Энциклопедия элементарной математики. Том 1 (Вебер,Каган)/Книга 1/Глава 1/§ 2

Энциклопедия элементарной математики. Том I. Элементарная алгебра и анализ. — Книга I. Основания арифметики. Глава I. Натуральные числа. § 2. Сопряжение, мощность.
автор Генрих Вебер (1842—1913), пер. Вениамин Каган (1869—1953)

Оригинал: нем. Lehrbuch der Algebra. — См. Оглавление. Перевод опубл.: 1906. Источник: Сканы, размещённые на Викискладе

§ 2. Сопряжение, мощность.

Tpeтий вид деятельности нашего духа заключается в сопряжении одних объектов с другими. Каждое суждение, каждое предложение, которое не сводится к простому наименованию какого-либо объекта, представляет собой такого рода сопряжение. И здесь мы совершенно свободны в выборе тех объектов, которые мы сопрягаем друг с другом; этот акт нашего духа именно и ставит их в определённые отношения друг к другу. Но все успехи нашего познания именно и сводятся к удачному и целесообразному производству такого рода сопряжений.

Мы будем обыкновенно обозначать комплексы прописными буквами латинского алфавита. Положим, что мы имеем два комплекса $A$ и $B$. Мы можем попытаться отнести каждый элемент комплекса $A$ к некоторому элементу комплекса $B$ (т. е. считать каждый элемент комплекса $A$ соответствующим некоторому элементу комплекса $B$) притом так, чтобы два различных элемента комплекса $A$ всегда отвечали различным же элементам комплекса $B$. Если нам удастся выполнить такого рода сопряжение, то мы будем говорить, что мы отобразили комплекс $A$ в комплексе $B$ или что мы установили соответствие между комплексом $A$ и комплексом $B$^[1]. Элементы комплекса $A$ мы будем называть оригиналами, а элементы комплекса $B$, к которым они отнесены, их изображениями.

Легко видеть, какую пользу может приносить такого рода сопряжение: если комплекс $B$ нам хорошо известен, то такое соответствие даёт нам возможность ориентироваться в другом комплексе $A$, который до того представлялся нам беспорядочным агрегатом элементов; каждый элемент комплекса $A$ как бы получает особое название.

2. Такого рода соответствие будет взаимным, если нам пришлось, устанавливая его, воспользоваться каждым элементом комплекса $B$, т. е. если к каждому элементу комплекса $B$ отнесён таким образом некоторый элемент комплекса $A$. Такого рода соответствие мы будем называть однозначным^[2].

Если два комплекса могут быть сопряжены такого рода однозначным соответствием, то говорят, что они имеют одинаковую мощность^[3].

Предыдущие соображения не исключают возможности, что комплекс $A$ совпадает с комплексом $B$; иными словами, можно устанавливать соответствие комплекса с самим собой. При этом каждый элемент может соответствовать либо себе же самому, либо другому элементу. Если каждый элемент соответствует самому себе, то такое сопряжение, очевидно, однозначно, и потому каждый комплекс имеет с самим собой одинаковую мощность^[4].

Нужно заметить, что при соответствии, связывающем комплекс с самим собой, каждый элемент сопряжён с некоторым элементом в качестве его оригинала и с некоторым элементом в качестве его изображения; эти два элемента могут быть различны^[5].

Примерами комплексов одинаковой мощности могут служить пальцы одной руки и пальцы другой руки или точки одного отрезка $AB$ и точки другого отрезка $CD$. Чтобы убедиться в последнем, представим себе, что отрезки приложены друг к другу под углом так, что концы $A$ и $C$ совпадают. Если мы теперь будем считать соответствующей каждой точке $M$ отрезка $AB$ ту точку $N$ отрезка $CD$, которая расположена на прямой $MN$, параллельной $BD$, то этим будет установлено однозначное соответствие между точками одного и другого отрезка.

3. Если комплексы $A$ и $B$, а также комплексы $B$ и $C$ имеют одинаковую мощность, то комплексы $A$ и $C$ также имеют одинаковую мощность. В самом деле, если произвольный элемент $a$ комплекса $A$ связывается с определённым элементом $b$ комплекса $B$, а последний с элементом $c$ комплекса $C$, то мы можем отнести элемент $a$ элементу $c$, при этом каждый элемент комплекса $A$ будет соответствовать некоторому элементу комплекса $C$; и таким же образом, исходя от любого элемента комплекса $C$, мы покажем, что ему соответствует некоторый элемент комплекса $A$.

4. Каков бы ни был комплекс $A$, всегда существуют ещё объекты $\beta$, которые не содержатся в комплексе $A$. Такой объект $\beta$ мы можем создать, например, следующим образом. Если несколько объектов $\alpha ,\alpha ',\alpha ''$… соединены в один комплекс $A$, то этот комплекс сам по себе, рассматриваемый как некоторый объект, отличен от элементов $\alpha ,\alpha ',\alpha ''$…, и потому не содержится в комплексе $A$.

Это соображение остаётся в силе даже в том случае, когда комплекс $A$ состоит только из одного элемента, потому что мысль «объект $\alpha$ сам по себе образует систему» — представляет собой нечто отличное от объекта $\alpha$^[6].

5. Если мы прибавим к комплексу $A$ элемент $\beta$, в нём не содержащийся, то мы составим новый комплекс $B$, который целесообразно обозначить так:

$B=A+\beta$

(1)

при этом знак $+$ (плюс) обозначает операцию прибавления, а знак $=$ выражает, что оба символа, которые он соединяет, обозначают один и тот же объект.

Точно так же, если комплекс $A$ содержит более одного элемента, то мы можем составить новый комплекс таким образом, что исключим из него некоторый элемент $\alpha$, а совокупность остальных элементов будем рассматривать, как комплекс $B$. Для выражения этого мы будем пользоваться обозначением:

$B=A-\alpha$,

(2)

причём знак $-$ (минус) обозначает операцию отнимания.

Под частью комплекса $A$ мы будем разуметь такой комплекс $A'$, все элементы которого содержатся в комплексе $A$.

С этой точки зрения каждый комплекс представляет часть самого себя. Комплекс $A'$ называется правильной частью комплекса $A$, если $A'$ не совпадает с $A$, т. е. если комплекс $A$ содержит не только все элементы комплекса $A'$, но ещё и другие элементы. Если $A'$ есть правильная часть комплекса $A$, то мы будем разуметь под символом $A-A'$ комплекс, который остаётся, если мы удалим из комплекса $A$ все элементы комплекса $A'$. Точно так же, если $A$ и $B$ суть два комплекса, то мы будем разуметь под символом $A+B$ комплекс, содержащий все элементы, входящие в состав комплексов $A$ и $B$.

Если комплексы $A$ и $B$ имеют общие элементы, то совокупность таковых образует новый комплекс, который мы будем называть, руководясь геометрической аналогией, пересечением комплексов $A$ и $B$. Если два комплекса не имеют общих элементов, то они не имеют пересечения, — не пересекаются.

Если все элементы комплекса $B$ содержатся также в $A$, то сам комплекс $B$ представляет собою пересечение комплексов $A$ и $B$. В этом случае $A+B=A$. Если же пересечение $D$ представляет собой правильную часть комплекса $B$, то комплекс $B-D$ уже не имеет общих элементов с комплексом $A$; в этом случае

$A+B=A+(B-D)$.

(3)

В выражении $(B-D)$ скобки означают, что этот комплекс должен быть присоединён как одно целое к комплексу $A$. Таким образом выражение $A+(B-D)$ означает нечто совершенно другое, чем выражение $(A+B)-D$. Первый символ выражает совокупность всех тех элементов, которые содержатся либо в комплексе $A$, либо в комплексе $B$, либо в обоих комплексах. Второй же символ выражает совокупность всех тех элементов, которые содержатся либо в $A$ либо в $B$, но не содержатся в обоих комплексах вместе. Напротив, каковы бы ни были комплексы $A$, $B$ и $C$, всегда имеют место соотношения:

$(A+B)+C=A+(B+C)$

(4)

$A+B=B+A$

Точно так же, если комплексы $A$ и $B$ не имеют общих элементов и комплекс $C$ составляет часть комплекса $B$, то

$(A+B)-C=A+(B-C)$;

если же $B$ eсть часть комплекса $A$, а $C$ часть комплекса $B$, то

$A-(B-C)=(A-B)+C$.

6. Если $A$ и $B$ суть комплексы одинаковой мощности и $\alpha$ представляет собой элемент, не входящий в состав комплекса $A$, а $\beta$ есть элемент, не входящий в состав $B$, то комплексы $A+\alpha$ и $B+\beta$ имеют одинаковую мощность.

Действительно, если установлено однозначное соответствие между комплексами $A$ и $B$, то достаточно отнести элемент $\alpha$ к элементу $\beta$, чтобы установить однозначное cooтветствие между комплексами $A+\alpha$ и $B+\beta$.

Если все элементы комплекса $B$ входят также в состав комплекса $A$, то мы будем говорить, что комплекс $B$ содержится в комплексе $A$; при этом $B$ либо совпадает с $A$, либо составляет правильную часть его.

Вместе с тем имеет место следующее предложение:

7. Если комплексы $A$ и $B$ имеют одинаковую мощность и $\alpha$ представляет собой элемент комплекса $A$, а $\beta$ элемент комплекса $B$, то $A-\alpha$ и $B-\beta$ суть комплексы одинаковой мощности.

В самом деле, если комплексы $A$ и $B$ имеют одинаковую мощность, то между ними может быть установлено однозначное соответствие. Если при этом соответствии элемент $\alpha$ связан с элементом $\beta$, то достаточно опустить эту пару элементов и сохранить те же соотношения между остальными элементами, чтобы комплекс $A-\alpha$ был однозначно сопряжён с комплексом $B-\beta$. Если же $\alpha$ связан с элементом $\beta '$ комплекса $B$, отличным от элемента $\beta$, и следовательно, элемент $\beta$, в свою очередь, связан с некоторым элементом $\alpha '$ комплекса $A$, отличным от $\alpha$, то достаточно опустить элементы $\alpha$ и $\beta$ и связать друг с другом элементы $\alpha '$ и $\beta '$; этим будет вновь установлено однозначное соответствие между комплексами $A-\alpha$ и $B-\beta$, и они имеют, следовательно, одинаковую мощность, как это требовалось доказать.

Примечания

1. Это основное понятие необходимо выяснить подробнее. Положим, что комплекс $A$ состоит из элементов $a,b,c,d$, — комплекс же $B$ из элементов $x,y,z,u,v$. Будем считать элемент $a$ соответствующим, скажем, элементу $x$, элемент $b$ соответствующим элементу $u$, элементы $c$ и $d$ соответствующими элементам $z$ и $y$. Этим будет установлено соответствие между комплексом $A$ и комплексом $B$. Это соответствие ни в чём ином не заключается, как в том, что мы считаем каждый элемент комплекса $A$ соответствующим (в силу нашего соглашения) некоторому элементу комплекса $B$. Ясно, что такое соответствие можно установить многими другими способами.
2. Соответствие, установленное в предыдущем примечании, не однозначно, потому что элемент $v$ комплекса $B$ остался свободным: ему не соответствует ни один элемент комплекса $A$. Если бы в комплексе $B$ элемента $v$ не было, то соответствие было бы однозначным.
3. Если бы, следовательно, в предыдущем примере не было элемента $v$, то комплексы имели бы одинаковую мощность.
4. Пусть в комплексе $A(a,b,c,d)$ элемент $a$ соответствует элементу $b$, элемент $b$ — элементу $d$, элемент $c$ элементу $a$ и элемент $d$ элементу $c$. Это соглашение сопрягает однозначным соответствием комплекс $A$ с самим собой. Ясно, что такого рода соответствия могут быть установлены 24 способами, причём одно из них относит каждый элемент самому себе.
5. Так например, в соответствии, установленном в предыдущем примечании, элементу $a$ отвечает элемент $b$ в качестве его изображения и элемент $c$ в качестве оригинала.
6. Таким образом «комплекс, содержащий все существующие объекты», которым Дедекинд (Dedekind) пользуется для доказательства существования бесконечных комплексов, не подходит под понятие «комплекса» в том смысле, как мы его понимаем.