[8]
§ 3. Числа и счёт.
1. Согласно изложенному, мы можем соединить все комплексы, имеющие с одним из них, а следовательно, и друг с другом [9](§ 2, 3), одинаковую мощность, в одну систему, в одну категорию; такого рода категории, вследствие присущей им большой общности, находят себе широкое применение. Эти категории называются числами. Наименования, которые они получают, суть названия чисел, а знаки, которыми они обозначаются на письме, называются цифрами. Если
есть знак или название такого рода категории, в состав которой входит комплекс
, то говорят, что
есть число элементов комплекса
или, что комплекс
состоит из
элементов, или короче, что
есть число комплекса
, или
есть значение этого числа, или наконец, что комплекс
имеет мощность
[1].
Каждое число вполне определяется одним комплексом, принадлежащим соответствующей категории; такой комплекс мы будем называть представителем этой категории.
С этой точки зрения числа не представляют собой бессодержательных символов, над которыми мы оперируем по произвольно созданным правилам; это есть содержательное родовое понятие, к которому мы были приведены практическими потребностями нашего духа и его отношением к внешнему миру[2].
Все комплексы, состоящие только из одного элемента, имеют одинаковую мощность; они образуют одну категорию, число которой называется «один» и обозначается символом «1».
2. Если
есть число комплекса
и
представляет собой элемент, не входящий в состав комплекса
, то мы будем обозначать число комплекса
символом
. Это число
не меняется, если мы заменим комплекс
другим представителем числа или элемент
другим элементом, не входящим в состав комплекса
(§ 2, 6). [10]
Не исключена, однако, возможность, что комплексы
и
имеют одинаковую мощность, так что
и
выражают одно и то же число.
3. Если число
отлично оть
, то оно называется конечным числом. Если же число
совпадает с числом
, то оно называется бесконечным числом[3]. Число
есть конечное число. Мы апеллируем при этом к очевидности, что два объекта (напр.
) не могут быть однозначно сопряжены с одним объектом (
). Число
или
, таким образом отлично от
.
Если число
конечно, то и число
конечно.
Это следует непосредственно из предложения § 2,7.
В самом деле, пусть комплексы
,
,
будут представители чисел
,
,
; если бы комплексы
и
имели одинаковую мощность, то в силу названного предложения комплексы
и
также имели бы одинаковую мощность, т. е.
не было бы конечным числом.
4. Теперь мы займёмся особыми комплексами
, элементами которых служат числа (числовыми комплексами); именно, мы будем обозначать символом
комплексы, обладающие следующими двумя свойствами:
α) Число
содержится в комплексе
.
β) Если в комплексе
содержится число
, то в нём содержится и число
.
Эти два свойства во всяком случае принадлежат комплексу, содержащему все числа. Но существуют и другие числовые комплексы, обладающие этими свойствами.
Мы определим теперь натуральный ряд чисел
, как пересечение всех комплексов
, обладающих свойствами α) и β). Иными словами, мы введём в состав комплекса
те и только те числа, которые фигурируют во всех комплексах
.
Согласно этому определению, число
во всяком случае фигурирует в комплексе
. Кроме того, если в комплексе
содержится [11]число
, то в нём содержится также число
. Эти числа
мы будем называть натуральными числами.
5. Всякое натуральное число конечно, т. е. если
есть натуральное число, то оно отлично от числа
. В самом деле, комплекс
всех конечных чисел, согласно пункту 3, удовлетворяет условиям α) и β) [4]. Следовательно,
представляет собой один из комплексов
; поэтому
входит в состав комплекса
, т. е. каждое число комплекса
конечно.
Справедливо ли также обратное предложение, т. е. фигурирует ли каждое конечное число в натуральном ряде, — это вопрос, решение которого мы вынуждены ещё отложить.
При помощи натурального ряда чисел мы выделим частные числовые комплексы следующим образом:
6. Пусть
будет натуральное число; мы будем обозначать символом
числовой комплекс, удовлетворяющий следующим двум требованиям:
α') Число
входит в состав комплекса
.
β') Если в состав комплекса
входит число
, то в его состав входит также число
.
Этим требованиям удовлетворяет самый натуральный ряд
; но им удовлетворяют и другие числовые комплексы; каждый такой комплекс, как сказано, мы будем обозначать символом
. Теперь мы определим комплекс
, как пересечение всех комплексов
. В таком случае комплекс
содержится в каждом комплексе
.
Согласно этому, комплекс
определяется следующими свойствами:
α'') Число
фигурирует в комплексе
.
β'') Если число
содержится в комплексе
, то в нём содержится также и число
.
(Для краткости мы здесь пишем
вместо
.)
Отсюда следует, что каждый комплекс
представляет собой также комплекс
. Если же комплекс
содержит число
, то он представляет собой в то же время комплекс
; но если комплекс
числа
не содержит, то к нему достаточно присоединить число
, чтобы получить комплекс
. В обозначениях [12]§2 это можно выразить следующим образом:
[5]
|
|
Основываясь на этом, легко доказать следующее предложение.
7. Число
не содержится в комплексе
. Обозначим через
числовой комплекс, который образуется из комплекса
, если удалить из него число
, т. е. положим
. В таком случае комплекс
удовлетворяет условиям α') и β') предыдущего пункта при
, и потому
представляет собой комплекс
. С другой стороны, комплекс
содержится во всяком комплексе
; в самом деле, если к какому-либо комплексу
присоединим число
, то получим комплекс
; если бы поэтому существовал такой комплекс
, в котором не содержался бы комплекс
, то присоединив к нему
, мы получили бы такой комплекс
, в котором не содержался бы комплекс
, — что противоречит определению натурального ряда [6].
8. Если число
не содержится в комплексе
, то число
не содержится в комплексе
.
В самом деле, если число
не входит в состав комплекса
, то оно не входит также в состав комплекса
; поэтому комплекс
удовлетворяет требованиям α'') и β''), a потому [13]представляет собой комплекс
. С другой стороны, комплекс
содержится в каждом комплексе
; действительно,
есть комплекс
(п. 6), и потому содержит комплекс
; следовательно, комплекс
содержит
, т. е.
. Из сказанного вытекает, что
.
9. Число
не содержится в комплексе
.
Действительно, обозначим через
комплекс чисел
, удовлетворяющих требованию, что комплекс
не содержит числа
; в таком случае, согласно п. 7, число
входит в состав комплекса
. С другой стороны, ввиду п. 8, если в состав комплекса
входит число
, то в его состав входит также число
. Вследствие этого комплекс
представляет собой комплекс
, и потому содержит в себе натуральный ряд (п. 4). А так как индекс
в обозначении комплекса
, согласно определению (п. 6), есть натуральное число, то оно входит в состав комплекса
, т. е. комплекс
, не содержит числа
.
10. Если число
содержится в комплексе
, то комплекс
содержится в комплексе
.
Действительно, если комплекс
содержит число
, то он содержит также число
; а так как он удовлетворяет также условию β'), то он при этих условиях представляет собой комплексь
, и потому содержит в себе комплекс
(п. 6).
11. Если число
содержится в комплексе
, то число
не содержится в комплексе
.
Согласно п. 9, число
не содержится в комплексе
; поэтому, при условиях задания, оно не может содержаться и в комплексе
, [14]так как все элементы последнего комплекса в этом случае принадлежат комплексу
(п. 10).
Мы будем называть комплекс
совокупность натуральных чисел, которые больше числа
. Если
есть число комплекса
, то мы будем говорить, что число «
больше числа
» и будем выражать это в знаках так:
.
|
|
В этой терминологии предложения п. п. 9, 10 и 11 могут быть выражены так:
9*. Число
не больше числа
.
10*. Если число
больше числа
, а число
больше числа
, то число
больше числа
.
11*. Если число
больше числа
, то число
не больше
числа
.
12. Каждое натуральное число
, за исключением
, может быть получено из некоторого определённого натурального числа
прибавлением к нему единицы, т. е. существует определённое такое число
, что
. Это число
мы будем обозначать символом
.
Чтобы доказать высказанное утверждение, обозначим через
комплекс, содержащий все числа вида
, где
есть натуральное число. В состав этого комплекса входит число
, т. е.
; кроме того, если число
входит в состав этого комплекса, то в нём содержится и число
. Следовательно, комплекс
удовлетворяет требованиям α') и β') п. 6 при
, и потому представляет собой комплекс
; таким образом комплекс
, входит в состав комплекса
. Но с другой стороны, каждое число комплекса
входит в состав комплекса
, ибо последний содержит все натуральные числа, кроме
; вследствие этого комплексы
и
совпадают.
Итак, каждое число комплекса
, может быть представлено в виде
. Что же касается того, что данному числу
отвечает только одно число
, то это вытекает из предложения § 2, 7; в самом деле, согласно этому предложению, если
представляет собой комплекс мощности
и
есть какой-либо элемент этого комплекса, то все комплексы
имеют одинаковую мощность.