Энциклопедия элементарной математики. Том 1 (Вебер,Каган)/Книга 1/Глава 1/§ 4

Энциклопедия элементарной математики. Том I. Элементарная алгебра и анализ. — Книга I. Основания арифметики. Глава I. Натуральные числа. § 4. Теорема о совершенной индукции.
автор Генрих Вебер (1842—1913), пер. Вениамин Каган (1869—1953)

Оригинал: нем. Lehrbuch der Algebra. — См. Оглавление. Перевод опубл.: 1906. Источник: Сканы, размещённые на Викискладе

§ 4. Теорема о совершенной индукции.

На этом точном определении натурального ряда чисел покоится предложение, представляющее собой одно из наиболее важных и плодотворных средств для познавания математических истин; это есть так называемое предложение о совершенной индукции, или заключение от $n$ кь $n+1$. Предложение это заключается в следующем.

Пусть ${\mathfrak {S}}_{n}$, представляет собой некоторое утверждение относительно неопределённого натурального числа $n$, т. е. предложение, содержащее неопределённое натуральное число $n$. Если это утверждение оказалось справедливым

a) для некоторого частного значения неопределённого числа $n=a$.

b) а также для всякого числа $n+1$ в том случае, если оно справедливо для числа $n$, то оно справедливо также для всех чисел комплекса $N_{a}$, т. е. для всех чисел $n$, которые больше, нежели $a$.

Итак, примем условия a) и b) и обозначим через $S$ комплекс тех чисел $n$, для которых предложение ${\mathfrak {S}}_{n}$ справедливо. Согласно условиям a) и b) число $a+1$ содержится в комплексе $S$; этот комплекс удовлетворяет, следовательно, требованиям α') и β') § 3. Следовательно, комплекс $N_{a}$ входит в состав комплекса $S$. Иначе говоря, каждое число комплекса $N_{a}$ (т. е. каждое число, которое больше, нежели $a$) принадлежит к тем числам $n$, для которых утверждение ${\mathfrak {S}}_{n}$ справедливо, — что и требовалось доказать.

Индуктивный процесс умозаключения, который представляет собою основу всех опытных наук, заключается в том, что некоторый факт, который мы наблюдали в отдельных случаях, принимается за общий закон. Дальнейшие наблюдения либо постоянно подтверждают это допущение, либо опровергают его. В математике такого рода процесс может служить только указанием того пути, которому нужно следовать при разыскании истины; для действительного же доказательства необходимо дополнение, точное обоснование, которое во многих случаях достигается применением доказанного сейчас предложения; оно называется поэтому предложением о совершенной индукции.

Если предложение или понятие, содержащее неопределённое число $n$, приводится от случая $n+1$ к случаю $n$, то такой прием называют также рекуррентным.

---