. Неопредѣленный Анализисъ находитъ свое главное примѣчаніе въ весьма важныхъ изслѣдованіяхъ о свойствѣ чиселъ. Такимъ образомъ, подъ именемъ Теоріи чиселъ, образовалась совершенно особенная вѣтвь математическаго Анализиса. Въ XVII столѣтіи по этой части особенно отличался Ферматъ. Его именемъ еще и донынѣ обыкновенно называютъ нѣсколько весьма примѣчательныхъ теоремъ той теорія, оставленныхъ имъ безъ доказательствъ, или, можетъ быть, только угаданныхъ. Въ новѣйшее время систематическимъ обработываніемъ теоріи чиселъ, послѣ того какъ Эйлеръ проложилъ къ тому путь многими разсужденіями, помѣщенными въ сочиненіяхъ здѣшней Академія, особенно занимались Гауссъ (Disquisitiones arithmeticae, 1801) и Лежандръ (Essai sur la théorie des nombres, 2ème éd. 1808). Эта теорія довела до весьма занимательныхъ открытій; изъ числа которыхъ мы упомянемъ о способѣ Гаусса для строенія правильнаго семнадцатиугольника.

Въ заключеніе должны мы здѣсь сказать нѣсколько о такъ называемомъ Анализисѣ соединеній (Combinatorische Analysis, analyse combinatoire), существованіе котораго вѣроятно одолжено нѣкоторымъ идеямъ Лейбница. Въ концѣ прошлаго столѣтія Лейпцигскій профессоръ Гинденбургъ старался привести сію теорію въ наукообразную систему. Подъ Анализисомъ соединеній разумѣютъ науку, разсматривающую величины и символы ихъ только въ отношеніи къ ихъ взаимному мѣсту, и изслѣдывающую, какъ часто многія, одна подлѣ другой находящіяся, вещи могутъ перемѣнить свои мѣста, какъ часто могутъ онѣ быть соединены по двѣ; по три, и т. д. Сколь ни остроумны способы изложенія, методы и правила, изобрѣтенные въ этомъ отношеніи Гинденбургомъ, старшимъ Пфаффомъ, Роте, и многими другими отличными математиками Германіи, сколь ни многообразную пользу, именно своими самыми простѣйшими предложеніями, приноситъ эта теорія нѣкоторымъ частямъ и примѣненіямъ Математики, къ числу послѣднихъ именно относится исчисленіе вѣроятностей, — несмотря на все это, она кажется переоцѣнена въ Германіи, и нельзя многаго ожидать отъ нея въ будущемъ. Безъ успѣха также остались новѣйшіе опыты профессоровъ Геттингенскаго Тибо, Гейдельбергскаго Швейнса, и другихъ, поставить, въ общей теоріи величинъ, Анализисъ соединеній наряду съ собственно такъ называемымъ математическимъ Анализисомъ. Въ 1820 году впервые систематически обработанная Эрлангенскимъ профессоромъ Роте, Теорія комбинаторическихъ интеграловъ или аггрегатовъ значительно полезна тѣмъ, что всѣ относящіяся къ конечнымъ или безконечнымъ рядамъ дѣйствія приводятся ею къ одному простому исчисленію съ общими членами рядовъ, т. е. съ общими выраженіями, изображающими законъ, которому слѣдуютъ всѣ члены [198]рядовъ. Та теорія, хотя и находится въ тѣсной связи съ Анализисомъ соединеній, но, какъ для своего основанія, такъ и для примѣненія, требуетъ однихъ весьма простыхъ началъ той науки.

Что касается до многочисленныхъ трудовъ и открытій математиковъ XVIII и нынѣшняго столѣтій, не упомянутыхъ въ предстоящемъ обозрѣніи, то повторяемъ вышесказанное: читатели найдутъ все принадлежащее къ тому въ біографическихъ статьяхъ. Это преимущественно относится къ величайшему аналитику нашего времени, славному Лапласу, обогатившему науку съ столь блистательнымъ успѣхомъ, и оставившему намъ, въ двухъ главныхъ своихъ сочиненіяхъ: Mécanique céleste и Théorie analytique des probabilités, неистощимое сокровище самыхъ важныхъ предложеній и изобильнѣйшихъ методъ.

Сверхъ сочиненій, поименованныхъ въ концѣ статьи Алгебра, при изложеніи настоящей статьи были еще употреблены слѣдующія:

Lacroix. Traité du calcul différentiel et du calcul intégral, 2ème édit. Paris, 1810 (Томъ I. Предисловіе.)

Lagrange. Leçons sur le calcul des fonctions, Paris, 1806. (Уроки I, XVIII, XXI и XXII.)

Примечанія.[править]

  1. Въ предисловіи къ сочиненію: Grundzüge der Lehre von den höhern nummerischen Gleichungen nach ihren analytischen und geometrischen Eigenschaften: ein Supplement zu den Lehrbüchern der Algebra und der Differentialrechnung. Leipzig. 1834.
  2. [Вѣроятно, речь идетъ о Mémorie sur l'intégration des fractions rationnelles М. В. Остроградскаго, опубликованномъ въ Mémoires de l'Academie impériale des sciences de St. Pétersbourg за 1833 г.] — Прим. ред. Викитеки.