Если сторона AC равна или менmiе какой-нибудь изъ двухъ другихъ сторонъ, то тогда, очевидно, АС<АВ+ВС. Значитъ, намъ надо разсмотрѣть только тотъ случай, когда AC естъ наибольшая изъ трехъ сторонъ.
Продолживъ сторону AB, отложимъ BD=BC и проведемъ DC. Такъ какъ △BDC равнобедренный, то ∟D = ∟DСВ; поэтому уголъ D меньше угла DCA, и слѣд., въ △ADC сторона AC меньше AD (49), т.-е. АС<АВ+ВD. Замѣнивъ BD на BC, получимъ:
АС<АВ+ВС.
Слѣдствіе. Если AC есть наибольшая изъ сторонъ, то мы можемъ отъ обѣихъ частей выведеннаго неравенства отнять по AB или по BC; тогда получимъ:
АС—АВ<BС и АС—ВС<АВ.
Читая эти неравенства справа налѣво, видимъ, что каждая изъ сторонъ BC и AB больше разности двухъ другихъ сторонъ; такъ какъ это же можно, очевидно, сказать и о третьей, наибольшей сторонѣ AC, то заключаемъ:
въ треугольникѣ каждая сторона больше разности двухъ другихъ сторонъ.
53. Теорема. Отрѣзокъ прямой, соединяющій двѣ какія-нибудь точки, короче всякой ломаной, проведенной между этими точками.
Пусть (черт. 49) AE есть отрѣзокъ прямой, соединяющій точки A и Е, а ABCDE какая-нибудь ломаная, проведенная между тѣми же точками. Требуется доказать, что AE короче суммы AB+BC+CD+DE.
Соединивь A съ C и D, находимъ, согласно предыдущей теоремѣ:
АЕ<АD+DЕ;
AD<AC+CD;
АС<АВ+ВС.
Черт. 49.
