Энциклопедия элементарной математики. Том 1 (Вебер,Каган)/Книга 1/Глава 1/§ 3/ДО

Энциклопедія элементарной математики. Томъ I. Элементарная алгебра и анализъ. — Книга I. Основанiя ариѳметики. Глава I. Натуральныя числа. § 3. Числа и счетъ.
авторъ Генрихъ Веберъ (1842—1913), пер. Веніаминъ Каганъ (1869—1953)

Оригинал: нем. Lehrbuch der Algebra. — См. Оглавленіе. Перевод опубл.: 1906. Источникъ: Сканы, размещённые на Викискладе

§ 3. Числа и счетъ.

1. Согласно изложенному, мы можемъ соединить всѣ комплексы, имѣющiе съ однимъ изъ нихъ, а слѣдовательно, и другъ съ другомъ (§ 2, 3), одинаковую мощность, въ одну систему, въ одну категорiю; такого рода категорiи, вслѣдствiе присущей имъ большой общности, находятъ себѣ широкое примѣненiе. Эти категорiи называются числами. Наименованiя, которыя они получаютъ, суть названiя чиселъ, а знаки, которыми они обозначаются на письмѣ, называются цифрами. Если $a$ есть знакъ или названiе такого рода категорiи, въ составъ которой входитъ комплексъ $A$, то говорятъ, что $a$ есть число элементовъ комплекса $A$ или, что комплексъ $A$ состоитъ изъ $a$ элементовъ, или короче, что $a$ есть число комплекса $A$, или $a$ есть значенiе этого числа, или наконецъ, что комплексъ $A$ имѣетъ мощность $a$^[1].

Каждое число вполнѣ опредѣляется однимъ комплексомъ, принадлежащимъ соотвѣтствующей категорiи; такой комплексъ мы будемъ называть представителемъ этой категорiи.

Съ этой точки зрѣнiя числа не представляютъ собой бессодержательныхъ символовъ, надъ которыми мы оперируемъ по произвольно созданнымъ правиламъ; это есть содержательное родовое понятiе, къ которому мы были приведены практическими потребностями нашего духа и его отношенiемъ къ внѣшнему міру^[2].

Всѣ комплексы, состоящiе только изъ одного элемента, имѣютъ одинаковую мощность; они образуютъ одну категорiю, число которой называется „одинъ“ и обозначается символомъ „1“.

2. Если $a$ есть число комплекса $A$ и $\alpha$ представляетъ собой элементъ, не входящiй въ составъ комплекса $A$, то мы будемъ обозначать число комплекса $A+\alpha$ символомъ $a+1$. Это число $a+1$ не мѣняется, если мы замѣнимъ комплексъ $A$ другимъ представителемъ числа или элементъ $\alpha$ другимъ элементомъ, не входящимъ въ составъ комплекса $A$ (§ 2, 6).

Не исключена, однако, возможность, что комплексы $A$ и $A+\alpha$ имѣютъ одинаковую мощность, такъ что $a$ и $a+1$ выражаютъ одно и то же число.

3. Если число $\ell$ отлично оть $\ell +1$, то оно называется конечнымъ числомъ. Если-же число $\omega$ совпадаетъ съ числомъ $\omega +1$, то оно называется безконечнымъ числомъ^[3]. Число $1$ есть конечное число. Мы апеллируемъ при этомъ къ очевидности, что два объекта (напр. $1,1$) не могутъ быть однозначно сопряжены съ однимъ объектомъ ($1$). Число $1+1$ или $2$, такимъ образомъ отлично отъ $1$.

Если число $\ell$ конечно, то и число $\ell +1$ конечно.

Это слѣдуетъ непосредственно изъ предложенiя § 2,7.

Въ самомъ дѣлѣ, пусть комплексы $A$, $A'=A+\alpha$, $A''=A+\alpha +\beta$ будутъ представители чиселъ $\ell$, $\ell +1$, $\ell +1+1$; если бы комплексы $A'$ и $A''$ имѣли одинаковую мощность, то въ силу названнаго предложенiя комплексы $A$ и $A'$ также имѣли бы одинаковую мощность, т. е. $\ell$ не было бы конечнымъ числомъ.

4. Теперь мы займемся особыми комплексами $Z$, элементами которыхъ служатъ числа (числовыми комплексами); именно, мы будемъ обозначать символомъ $Z$ комплексы, обладающiе слѣдующими двумя свойствами:

α) Число $1$ содержится въ комплексѣ $Z$.

β) Если въ комплексѣ $Z$ содержится число $z$, то въ немъ содержится и число $z+1$.

Эти два свойства во всякомъ случаѣ принадлежатъ комплексу, содержащему всѣ числа. Но существуютъ и другiе числовые комплексы, обладающiе этими свойствами.

Мы опредѣлимъ теперь натуральный рядъ чиселъ $N$, какъ пересѣченiе всѣхъ комплексовъ $Z$, обладающихъ свойствами α) и β). Иными словами, мы введемъ въ составъ комплекса $N$ тѣ и только тѣ числа, которыя фигурируютъ во всѣхъ комплексахъ $Z$.

Согласно этому опредѣленiю, число $1$ во всякомъ случаѣ фигурируетъ въ комплексѣ $N$. Кромѣ того, если въ комплексѣ $N$ содержится число $n$, то въ немъ содержится также число $n+1$. Эти числа $n$ мы будемъ называть натуральными числами.

5. Всякое натуральное число конечно, т. е. если $n$ есть натуральное число, то оно отлично отъ числа $n+1$. Въ самомъ дѣлѣ, комплексъ $E$ всѣхъ конечныхъ чиселъ, согласно пункту 3, удовлетворяетъ условiямъ α) и β) ^[4]. Слѣдовательно, $E$ представляетъ собой одинъ изъ комплексовъ $Z$; поэтому $N$ входитъ въ составъ комплекса $E$, т. е. каждое число комплекса $N$ конечно.

Справедливо ли также обратное предложенiе, т. е. фигурируетъ-ли каждое конечное число въ натуральномъ рядѣ, — это вопросъ, рѣшенiе котораго мы вынуждены еще отложить.

При помощи натуральнаго ряда чиселъ мы выдѣлимъ частные числовые комплексы слѣдующимъ образомъ:

6. Пусть $a$ будетъ натуральное число; мы будемъ обозначать символомъ $Z_{a}$ числовой комплексъ, удовлетворяющiй слѣдующимъ двумъ требованiямъ:

α') Число $a+1$ входитъ въ составъ комплекса $Z_{a}$.

β') Если въ составъ комплекса $Z_{a}$ входитъ число $z$, то въ его составъ входитъ также число $z+1$.

Этимъ требованiямъ удовлетворяетъ самый натуральный рядъ $N$; но имъ удовлетворяютъ и другiе числовые комплексы; каждый такой комплексъ, какъ сказано, мы будемъ обозначать символомъ $Z_{a}$. Теперь мы опредѣлимъ комплексъ $N_{a}$, какъ пересеченiе всѣхъ комплексовъ $Z_{a}$. Въ такомъ случаѣ комплексъ $N_{a}$ содержится въ каждомъ комплексѣ $Z_{a}$.

Согласно этому, комплексъ $Z_{a+1}$ опредѣляется слѣдующими свойствами:

α'') Число $a+2$ фигурируетъ въ комплексѣ $Z_{a+1}$.

β'') Если число $z$ содержится въ комплексѣ $Z_{a+1}$, то въ немъ содержится также и число $z+1$.

(Для краткости мы здѣсь пишемъ $a+2$ вместо $[(a+1)+1]$.)

Отсюда слѣдуетъ, что каждый комплексъ $Z_{a}$ представляетъ собой также комплексъ $Z_{a+1}$. Если-же комплексъ $Z_{a+1}$ содержитъ число $a+1$, то онъ представляетъ собой въ то же время комплексъ $Z_{a}$; но если комплексъ $Z_{a+1}$ числа $a+1$ не содержитъ, то къ нему достаточно присоединить число $a+1$, чтобы получить комплексъ $Z_{a}$. Въ обозначенiяхъ §2 это можно выразить слѣдующимъ образомъ:

$Z_{a}=Z_{a+1}+(a+1)$ [5]

Основываясь на этомъ, легко доказать слѣдующее предложенiе.

7. Число $1$ не содержится въ комплексѣ $N_{1}$. Обозначимъ черезъ $N'$ числовой комплексъ, который образуется изъ комплекса $N$, если удалить изъ него число $1$, т. е. положимъ $N'=N-1$. Въ такомъ случаѣ комплексъ $N'$ удовлетворяетъ условiямъ α') и β') предыдущаго пункта при $a=1$, и потому $N'$ представляетъ собой комплексъ $Z_{1}$. Съ другой стороны, комплексъ $N'$ содержится во всякомъ комплексѣ $Z_{1}$; въ самомъ дѣлѣ, если къ какому-либо комплексу $Z_{1}$ присоединимъ число $1$, то получимъ комплексъ $Z$; если бы поэтому существовалъ такой комплексъ $Z_{1}$, въ которомъ не содержался бы комплексъ $N'$, то присоединивъ къ нему $1$, мы получили бы такой комплексъ $Z$, въ которомъ не содержался бы комплексъ $N$, — что противорѣчитъ опредѣленiю натуральнаго ряда ^[6].

8. Если число $a$ не содержится въ комплексѣ $N_{a}$, то число $a+1$ не содержится въ комплексѣ $N_{a+1}$.

Въ самомъ дѣлѣ, если число $a$ не входитъ въ составъ комплекса $N_{a}$, то оно не входитъ также въ составъ комплекса ${N_{a}}'=N_{a}-(a+1)$; поэтому комплексъ ${N_{a}}'$ удовлетворяетъ требованiямъ α'') и β''), a потому представляетъ собой комплексъ $Z_{a+1}$. Съ другой стороны, комплексъ ${N_{a}}'$ содержится въ каждомъ комплексѣ $Z_{a+1}$; дѣйствительно, $Z_{a+1}+(a+1)$ есть комплексъ $Z_{a}$ (п. 6), и потому содержитъ комплексъ $N_{a}$; слѣдовательно, комплексъ $Z_{a+1}$ содержитъ $N_{a}-(a+1)$, т. е. ${N_{a}}'$. Изъ сказаннаго вытекаетъ, что ${N_{a}}'=N_{a+1}$.

9. Число $a$ не содержится въ комплексѣ $N_{a}$.

Действительно, обозначимъ черезъ $A$ комплексъ чиселъ $a$, удовлетворяющихъ требованiю, что комплексъ $N_{a}$ не содержитъ числа $a$; въ такомъ случаѣ, согласно п. 7, число $1$ входитъ въ составъ комплекса $A$. Съ другой стороны, въ виду п. 8, если въ составъ комплекса $A$ входитъ число $z$, то въ его составъ входитъ также число $z+1$. Вслѣдствiе этого комплексъ $A$ представляетъ собой комплексъ $Z$, и потому содержитъ въ себе натуральный рядъ (п. 4). А такъ какъ индексъ $a$ въ обозначенiи комплекса $N_{a}$, согласно определенiю (п. 6), есть натуральное число, то оно входитъ въ составъ комплекса $A$, т. е. комплексъ $N_{a}$, не содержитъ числа $a$.

10. Если число $b$ содержится въ комплексѣ $N_{a}$, то комплексъ $N_{b}$ содержится въ комплексѣ $N_{a}$.

Дѣйствительно, если комплексъ $N_{a}$ содержитъ число $b$, то онъ содержитъ также число $b+1$; а такъ какъ онъ удовлетворяетъ также условiю β'), то онъ при этихъ условiяхъ представляетъ собой комплексь $Z_{b}$, и потому содержитъ въ себѣ комплексъ $N_{b}$ (п. 6).

11. Если число $b$ содержится въ комплексѣ $N_{a}$, то число $a$ не содержится въ комплексе $N_{b}$.

Согласно п. 9, число $a$ не содержится въ комплексѣ $N_{a}$; поэтому, при условiяхъ заданiя, оно не можетъ содержаться и въ комплексѣ $N_{b}$, такъ какъ всѣ элементы послѣдняго комплекса въ этомъ случаѣ принадлежатъ комплексу $N_{a}$ (п. 10).

Мы будемъ называть комплексъ $N_{a}$ совокупность натуральныхъ чиселъ, которыя больше числа $a$. Если $b$ есть число комплекса $N_{a}$, то мы будемъ говорить, что число „$b$ больше числа $a$“ и будемъ выражать это въ знакахъ такъ:

$b>a$.

Въ этой терминологiи предложенiя п. п. 9, 10 и 11 могутъ быть выражены такъ:

9^*. Число $a$ не больше числа $a$.

10^*. Если число $b$ больше числа $a$, а число $c$ больше числа $b$, то число $c$ больше числа $a$.

11^*. Если число $b$ больше числа $a$, то число $a$ не больше числа $b$.

12. Каждое натуральное число $n$, за исключенiемъ $1$, можетъ быть получено изъ нѣкотораго опредѣленнаго натуральнаго числа $m$ прибавленiемъ къ нему единицы, т. е. существуетъ опредѣленное такое число $m$, что $n=m+1$. Это число $m$ мы будемъ обозначать символомъ $n-1$.

Чтобы доказать высказанное утвержденiе, обозначимъ черезъ $N'$ комплексъ, содержащiй всѣ числа вида $m+1$, гдѣ $m$ есть натуральное число. Въ составъ этого комплекса входитъ число $2$, т. е. $(1+1)$; кромѣ того, если число $a$ входитъ въ составъ этого комплекса, то въ немъ содержится и число $a+1$. Слѣдовательно, комплексъ $N'$ удовлетворяетъ требованiямъ α') и β') п. 6 при $a=1$, и потому представляетъ собой комплексъ $Z_{1}$; такимъ образомъ комплексъ $N_{1}$, входитъ въ составъ комплекса $N'$. Но съ другой стороны, каждое число комплекса $N'$ входитъ въ составъ комплекса $N_{1}$, ибо послѣднiй содержитъ всѣ натуральныя числа, кромѣ $1$; вслѣдствiе этого комплексы $N_{1}$ и $N'$ совпадаютъ.

Итакъ, каждое число комплекса $N_{1}$, можетъ быть представлено въ видѣ $m+1$. Что же касается того, что данному числу $m+1$ отвѣчаетъ только одно число $m$, то это вытекаетъ изъ предложенiя § 2, 7; въ самомъ дѣлѣ, согласно этому предложенiю, если $A$ представляетъ собой комплексъ мощности $a+1$ и $\alpha$ есть какой либо элементъ этого комплекса, то всѣ комплексы $A-\alpha$ имѣютъ одинаковую мощность.

Примѣчанія.

1. Въ примѣчанiи 3 мы разсматривали комплексъ $A$, состоящiй изъ элементовъ $a,b,c,d$. Всѣ комплексы, имѣющiе ту же мощность, объединяются въ одну категорiю, которой даютъ названiе „четыре“, и говорятъ, что такой комплексъ состоитъ изъ четырехъ элементовъ или, что четыре есть число этого комплекса. Такимъ же образомъ и другiе комплексы распредѣляются въ категорiи, объединяющiя комплексы одинаковой мощности; съ каждой такой категорiей соединяютъ особое понятiе — ея число, именуемое особымъ названiемъ. Съ этой точки зрѣнiя и совокупность прямолинейныхъ отрѣзковъ представляетъ собой такую категорiю (§ 2, 2). Если мы будемъ обозначать черезъ $\omega$ соотвѣтствующее ей число, то выраженiе: „комплексъ $A$ имѣетъ $\omega$ элементовъ“, будетъ означать, что комплексъ $A$ имѣетъ ту же мощность, что и прямолинейный отрѣзокъ, или иначе, что элементы этого комплекса могутъ быть сопряжены однозначнымъ соотвѣтствiемъ съ точками прямолинейнаго отрѣзка.
2. Авторъ намекаетъ здѣсь на другую систему построенiя основъ ариѳметики, съ точки зрѣнiя которой числа представляютъ собой не болѣе какъ символы, надъ которыми по опредѣленнымъ формальнымъ законамъ совершаются операцiи. Нужно сказать, что эта вторая теорія имѣетъ свои серьезныя достоинства.
3. Представимъ себѣ неопредѣленный рядъ точекъ на прямой линiи $B,C,D,E,$ … , слѣдующихъ другъ за другомъ на одномъ и томъ же разстоянiи одна отъ другой. Обозначимъ черезъ $\omega$ соотвѣтствующее этому комплексу число. Отъ точки $B$ съ противоположной стороны на томъ же разстоянiи нанесемъ точку $A$. Если мы присоединимъ ее къ прежнему комплексу, то получимъ новый комплексъ, которому соотвѣтствуетъ число $\omega +1$. Легко показать, что въ этомъ случаѣ новый комплексъ имѣетъ ту же мощность, что и первоначальный. Дѣйствительно, если мы отнесемъ точку $A$ точкѣ $B$, точку $B$ точкѣ $C$, точку $C$ точкѣ $D$, вообще, отнесемъ каждую точку слѣдующей точкѣ, то этимъ будетъ установлено однозначное соотвѣтствiе между первоначальнымъ и новымъ комплексомъ. Въ данномъ случаѣ число $\omega$ совпадаетъ съ $\omega +1$, и потому $\omega$ есть безконечное число.
4. Дѣйствительно, $1$, какъ конечное число, фигурируетъ въ комплексѣ $E$; кромѣ того, если $\ell$ есть конечное число, то и $\ell +1$ есть конечное число, т. е. если $\ell$ фигурируетъ въ комплексѣ $E$, то въ немъ фигурируетъ также число $\ell +1$.
5. Прибавимъ къ этому еще слѣдующее: если какой-либо комплексъ $Z_{1}$ содержитъ число $1$, то онъ представляетъ собой также комплексъ $Z$; если же въ немъ нѣтъ числа $1$, то достаточно присоединить число $1$, чтобы получить комплексъ $Z$. Дѣйствительно, условiе α) пункта 4 выполняется присоединенiемъ числа $1$, условiе же β), присущее и комплексу $Z_{1}$, этимъ не нарушается, такъ какъ число $1+1$ имѣется и въ комплексѣ $Z_{1}$. Въ обозначенiяхъ § 2 это можно выразить такъ:

   $Z=Z_{1}+1$

   (ибо, если $1$ входитъ въ составъ комплекса $Z_{1}$, то комплексъ $Z_{1}+1$ совпадаетъ съ комплексомъ $Z_{1}$)

6. Пункты 7—9 въ первоначальной редакцiи содержали погрѣшность; вслѣдствiе этого авторъ опубликовалъ позже исправленный текстъ, съ котораго и сдѣланъ переводъ; исправленный текстъ, однако, изложенъ очень сжато, и мы считаемъ нужнымъ его пояснить.

   Авторъ хочетъ прежде всего показать, что $N'$ есть комплексъ $Z_{1}$, для этого ему нужно обнаружить, что, во первыхъ, въ составъ комплекса $N'$ входитъ число $1+1$, во вторыхъ, если въ составъ комплекса $N'$ входитъ число $n$, то въ его составъ входитъ число $n+1$.

   Въ составъ комплекса $N$ число $1$ входитъ; поэтому въ составъ его входитъ также и число $1+1$ (п. 4); такъ какъ изъ комплекса $N$ удалено только число $1,$ то число $1+1$ въ комплексѣ $N'$ осталось; первое требованiе, слѣдовательно, выполнено.

   Обращаемся теперь ко второму требованiю; комплексъ $N$ этому требованiю удовлетворяетъ. Если бы въ составъ комплекса $N$ входило число $x$, удовлетворяющее условію $x+1=1$, то, устраняя изъ него число $1$ и сохраняя число $x$, мы бы, конечно, нарушили это условiе. Но дѣло въ томъ, что такое число $x$ не только не входитъ въ составъ комплекса $N$, но не введено вовсе опредѣленiемъ п. 1, ибо его представителемъ долженъ былъ бы служить комплексъ, не имѣющiй вовсе элементовъ, а это противорѣчитъ понятiю о комплексѣ.

   Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что комплексъ $N'$ удовлетворяетъ обоимъ требованiямъ, т. е. представляетъ собой комплексъ $Z_{1}$. Такъ какъ комплексъ $N_{1}$ входитъ въ составь всякаго комплекса $Z_{1}$ (п. 6), то $N_{1}$ входитъ въ составъ комплекса $N'$.

   Съ другой стороны, можно показать, что $N'$ входитъ въ составъ каждаго комплекса $Z_{1}$; допустимъ, дѣйствительно, что $Z_{1}$ есть комплексъ $Z_{1}$, въ составъ котораго $N'$ не входитъ; но въ такомъ случаѣ комплексъ $N'+1=N$ не входилъ бы въ составъ комплекса $Z_{1}+1=Z$ (см. предыд. примѣчанiе), а это противорѣчитъ опредѣленiю натуральнаго ряда $N$. Итакъ, комплексъ $N'$ входитъ въ составъ всякаго комплекса $Z_{1}$, а потому входитъ въ составъ $N_{1}$, согласно опредѣленiю этого комплекса. Такъ какь $N_{1}$ входитъ также въ составъ $N'$, то $N_{1}=N'$, а потому комплексъ $N_{1}$ не содержитъ числа $1$.

   Понявъ всѣ детали доказательства настоящаго пункта, уже нетрудно уяснить себѣ доказательства п. п 8 и 9.