Объ опредѣленіи геометріи. Соображенія о двойственности, какъ о законѣ природы.
Примѣчаніе къ n° 15
[25]Различіе, которое Аристотель и Декартъ находили между двумя вопросами, составляющими постоянный предметъ математическихъ наукъ, даетъ намъ смѣлость высказать критическое замѣчаніе объ опредѣленіи геометріи, встрѣчаемомъ почти во всѣхъ элементарныхъ руководствахъ. Говорятъ, что это наука, имѣющая предметомъ измѣреніе пространства. Но измѣреніе, собственно говоря, представляетъ только весьма небольшую часть тѣхъ свойствъ пространства, которыя составляютъ предметъ изслѣдованія геометровъ. Мы не думаемъ, напримѣръ, чтобы Жергонъ, Понселе, Штейнеръ, Плюкеръ и другіе геометры, новѣйшіе труды которыхъ имѣютъ достаточно извѣстности, особенно много занимались и измѣреніемъ, какъ это слѣдовало бы изъ вышеприведеннаго опредѣленія. Начертательная геометрія Монжа относится существенно къ наукѣ о свойствахъ пространства, и хотя она можетъ служить для нахожденія мѣры тѣлъ, но несомнѣнно, что это есть самое незначительное изъ ея приложеній. Изъ этого видно, что опредѣленіе, о которомъ мы говоримъ, неполно и недостаточно.
Недостаточность эта не остается, можетъ быть, безъ вредныхъ послѣдствій; она, можетъ-быть, содѣйствовала пренебреженію къ нашей наукѣ. Математики, не слѣдившіе лѣтъ тридцать за развитіемъ геомеіріи, знакомы въ этой наукѣ только со способами квадратуръ Кеплера, Кавальери, Паскаля, Григорія С. Винцента и др. и то потому, что эти способы имѣютъ тѣсную связь съ интегральнымъ исчисленіемъ, составляющимъ постоянный предметъ для ихъ глубокихъ соображеній. И нельзя не согласиться, что интегральное исчисленіе есть окончательное и высшее усовершенствованіе этихъ геометрическихъ способовъ, замѣняющее ихъ съ удивительною выгодою. Отсюда мысль, что изученіе чистой геометріи
[26]есть праздное занятіе, такъ какъ вся она заключается въ формулахъ интеграціи и, другими словами, представляетъ не болѣе какъ простой вопросъ анализа.
Но если включить въ опредѣленіе понятіе о формѣ и положеніи фигуръ, то нельзя уже будетъ думать, чтобы одна аналитическая формула могла рѣшать безконечное разнообразіе вопросовъ, представляющихся тогда воображенію; при нѣсколько внимательномъ взглядѣ на сущность этихъ вопросовъ мы легко увидимъ, что они представляютъ весьма большія затрудненія для анализа Декарта, этого всеобщаго математическаго орудія, и найдемъ даже цѣлый отдѣлъ вопросовъ, для которыхъ этотъ анализъ, въ его настоящей формѣ, оказывается недостаточнымъ; мы показываемъ это въ VI главѣ (n° 5). Мы думаемъ также, что результатомъ такого внимательнаго разсмотрѣнія дѣла было бы убѣжденіе, что чистая геометрія, разработываемая сама для себя и своими собственными средствами, необходима для полнаго познанія свойствъ пространства, необходима для рѣшенія множества весьма важныхъ вопросовъ, для уясненія аналитическихъ пріемовъ въ ихъ приложеніяхъ какъ къ самой геометріи, такъ и къ явленіямъ природы.
Замѣчательно, въ историческомъ отношеніи, что Римляне, которые были весьма слабыми геометрами, чувствовали однако недостаточность стариннаго опредѣленія геометріи и ввели вмѣсто него другое, находящееся въ геометріи Боэція:
Geometria est disciplina magnitudinis immobilis formarumque descriptio contemplativa, per quam uniuscujusque rei termini declarari solent
Почти въ тѣхъ же словахъ это опредѣленіе встрѣчается у Кассіодора[1] и какъ кажется, съ этого времени употреблялось писателями среднихъ вѣковъ: напримѣръ писателемъ XIII вѣка Vincent de Beauvais въ его
Speculum doctrinale (lib. XVI; cap. XXXVI[2]).
Въ эпоху возрожденія оно также было въ употребленіи. Оно встрѣчается въ
Margarita philosophica Reisch'a[3];
почти таково же опредѣленіе,
[27]данное Тарталеа въ третьей части его сочиненія о числахъ и мѣрахъ:
«La Geometria è una scientia, ouer disciplina, che contempla la descrition delle figure, ouer forme della quantità continna immobile, come que è la terra, e altre cose simili»[4]
Надобно удивляться, почему не сохранилось это опредѣленіе. Правда, съ давнихъ поръ были геометры, въ особенности Даламбертъ, которые старались къ нему возвратиться, называя геометрію наукою о свойствахъ пространства, имѣющаго извѣстную форму (de l'étendue figurée).
Мы видимъ двѣ причины, почему не было принято всѣми геометрами это точное опредѣленіе.
Одни хотѣли, безъ сомнѣнія, сохранить смыслъ греческаго слова геометрія, которое значитъ измѣреніе земли. Но очевидно, что это слово, если ограничиваться его точнымь этимологическимъ значеніемъ, могло годиться только въ самое первое время геометріи. Послѣ первыхъ успѣховъ этой науки уже со времени Ѳалеса, оно сдѣлалось недостаточнымъ. Поэтому уже Платонъ строго критиковалъ его и назнвалъ смѣшнымъ[5]. Впослѣдствіи, оставляя наукѣ прежнее названіе геометрія, вставили въ ея опредѣленіе, вмѣсто выражаемаго этимъ названіемъ понятія о землѣ, болѣе общее понятіе о пространствѣ. Слѣдовало сдѣлать болѣе и замѣнить понятіе только о мѣрѣ сложнымъ понятіемъ о мѣрѣ и порядкѣ (расположеніи), чтобы дать слову геометрія истинннй и полный смыслъ.
Другіе геометры, вѣроятно съ философской точки зрѣнія, желаютъ выразить въ опредѣленіи только одну цѣль геометріи, измѣреніе пространства, имѣя въ виду подвести подъ одно абсолютное понятіе весь особый классъ явленій, представляемыхъ намъ пространствомъ и составляющихъ значительнѣйшую часть нашихъ
[28]положительныхъ знаній. Но, какъ ни полезны вообще всякаго рода обобщенія въ понятіяхъ, также какъ въ принципахъ и методахъ, какъ ни велики и прекрасны идеи, внушенныя Пиѳагору и другимъ философамъ принципомъ единства, составляющимъ характеръ древней философіи, — однако скорѣе можно думать, что абсолютное единство не составляетъ принципа природы. Напротивъ того, многочисленные дуализмы, замѣчаемые какъ въ явленіяхъ природы такъ и въ различныхъ частяхъ человѣческихъ знаній, заставляютъ предполагать, что истинный принципъ природы заключается въ постоянной двойственности, въ двоякой единицѣ.
Эту двойственность, какъ мы уже говорили, встрѣчаемъ мы и въ самомъ предметѣ геометріи, и въ сущности всѣхъ свойствъ пространства, въ которыхъ точка и плоскость играютъ тождественныя роли (см. Прим. XXXIV), и въ двоякомъ движеніи небесныхъ тѣлъ, гдѣ постоянная и признанная двойственность принимается какъ законъ[6] и въ тысячѣ другихъ явленій.
Итакъ, если будемъ въ высшихъ соображеніяхъ искать опредѣленія, свойственнаго геометріи, то увидимъ, что, включая въ него два обширныя подраздѣленія, порядокъ и мѣру, соотвѣтствующія двоякой цѣли этой науки, мы не будемъ противорѣчить требованіямъ философіи.
Примѣчанія.
- ↑ Aurelii Cassiodori, senatoris, etc. Opera omnia. Rotomagi 1679, in fol. кн. II, стр. 583.
- ↑ Bibliotheca Mundi. Duaci, 1624, 4 vol. in vol. tomus secundus, qui Speculum doctrinale inscribitur.
- ↑ Heidelberg, 1486, in 4. Перепепатано въ Стразбургѣ, Базелѣ и Фрейбургѣ.
- ↑ [То же повторено в его переводе Начал Евклида: Euclide megarense acutissimo philosopho, solo introduttore delle scientie mathematice. Diligentemente rassettato, et alla integrita ridotto, per il degno professore di tal scientie Nicolo Tartalea brisciano. Secondo le due tradottioni. Con vna ampla espositione dello istesso tradottore di nuouo aggiunta, Curtio Troiano, Venezia, 1565.]
- ↑ His cognitis atque perspectis, proxima est illa quam ridiculo admodum nominc (γελοῖον όνομα) Geometriam nuncupant. (Jn Epinomide. Platonis opera omnia; traduction de Jean de Serres, t. II, p. 990 )
Эта столь справедливая критика Платона была повторена многими писателями XVI вѣка. Знаменитый филологъ и профессоръ математики
Nicodemus Frischlin выразился такъ: Amplissima est et pulcherrima scientia figurarum. At quam est inepte sortita nomen Geometriae! (J. Yossius, De universae matheseos natura et constitutione Liber).
- ↑ Можетъ быть этотъ принципъ служитъ возраженіемъ противъ Ньютоновой теоріи распространенія свѣта. Если свѣтовая частица одарена поступательнымъ движеніемъ, то она, по всей вѣроятности, должна имѣть также и вращательное движеніе. Но этого нельзя допустить, потомучто отсюда проистекало бы ложное слѣдствіе, что при отраженіи луча свѣта отъ какой нибудь поверхностн уголъ отраженія не равень углу паденія.
|
Сканы, размещённые на Викискладе