[4]
§ 2. Сопряжение, мощность.
Tpeтий вид деятельности нашего духа заключается в сопряжении одних объектов с другими. Каждое суждение, каждое предложение, которое не сводится к простому наименованию какого-либо объекта, представляет собой такого рода сопряжение. И здесь мы совершенно свободны в выборе тех объектов, которые мы сопрягаем друг с другом; этот акт нашего духа именно и ставит их в определённые отношения друг к другу. Но все успехи нашего познания именно и сводятся к удачному и целесообразному производству такого рода сопряжений.
Мы будем обыкновенно обозначать комплексы прописными буквами латинского алфавита. Положим, что мы имеем два комплекса
и
. Мы можем попытаться отнести каждый элемент комплекса
к некоторому элементу комплекса
(т. е. считать каждый элемент комплекса
соответствующим некоторому элементу комплекса
) притом так, чтобы два различных элемента комплекса
всегда отвечали различным же элементам комплекса
. Если нам удастся выполнить такого рода сопряжение, то мы будем говорить, что мы отобразили комплекс
в комплексе
или что мы установили соответствие между комплексом
и комплексом
[1]. Элементы комплекса
мы [5]будем называть оригиналами, а элементы комплекса
, к которым они отнесены, их изображениями.
Легко видеть, какую пользу может приносить такого рода сопряжение: если комплекс
нам хорошо известен, то такое соответствие даёт нам возможность ориентироваться в другом комплексе
, который до того представлялся нам беспорядочным агрегатом элементов; каждый элемент комплекса
как бы получает особое название.
2. Такого рода соответствие будет взаимным, если нам пришлось, устанавливая его, воспользоваться каждым элементом комплекса
, т. е. если к каждому элементу комплекса
отнесён таким образом некоторый элемент комплекса
. Такого рода соответствие мы будем называть однозначным[2].
Если два комплекса могут быть сопряжены такого рода однозначным соответствием, то говорят, что они имеют одинаковую мощность[3].
Предыдущие соображения не исключают возможности, что комплекс
совпадает с комплексом
; иными словами, можно устанавливать соответствие комплекса с самим собой. При этом каждый элемент может соответствовать либо себе же самому, либо другому элементу. Если каждый элемент соответствует самому себе, то такое сопряжение, очевидно, однозначно, и потому каждый комплекс имеет с самим собой одинаковую мощность[4].
Нужно заметить, что при соответствии, связывающем комплекс с самим собой, каждый элемент сопряжён с некоторым элементом в качестве его оригинала и с некоторым элементом в качестве его изображения; эти два элемента могут быть различны[5].
Примерами комплексов одинаковой мощности могут служить пальцы одной руки и пальцы другой руки или точки одного отрезка
[6]и точки другого отрезка
. Чтобы убедиться в последнем, представим себе, что отрезки приложены друг к другу под углом так, что концы
и
совпадают. Если мы теперь будем считать соответствующей каждой точке
отрезка
ту точку
отрезка
, которая расположена на прямой
, параллельной
, то этим будет установлено однозначное соответствие между точками одного и другого отрезка.
3. Если комплексы
и
, а также комплексы
и
имеют одинаковую мощность, то комплексы
и
также имеют одинаковую мощность. В самом деле, если произвольный элемент
комплекса
связывается с определённым элементом
комплекса
, а последний с элементом
комплекса
, то мы можем отнести элемент
элементу
, при этом каждый элемент комплекса
будет соответствовать некоторому элементу комплекса
; и таким же образом, исходя от любого элемента комплекса
, мы покажем, что ему соответствует некоторый элемент комплекса
.
4. Каков бы ни был комплекс
, всегда существуют ещё объекты
, которые не содержатся в комплексе
. Такой объект
мы можем создать, например, следующим образом. Если несколько объектов
… соединены в один комплекс
, то этот комплекс сам по себе, рассматриваемый как некоторый объект, отличен от элементов
…, и потому не содержится в комплексе
.
Это соображение остаётся в силе даже в том случае, когда комплекс
состоит только из одного элемента, потому что мысль «объект
сам по себе образует систему» — представляет собой нечто отличное от объекта
[6].
5. Если мы прибавим к комплексу
элемент
, в нём не содержащийся, то мы составим новый комплекс
, который целесообразно обозначить так:
|
(1)
|
при этом знак
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406)
(плюс) обозначает операцию
прибавления, а знак
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743)
выражает, что оба символа, которые он соединяет, обозначают один и тот же объект.
Точно так же, если комплекс
содержит более одного элемента, то мы можем составить новый комплекс таким образом, что исключим из него некоторый элемент
, а совокупность остальных [7]элементов будем рассматривать, как комплекс
. Для выражения этого мы будем пользоваться обозначением:
,
|
(2)
|
причём знак
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36)
(минус) обозначает операцию
отнимания.
Под частью комплекса
мы будем разуметь такой комплекс
, все элементы которого содержатся в комплексе
.
С этой точки зрения каждый комплекс представляет часть самого себя. Комплекс
называется правильной частью комплекса
, если
не совпадает с
, т. е. если комплекс
содержит не
только все элементы комплекса
, но ещё и другие элементы. Если
есть правильная часть комплекса
, то мы будем разуметь под символом
комплекс, который остаётся, если мы удалим из комплекса
все элементы комплекса
. Точно так же, если
и
суть два комплекса, то мы будем разуметь под символом
комплекс, содержащий все элементы, входящие в состав комплексов
и
.
Если комплексы
и
имеют общие элементы, то совокупность таковых образует новый комплекс, который мы будем называть, руководясь геометрической аналогией, пересечением комплексов
и
. Если два комплекса не имеют общих элементов, то они не имеют пересечения, — не пересекаются.
Если все элементы комплекса
содержатся также в
, то сам комплекс
представляет собою пересечение комплексов
и
. В этом случае
. Если же пересечение
представляет собой правильную часть комплекса
, то комплекс
уже не имеет общих элементов с комплексом
; в этом случае
.
|
(3)
|
В выражении
скобки означают, что этот комплекс должен быть присоединён как одно целое к комплексу
. Таким образом выражение
означает нечто совершенно другое, чем выражение
. Первый символ выражает совокупность всех тех элементов, которые содержатся либо в комплексе
, либо в комплексе
, либо в обоих комплексах. Второй же символ выражает совокупность всех тех элементов, которые содержатся либо в
либо в
, но не содержатся в обоих комплексах вместе. Напротив, каковы бы ни были комплексы
,
и
, всегда имеют место соотношения:
|
(4)
|
|
|
[8]Точно так же, если комплексы
и
не имеют общих элементов и комплекс
составляет часть комплекса
, то
;
|
|
если же
![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
eсть часть комплекса
![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
, а
![{\displaystyle C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029)
часть комплекса
![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
, то
.
|
|
6. Если
и
суть комплексы одинаковой мощности и
представляет собой элемент, не входящий в состав комплекса
, а
есть элемент, не входящий в состав
, то комплексы
и
имеют одинаковую мощность.
Действительно, если установлено однозначное соответствие между комплексами
и
, то достаточно отнести элемент
к элементу
, чтобы установить однозначное cooтветствие между комплексами
и
.
Если все элементы комплекса
входят также в состав комплекса
, то мы будем говорить, что комплекс
содержится в комплексе
; при этом
либо совпадает с
, либо составляет правильную часть его.
Вместе с тем имеет место следующее предложение:
7. Если комплексы
и
имеют одинаковую мощность и
представляет собой элемент комплекса
, а
элемент комплекса
, то
и
суть комплексы одинаковой мощности.
В самом деле, если комплексы
и
имеют одинаковую мощность, то между ними может быть установлено однозначное соответствие. Если при этом соответствии элемент
связан с элементом
, то достаточно опустить эту пару элементов и сохранить те же соотношения между остальными элементами, чтобы комплекс
был однозначно сопряжён с комплексом
. Если же
связан с элементом
комплекса
, отличным от элемента
, и следовательно, элемент
, в свою очередь, связан с некоторым элементом
комплекса
, отличным от
, то достаточно опустить элементы
и
и связать друг с другом элементы
и
; этим будет вновь установлено однозначное соответствие между комплексами
и
, и они имеют, следовательно, одинаковую мощность, как это требовалось доказать.