[14]
§ 4. Теорема о совершенной индукции.
На этом точном определении натурального ряда чисел покоится предложение, представляющее собой одно из наиболее важных и плодотворных средств для познавания математических истин; это есть [15]так называемое предложение о совершенной индукции, или заключение от кь . Предложение это заключается в следующем.
Пусть , представляет собой некоторое утверждение относительно неопределённого натурального числа , т. е. предложение, содержащее неопределённое натуральное число . Если это утверждение оказалось справедливым
a) для некоторого частного значения неопределённого числа .
b) а также для всякого числа в том случае, если оно справедливо для числа , то оно справедливо также для всех чисел комплекса , т. е. для всех чисел , которые больше, нежели .
Итак, примем условия a) и b) и обозначим через комплекс тех чисел , для которых предложение справедливо. Согласно условиям a) и b) число содержится в комплексе ; этот комплекс удовлетворяет, следовательно, требованиям α') и β') § 3. Следовательно, комплекс входит в состав комплекса . Иначе говоря, каждое число комплекса (т. е. каждое число, которое больше, нежели ) принадлежит к тем числам , для которых утверждение справедливо, — что и требовалось доказать.
Индуктивный процесс умозаключения, который представляет собою основу всех опытных наук, заключается в том, что некоторый факт, который мы наблюдали в отдельных случаях, принимается за общий закон. Дальнейшие наблюдения либо постоянно подтверждают это допущение, либо опровергают его. В математике такого рода процесс может служить только указанием того пути, которому нужно следовать при разыскании истины; для действительного же доказательства необходимо дополнение, точное обоснование, которое во многих случаях достигается применением доказанного сейчас предложения; оно называется поэтому предложением о совершенной индукции.
Если предложение или понятие, содержащее неопределённое число , приводится от случая к случаю , то такой прием называют также рекуррентным.