Энциклопедия элементарной математики. Том 1 (Вебер,Каган)/Книга 1/Глава 1/§ 6/ДО

Энциклопедія элементарной математики. Томъ I. Элементарная алгебра и анализъ. — Книга I. Основанiя ариѳметики. Глава I. Натуральныя числа. § 6. Кардинальныя числа. Системы счисленiя.
авторъ Генрихъ Веберъ (1842—1913), пер. Веніаминъ Каганъ (1869—1953)

Оригинал: нем. Lehrbuch der Algebra. — См. Оглавленіе. Перевод опубл.: 1906. Источникъ: Индекс в Викитеке

§ 6. Кардинальныя числа. Системы счисленiя.

Если мы выключимъ изъ натуральнаго ряда $N$ комплексъ $N_{a}$, то останутся, кромѣ числа $a$, только тѣ числа, которыя меньше $a$, ибо каждое число, большее, нежели $a$, принадлежитъ комплексу $N_{a}$.

Этотъ комплексъ мы будемъ обозначать черезъ $E_{a}$, такъ что

$E_{a}=N-N_{a}$.

Комплексъ $E_{a}$ состоитъ, слѣдовательно, изъ всѣхъ чиселъ $n$, удовлетворяющiхъ условiю

$n\leqslant a$,

или — въ словахъ — изъ всѣхъ чиселъ, которыя равны или меньше числа $a$.

1. Комплексъ $E_{a+1}$ получается изъ комплекса $E_{a}$ путемъ присоединенiя къ послѣднему числа $a+1$.

Въ самомъ дѣлѣ, изъ комплекса $N_{a}$ мы получаемъ комплексъ $N_{a+1}$, выключая изъ него число $a+1$; поэтому, чтобы изъ комплекса $N-N_{a}$ получить комплексъ $N-N_{a+1}$, къ нему нужно только присоединить число $a+1$.

2. Число $E_{a}$ имѣетъ мощность $a$.

Доказательство ведется индуктивнымъ путемъ. Предложенiе справедливо, если $a=1$, потому что комплексъ $E_{1}$ содержитъ только одно число $1$. Если же предложенiе справедливо для комплекса $E_{a}$, то, въ силу предыдущаго предложенiя, оно справедливо также для комплекса $E_{a+1}$.

Итакъ, $E_{a}$ есть конечный комплексъ, и если $b>a$, то комплексъ $E_{a}$ представляетъ собой правильную часть комплекса $E_{b}$, ибо комплексъ $N_{b}$ есть правильная часть комплекса $N_{a}$.

Если поэтому комплексы $A$ и $B$ суть представители натуральныхъ чиселъ $a$ и $b$, то комплексъ $A$, которому соотвѣтствуетъ меньшее число, можетъ быть приведенъ въ однозначное соотвѣтствiе съ правильною частью комплекса $B$; и обратно, если одинъ изъ двухъ конечныхъ комплексовъ можетъ быть приведенъ въ однозначное соотвѣтствiе съ правильною частью другого, то ему отвѣчаетъ меньшее число.

Комплексъ $E_{a}$ представляетъ собой кардинальное (количественное) число. Онъ является наиболѣе удобнымъ представителемъ категорiи, содержащей всѣ комплексы мощности $a$; имъ и пользуются, большей частью, для этой цѣли. Каждый конечный комплексъ $A$ можетъ быть однозначно сопряженъ съ однимъ изъ комплексовъ $E_{a}$. Самое производство этого сопряженiя называется счетомъ^[1]. Вмѣстѣ съ тѣмъ мы приходимъ къ заключенiю, что результатъ счета элементовъ комплекса не зависитъ отъ порядка, въ которомъ мы производимъ отсчет ^[2]. Для производства счета элементы комплекса $N$ получаютъ опредѣленныя названiя и обозначаются особыми знаками, между которыми основными являются

$1,2,3,4,5,6,7,8,9$.

Такъ какъ при счетѣ комплексовъ, содержащихъ много элементовъ, запасъ названiй и знаковъ для чиселъ скоро бы истощился, то пришлось прибѣгнуть къ особому способу производства счета; способъ этотъ заключается въ томъ, что извѣстныя группы чиселъ соединяются въ новыя группы, и производится счетъ не отдѣльныхъ единицъ, а этихъ группъ.

Это сказывается уже въ языкѣ въ образованiи словъ: десять, двадцать, тридцать, сто, двѣсти, триста и т. п. Но еще совершеннѣе наша десятичная система счисленiя. Въ этой системѣ, когда мы пишемъ какую нибудь цифру $a$, необходимо чѣмъ-нибудь обозначить, какiя единицы она выражаетъ. Когда искусство счета находилось еще въ первобытномъ состоянiи, то это достигалось тѣмъ, что цифры, смотря по значенiю выражаемыхъ ими единицъ, помещались въ особыя рубрики счетной таблицы или счетной доски (Abacus). По сравненiю съ этимъ было огромнымъ шагомъ впередъ, когда пришли къ мысли обозначать особымъ знакомъ, нулемъ, „$0$“, если какая-либо рубрика остается незанятой, т. е. не содержитъ вовсе ни одной единицы. Благодаря этой идеѣ, весь аппаратъ оказался вовсе излишнимъ, такъ какъ мѣсто, занимаемое цифрой, оказалось достаточнымъ для обозначенiя единицъ, которыя она выражаетъ. Такова простая мысль, служащая основанiемъ совершенной системы счисленiя, которой мы теперь пользуемся.

Это удивительно простое творенiе человѣческаго духа, влiянiе котораго на все развитiе западной культуры, какъ правильно замѣчаетъ Кронекеръ (Kronecker), даже не можетъ быть достаточно оцѣнено, возникло, повидимому, въ Индiи и съ XII столѣтiя, начинаетъ, благодаря арабамъ, медленно распространяться на Западѣ.

Интересная попытка научно произвести соединенiе числовыхъ группъ въ высшiя единицы имѣется въ литературѣ древней Грецiи у Архимеда (287—212 до Р. X.) въ недошедшемъ до насъ письмѣ къ Дзейксипу (Ζευξίππος,) а также въ другомъ сохранившемся его сочиненiи „ψαμμίτης“ („счетъ песка“). Послѣднее сочиненiе замѣчательно еще въ томъ отношенiи, что въ немъ имеются свѣденiя о космогоническихъ воззрѣнiяхъ древнихъ.

Въ этомъ сочиненiи авторъ ставитъ себѣ задачей называть весьма большiя числа; онъ облекаетъ эту задачу въ своеобразную форму: онъ хочетъ назвать число, превышающее число зернъ песка, которое можетъ содержать шаръ, обнимающiй всю вселенную. Съ чрезвычайно утомительной тщательностью онъ вычисляетъ массу, которую онъ долженъ при этомъ принять, чтобы быть увѣреннымъ, что онъ не оцѣниваетъ ее слишкомъ малымъ числомъ ^[3].

Чтобы называть такiя громадныя числа, онъ разсматриваетъ числа до ста миллiоновъ (мирiадъ мирiадовъ), какъ первыя числа. Число сто миллiоновъ, которое въ нашей системѣ счисленiя изображается 1 съ восемью нулями, образуетъ единицу вторыхъ чиселъ, которыя онъ также считаетъ до ста миллiоновъ. Изъ ста миллiоновъ этихъ единицъ онъ образуетъ единицу третьихъ чиселъ, которая изображается у насъ 1 съ 16 нулями. Чтобы сосчитать зерна песка, нужно дойти только до восьмыхъ чиселъ, единица которыхъ изображается у насъ черезъ 1 съ 64 нулями. Но Архимедъ въ своихъ теоретическихъ разсужденiяхъ доходитъ до чиселъ стомиллiоннаго порядка, послѣднее изъ которыхъ (изображаемое у насъ единицей съ 800 000 000 нулей образуетъ единицу второго перiода, съ которой можно далѣе поступать такъ же, какъ съ простой единицей.

Въ теоретическихъ разсужденiяхъ мы будемъ часто обозначать числа буквами, какъ мы это неоднократно уже дѣлали выше, чтобы выражать короче и понятнѣе, нежели въ словахъ, что соотвѣтствующiя утвержденiя относятся не къ тѣмъ или другимъ опредѣленнымъ числамъ, а ко всякому числу вообще. Но эти буквы не означаютъ, какъ въ греческомъ языкѣ, опредѣленныхъ чиселъ; напротивъ того онѣ могутъ быть замѣняемы совершенно произвольными числами. Поэтому операцiи надъ такого рода знаками или символами называются буквенными вычисленiями.

Предложенiе, высказывающее, что нѣкоторый символъ $a$ имѣетъ то же значенiе, что и символъ $b$, называется равенствомъ; при помощи математическихъ символовъ оно выражается такъ:

$a=b$.

Примѣчанія.

1. Если намъ нужно сосчитать элементы комплекса $A(a,b,c,d)$, то мы относимъ элeмeнтy $a$ число $1$, элементу $b$ число $2$, элементу $c$ число $3$ и элементу $d$ число $4$. Операцiя закончена и заключается въ томъ, что комплексъ $A$ однозначно сопряженъ съ комплексомъ $E_{4}$.
2. Потому что каждый комплексъ, какъ было показано выше, можетъ быть связанъ однозначнымъ соотвѣтствiемъ только съ однимъ изъ комплексовъ $E_{a}$.
3. Любопытенъ способъ, которымъ Архимедъ пользуется для опредѣленiя размѣровъ вселенной.

   Обыкновенная точка зрѣнiя, говоритъ онъ, заключается въ томъ, что земля составляетъ центръ вселенной и что радiусъ круга, по которому солнце катится вокругъ земли, представляетъ собой въ то же время радiусъ вселенной. Между тѣмъ Аристархъ Самосскiй (около 270 г. до Р. X.) допускаетъ, что солнце представляетъ собой центръ, вокругъ котораго вращается весь мiръ; радiусъ же вселенной, т. е. радiусъ сферы неподвижныхъ звѣздъ, относится къ радіусу земной орбиты, какъ поверхность шара къ своему центру.

   Аристархъ, очевидно, хотѣлъ этимъ сказать, что вселенная безконечна и неизмѣрима; но Архимедъ пользуется этимъ для опредѣленнаго измѣренiя. Такъ какъ не можетъ быть рѣчи объ отношенiи поверхности шара къ ея центру, т. е. къ точкѣ, не имѣющей размѣровъ, то онъ толкуетъ слова Аристарха въ томъ смыслѣ, что сфера неподвижныхъ звѣздъ относится къ сферѣ земного пути такъ, какъ по обычному воззрѣнiю вселенная, т. е. сфера солнечной орбиты (вокругъ земли), относится къ своему центру, т. е. къ поверхности земли. Разстоянiе земли отъ солнца онъ принимаетъ при этомъ слишкомъ малымъ, относительно же размѣровъ земли его соображенiя гораздо болѣе близки къ истинѣ.