[vii]
Предисловиe автора[1].
Сочинение, первый том которого мы в настоящее время выпускаем в свет, не должно представлять собой учебника в собственном смысле слова. Читателями, которых мы имеем в виду, являются, во-первых, учителя, которые, мы надеемся, найдут в нём полезные указания для выбора учебного материала, особенно для старших классов; во-вторых, лица, изучающие уже математику специально и серьёзно, которые желают приобрести для этого твёрдую почву путём освежения и дополнения приобретённых раньше элементарных знаний.
Нередко уже разбирался вопрос, что следует понимать под элементарной математикой и как установить границы этой области. Единственный научный принцип, который мог бы служить для решения этого вопроса, состоит в том, что из области элементарной математики исключают понятия о бесконечности и о пределе; элементарная математика противопоставляется поэтому анализу бесконечного. С этой точки зрения к элементарной математике надо отнести всё, что получается при посредстве известных простых логических приёмов; последние же дают при дальнейшем развитии всю теорию чисел, включая труднейшие её части, вообще всё, что, по мнению Кронекера (Kronecker), имеет в математике право на существование; при этом, однако, возникают затруднения в самом применении этих простых логических приёмов, для устранения чего и создан высший анализ. Уже такие понятия, как иррациональное число, квадратный корень, логарифм, не относились бы, если стать на эту точку зрения, к элементарной математике.
В геометрии к элементам относят то, что выводится из понятий о прямой и о круге и (в пространстве) из понятий о плоскости и о шаре. Но уже соединение геометрии в плоскости и в пространстве приводит к понятию о конусе, а отсюда к его сечениям плоскостью, к так называемым коническим сечениям. Если же мы соединим геометрию с арифметикой, то мы неизбежно выйдем за пределы области, определяемой для элементарной геометрии вышеприведённым принципом; так, для определения понятий: площадь, длина дуги и т. п. необходимо пользоваться переходом к пределу. [viii]
Итак, мы видим, что такое определение элементарной математики, хотя и представляет научный интерес, т. е. может служить для разъяснения возникновения математических понятий, — тем не менее, не имеет никакой цены с педагогической точки зрения, если только не ограничиваться лишь самыми простейшими главами элементов.
Поэтому мы под элементарной математикой понимаем всё то, что можно целесообразно применять при преподавании математики в школе, но в том периоде его, который предшествует выбору особой специальности. С такой точки зрения границы этой области зависят, главным образом, от выбора педагога. Но и математическая наука имеет право голоса при обсуждении данного вопроса.
Мнения по вопросу о выборе материала для школьного преподавания всегда будут и должны быть различны. Эти различия зависят от индивидуальности и научных склонностей преподавателя, и, прежде всего, от целей, к которым преподавание стремится.
План преподавания будет тот или иной в зависимости от того, что мы будем считать главною задачею научного образования: всестороннее ли, гармоническое развитие ума, пробуждение дремлющих духовных сил и упражнение их, — или сообщение юноше известной суммы полезных сведений и умений, которые как можно раньше сделали бы его готовым к трудной жизненной борьбе.
Последняя задача заставила бы присоединить к элементарному преподаванию по возможности больше материала для того, чтобы при переходе к изучению специальности не было нужды останавливаться больше на подготовительной работе.
Очевидно, что это возможно только в ущерб глубине и основательности; а при этом возникает опасность, что обучение математике потеряет своё существенное значение.
Значение же это очень различно для различных индивидуальностей. Математическая работа содержит в себе особый элемент творчества. И это относится не только к творческой деятельности в собственном смысле этого слова, но сказывается и в мелочах, проявляется при решении задач или в более глубоком понимании и точном воспроизведении математических идей. Эта деятельность ума в состоянии совершенно поглотить человека и служит для лиц, одарённых соответствующими способностями, источником величайших наслаждений. Такое явление наблюдается как в области абстрактных представлений, в науке о числах, так и в области пространственных представлений геометрии.
Поэтому я не сомневаюсь в том, что для особенно успешного преподавания математики необходимо, чтоб ученики обладали известным специфическим дарованием. Отсюда отнюдь не следует, понятно, чтобы средне одарённому ученику нельзя было преподать в известном [ix]объёме математических знаний и сведений, которые будут ему нужны при изучении всякой специальной отрасли знаний; это даже необходимо для логического воспитания мысли.
Но такое положение вещей создаёт раздвоение в математическом преподавании, а это влечёт за собой крупные затруднения. И преподаватель, стремящийся одновременно выполнить обе эти задачи — целесообразного преподавания выдающимся ученикам и средним —, должен обладать не только основательными познаниями, но и глубоким математическим образованием и пониманием тонкостей и красот математики.
До сих пор ещё, после почти пятидесяти лет, я вспоминаю с благодарностью моего учителя в Гейдельбергском лицее, Арнета (Arneth) и его уроки, оказавшие на меня глубокое влияние. Для большинства учеников его преподавание представляло мало интереса; но тем увлекательнее оно было для немногих исключительных учеников, которым было доступно его тонкое математическое чутьё и понимание физики, опередившее господствовавшие в то время взгляды.
В те времена в южно-германских гимназиях математике в программе преподавания отводилось второстепенное место; и со стороны большинства учителей и учеников она не пользовалась уважением. Поэтому преподаватель мог влиять лишь на небольшой кружок склонных к математике юношей. Теперь обстоятельства изменились к лучшему и в настоящее время вряд ли может случиться, чтобы какой-нибудь ученик окончил гимназию без всяких математических познаний.
Это есть несомненный шаг вперед; но он не должен покупаться ценою понижения внутреннего содержания преподавания; нужно, чтобы
при новой системе и более способный ученик нашел необходимый для себя материал. Последнее же достигается не тем, что лучших учеников выводят возможно дальше из области элементарной математики в область высшей. Для дальнейшего математического развития это могло бы скорее служить помехою, чем помощью. Значительно более плодотворным является углубление содержания элементарного преподавания, в котором, не выходя из прежних границ, можно найти неисчерпаемые богатства материала; такое углубление действует на ученика, развивая его и оживляя предмет. При этом учителю должна быть дана полная свобода выбирать из всего многообразного материала то, что соответствует его собственным склонностям. Ибо плодотворное воздействие на ученика может иметь место только там, где преподаватель относится ещё с живым интересом к предмету.
Между прочим, и строгое логическое обоснование математики может быть отнесено к области элементов. Относящиеся сюда вопросы в новейшее время подверглись глубокому исследованию, и мы сделали значительный шаг вперёд к их разрешению. Основаниям арифметики [x]посвящены статьи Дедекинда (Dedekind): «Was sind und was sollen die Zahlen»[2] (Braunschweig, 1888, 1892) и «Stetigkeit und irrationale Zahlen» (1872, 1892). Автор оперирует в них при посредстве простейших приёмов, которыми располагает всякий здравый рассудок и которые не предполагают никаких специальных философских или математических сведений. В том же направлении ведутся новейшие исследования по основаниям геометрии; правда, они не достигли ещё той законченности, какою отличаются соответствующие исследования по арифметике. Но, чтобы понимать эти вопросы, необходимо располагать известною зрелостью суждений, а потому с них нельзя начинать преподавания.
Итак, изложение этих принципиальных вопросов, в виде своего рода философской пропедевтики, можно рекомендовать в последнем классе гимназии, хорошо подготовленном. Но при этом необходимо соблюдать осторожность, так как полупонимание в этой области равносильно непониманию, если не хуже его.
Для большинства учеников полезнее и интереснее, если преподавание будет расширено в сторону приложений. Новые программы испытаний на звание преподавателя средней школы в Германии дают к этому толчок[3], и тем самым реальному образованию отводится больше места. Приложения могут оживить преподавание математики, увеличить к ней интерес, а точность и чистота при черчении придают этой отрасли преподавания немалое воспитательное значение.
Далее, известные главы теории чисел и высшей алгебры могут с успехом применяться при элементарном преподавании. Во-первых, они пользуются лишь элементарными математическими приёмами; а во-вторых, преимущество их в многочисленности примеров, которыми может воспользоваться учитель; решение этих примеров, допускающее всегда простую поверку, даёт учащемуся большое удовлетворение. Применение этих глав к построению правильных многоугольников вызывает и геометрический интерес.
Затем существует ряд знаменитых задач, известных уже с древних времён, как, например, проблемы об удвоении куба, о трисекции угла при посредстве циркуля и линейки, решение в радикалах уравнения пятой степени, квадратура круга, — о невозможности решения которых [xi]школьники постоянно слышат. В настоящее время наука не только располагает доказательствами невозможности, но доказательствам этим она придала столь простую форму, что ими можно без труда воспользоваться при элементарном преподавании.
В течение самой работы материал, предназначенный для настоящего сочинения, был увеличен и сам план был расширен. Оказалось
поэтому целесообразным разбить сочинение не на два тома, как это предполагалось сначала, а на три. Первый том должен охватить область арифметики и алгебры, второй — геометрию, а третий будет посвящён приложениям. Мы надеемся, что второй и третий тома появятся в непродолжительном времени. Благодаря этому оказалось возможным уделить значительно больше места приложениям, которые мы имели в виду и при выборе примеров в различных частях текста.
Впрочем, согласно плану настоящего сочинения, мы не разрабатывали большого числа примеров. Мы не считали целесообразным останавливаться на примерах, имеющих в виду только упражнения, так как в литературе нет недостатка в прекрасных сборниках такого рода примеров. Примеры мы помещали лишь в тех случаях, если это казалось необходимым для понимания текста, или если пример сам по себе мог представлять научный интерес. Точно также мы не уделяли много места историческим и литературным справкам. Мы имеем в настоящее время обширное сочинение по истории математики М. Кантора; в этом сочинении мы находим подробные и точные сведения за огромный период от зарождения первых начатков математики до середины XVIII столетия; благодаря же тщательно составленному регистру, это сочинение даёт возможность легко ориентироваться и в отдельных вопросах. Сверх того в непродолжительном времени в «Энциклопедии Математических наук»[4] имеет появиться статья «Элементарная Математика» М. Симона (М. Simon); мы имели возможность видеть эту статью в рукописи; она содержит подробные исторические и литературные указания по всем вопросам, которые могут быть отнесены к элементарной математике. Нам казалось поэтому достаточным ограничиваться при каждом собственном имени, появляющемся при наименовании того или другого предложения, короткой заметкой о времени и обстоятельствах жизни этого автора.
[xii]
Наконец, мы должны указать, что настоящее сочинение обязано своим появлением в свет инициативе издателя А. Акермана-Тейбнера (А. Ackermann-Teubner); он указал нам на «Элементы Математики» Бальцера (Baltzer), сочинение, которое выдержало несколько изданий и в настоящее время уже не существует в продаже; на такого рода сочинение, очевидно, имеется спрос. Поэтому обработать такого рода сочинение согласно господствующим в настоящее время в науке воззрениям, представляет собой несомненно благодарную задачу; я тем охотнее взял её на себя, что с 1888 г. я читал вь Марбурге, Гёттингене и Страсбурге университетский курс под заглавием: «Энциклопедия Элементарной Математики».
| Страсбург, в июле 1903 г.
|
Г. Вебер.
|
Сканы, размещённые на Викискладе 
