Энциклопедия элементарной математики. Том 1 (Вебер,Каган)/Книга 1/Глава 1/§ 6

Энциклопедия элементарной математики. Том I. Элементарная алгебра и анализ. — Книга I. Основания арифметики. Глава I. Натуральные числа. § 6. Кардинальные числа. Системы счисления.
автор Генрих Вебер (1842—1913), пер. Вениамин Каган (1869—1953)

Оригинал: нем. Lehrbuch der Algebra. — См. Оглавление. Перевод опубл.: 1906. Источник: Индекс в Викитеке

§ 6. Кардинальные числа. Системы счисления.

Если мы выключим из натурального ряда $N$ комплекс $N_{a}$, то останутся, кроме числа $a$, только те числа, которые меньше $a$, ибо каждое число, большее, нежели $a$, принадлежит комплексу $N_{a}$.

Этот комплекс мы будем обозначать через $E_{a}$, так что

$E_{a}=N-N_{a}$.

Комплекс $E_{a}$ состоит, следовательно, из всех чисел $n$, удовлетворяющих условию

$n\leqslant a$,

или — в словах — из всех чисел, которые равны или меньше числа $a$.

1. Комплекс $E_{a+1}$ получается из комплекса $E_{a}$ путём присоединения к последнему числа $a+1$.

В самом деле, из комплекса $N_{a}$ мы получаем комплекс $N_{a+1}$, выключая из него число $a+1$; поэтому, чтобы из комплекса $N-N_{a}$ получить комплекс $N-N_{a+1}$, к нему нужно только присоединить число $a+1$.

2. Число $E_{a}$ имеет мощность $a$.

Доказательство ведётся индуктивным путем. Предложение справедливо, если $a=1$, потому что комплекс $E_{1}$ содержит только одно число $1$. Если же предложение справедливо для комплекса $E_{a}$, то, в силу предыдущего предложения, оно справедливо также для комплекса $E_{a+1}$.

Итак, $E_{a}$ есть конечный комплекс, и если $b>a$, то комплекс $E_{a}$ представляет собой правильную часть комплекса $E_{b}$, ибо комплекс $N_{b}$ есть правильная часть комплекса $N_{a}$.

Если поэтому комплексы $A$ и $B$ суть представители натуральных чисел $a$ и $b$, то комплекс $A$, которому соответствует меньшее число, может быть приведён в однозначное соответствие с правильною частью комплекса $B$; и обратно, если один из двух конечных комплексов может быть приведён в однозначное соответствие с правильною частью другого, то ему отвечает меньшее число.

Комплекс $E_{a}$ представляет собой кардинальное (количественное) число. Он является наиболее удобным представителем категории, содержащей все комплексы мощности $a$; им и пользуются, большей частью, для этой цели. Каждый конечный комплекс $A$ может быть однозначно сопряжён с одним из комплексов $E_{a}$. Само производство этого сопряжения называется счётом^[1]. Вместе с тем мы приходим к заключению, что результат счёта элементов комплекса не зависит от порядка, в котором мы производим отсчёт^[2]. Для производства счёта элементы комплекса $N$ получают определённые названия и обозначаются особыми знаками, между которыми основными являются

$1,2,3,4,5,6,7,8,9$.

Так как при счёте комплексов, содержащих много элементов, запас названий и знаков для чисел скоро бы истощился, то пришлось прибегнуть к особому способу производства счёта; способ этот заключается в том, что известные группы чисел соединяются в новые группы, и производится счёт не отдельных единиц, а этих групп.

Это сказывается уже в языке в образовании слов: десять, двадцать, тридцать, сто, двести, триста и т. п. Но ещё совершеннее наша десятичная система счисления. В этой системе, когда мы пишем какую-нибудь цифру $a$, необходимо чем-нибудь обозначить, какие единицы она выражает. Когда искусство счёта находилось ещё в первобытном состоянии, то это достигалось тем, что цифры, смотря по значению выражаемых ими единиц, помещались в особые рубрики счётной таблицы или счётной доски (Abacus). По сравнению с этим было огромным шагом вперёд, когда пришли к мысли обозначать особым знаком, нулём, «$0$», если какая-либо рубрика остается незанятой, т. е. не содержит вовсе ни одной единицы. Благодаря этой идее, весь аппарат оказался вовсе излишним, так как место, занимаемое цифрой, оказалось достаточным для обозначения единиц, которые она выражает. Такова простая мысль, служащая основанием совершенной системы счисления, которой мы теперь пользуемся.

Это удивительно простое творение человеческого духа, влияние которого на всё развитие западной культуры, как правильно замечает Кронекер (Kronecker), даже не может быть достаточно оценено, возникло, по-видимому, в Индии и с XII столетия, начинает, благодаря арабам, медленно распространяться на Западе.

Интересная попытка научно произвести соединение числовых групп в высшие единицы имеется в литературе древней Греции у Архимеда (287—212 до Р. X.) в не дошедшем до нас письме к Дзейксипу (Ζευξίππος,) а также в другом сохранившемся его сочинении «ψαμμίτης» («счёт песка»). Последнее сочинение замечательно ещё в том отношении, что в нём имеются сведения о космогонических воззрениях древних.

В этом сочинении автор ставит себе задачей называть весьма большие числа; он облекает эту задачу в своеобразную форму: он хочет назвать число, превышающее число зёрен песка, которое может содержать шар, обнимающий всю вселенную. С чрезвычайно утомительной тщательностью он вычисляет массу, которую он должен при этом принять, чтобы быть уверенным, что он не оценивает её слишком малым числом^[3].

Чтобы называть такие громадные числа, он рассматривает числа до ста миллионов (мириад мириадов), как первые числа. Число сто миллионов, которое в нашей системе счисления изображается 1 с восемью нулями, образует единицу вторых чисел, которые он также считает до ста миллионов. Из ста миллионов этих единиц он образует единицу третьих чисел, которая изображается у нас 1 с 16 нулями. Чтобы сосчитать зёрна песка, нужно дойти только до восьмых чисел, единица которых изображается у нас через 1 с 64 нулями. Но Архимед в своих теоретических рассуждениях доходит до чисел стомиллионного порядка, последнее из которых (изображаемое у нас единицей с 800 000 000 нулей образует единицу второго периода, с которой можно далее поступать так же, как с простой единицей.

В теоретических рассуждениях мы будем часто обозначать числа буквами, как мы это неоднократно уже делали выше, чтобы выражать короче и понятнее, нежели в словах, что соответствующие утверждения относятся не к тем или другим определённым числам, а ко всякому числу вообще. Но эти буквы не означают, как в греческом языке, определённых чисел; напротив того они могут быть заменяемы совершенно произвольными числами. Поэтому операции над такого рода знаками или символами называются буквенными вычислениями.

Предложение, высказывающее, что некоторый символ $a$ имеет то же значение, что и символ $b$, называется равенством; при помощи математических символов оно выражается так:

$a=b$.

Примечания

1. Если нам нужно сосчитать элементы комплекса $A(a,b,c,d)$, то мы относим элeмeнтy $a$ число $1$, элементу $b$ число $2$, элементу $c$ число $3$ и элементу $d$ число $4$. Операция закончена и заключается в том, что комплекс $A$ однозначно сопряжён с комплексом $E_{4}$.
2. Потому что каждый комплекс, как было показано выше, может быть связан однозначным соответствием только с одним из комплексов $E_{a}$.
3. Любопытен способ, которым Архимед пользуется для определения размеров вселенной.

   Обыкновенная точка зрения, говорит он, заключается в том, что земля составляет центр вселенной и что радиус круга, по которому солнце катится вокруг земли, представляет собой в то же время радиус вселенной. Между тем Аристарх Самосский (около 270 г. до Р. X.) допускает, что солнце представляет собой центр, вокруг которого вращается весь мир; радиус же вселенной, т. е. радиус сферы неподвижных звёзд, относится к радиусу земной орбиты, как поверхность шара к своему центру.

   Аристарх, очевидно, хотел этим сказать, что вселенная бесконечна и неизмерима; но Архимед пользуется этим для определённого измерения. Так как не может быть речи об отношении поверхности шара к её центру, т. е. к точке, не имеющей размеров, то он толкует слова Аристарха в том смысле, что сфера неподвижных звёзд относится к сфере земного пути так, как по обычному воззрению вселенная, т. е. сфера солнечной орбиты (вокруг земли), относится к своему центру, т. е. к поверхности земли. Расстояние земли от солнца он принимает при этом слишком малым, относительно же размеров земли его соображения гораздо более близки к истине.