Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание XXII

Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов — Примечание XXII
автор Мишель Шаль, пер. Василий Яковлевич Цингер

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источник: М. Шаль. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. — Москва: М. Катков, 1883. — Т. II.

Обобщение двух общих теорем Стюарта.

Примечание к n° 29

Две следующие теоремы представляют значительно более общности, нежели теоремы Стюарта, и из них можно вывести еще многие другие.

Первая теорема. Дано $m$ точек $A,\,B,\,C,\dots$ на плоскости и столько же количеств $a,\,b,\,c,\,\dots$; пусть будет $n$ менее $m$; можно определить $n+1$ других точек $A',\,B',\,C',\dots$ так, что между расстояниями произвольной точки $M$ от данных точек и её же расстояниями от найденных точек будет иметь место $n$ соотношений, выражаемых формулою

$a.MA^{2(n-\delta )}+b.MB^{2(n-\delta )}+\dots =\left({MA'}^{2(n-\delta )}+{MB'}^{2(n-\delta )}+\dots \right){\frac {a+b+c+\dots }{n+1}}$,

в которой величине $\delta$ можно дать $n$ значений: $0,\,1,\,2,\dots ,n-1$.

Если положим $\delta =0$, то получим 44-ю теорему Стюарта.

Другие величины $\delta$ дают другие соотношения, которые можно выразить все как особые теоремы, но которые тем не менее существуют все одновременно. Эта совместность $n$ различных соотношений и составляет характер приведенной теоремы.

При этом не следует забывать, что положение точки $M$ остается неопределенным, так что для каждого положения можем получить свои $n$ соотношений.

Величина $\delta$ может иметь еще одно значение, именно $\delta =n$; но это приводит к тождественному равенству:

$a+b+c+\dots =(n+1).{\frac {a+b+c+\dots }{n+1}}$,

поэтому мы и ограничили число всех значений $\delta$ числом $n$.

Вторая теорема. Дано $m$ прямых линий на плоскости и столько же количеств $a,\,b,\,c,\dots$; пусть будет $n$ какое-нибуд число, меньше $m$; можно найти $n+1$ других прямых так, что между перпендикулярами $M\alpha ,\,M\beta ,\,M\gamma ,\dots$, опущенными из какой угодно точки $M$ на эти прямые и перпендикулярами $M\alpha ',\,M\beta ',\,M\gamma ',\dots$, опущенными на найденные прямые будет существовать ${\tfrac {n+1}{2}}$, или ${\tfrac {n}{2}}$, соотношений, выражаемых формулою

$a.M\alpha ^{(n-2\delta )}+b.M\beta ^{(n-2\delta )}+\dots =\left({M\alpha '}^{(n-2\delta )}+{M\beta '}^{(n-2\delta )}+\dots \right){\frac {a+b+c+\dots }{n+1}}$,

где $\delta$ может принимать ${\tfrac {n+1}{2}}$ значений: $0,\,1,\,2,\dots ,{\tfrac {n-1}{2}}$, когда $n$ нечетное и ${\tfrac {n}{2}}$ значений: $0,\,1,\,2,\dots {\tfrac {n-2}{2}}$, когда $n$ — четное.

При $\delta =0$ получаем теорему, выраженную в 49 и 53 предложениях Стюарта.

Другия значения $\delta$ ведут к другим соотношениям, выражающим собою столько же различных теорем, имеющих место одновременно, каково бы ни было притом положение точки $M$.

Кажется, теоремы Стюарта, заключающиеся в двух вышеприведенных общих предложениях, оставались до сих пор без применения, представляя собою особого рода свойства системы точек и прямых линий. Но можно думать, что подобные системы обладают и другими подобными же свойствами, которые все могут примыкать к одной теории. Я имею, например, некоторое основание предполагать, что система данных точек вместе с системою точек, определяемых в первой из вышеприведенных теорем, обладают свойствами, подобными свойствам концов сопряженных диаметров эллипса. Можно по крайней мере составить сколько угодно систем (без сомнения подчиненных известным законам), которые представляют все эти свойства.

Но, несмотря на эту первую аналогию я могу ошибаться, делая это предположение. Как бы то ни было, следует, мне кажется, признать, что теоремы Стюарта представляют только первый шаг к новым изысканиям, заслуживающим внимания и труда геометров.

---