О некоторых вопросах теории плоских кривых (Кремона)/4

Об образовании кривой при помощи двух проективных пучков — Art. 4. О геометрических сетях произвольного порядка
автор Луиджи Кремона, пер. Участник:Bkmd

Оригинал: итальянский. — Перевод опубл.: 1864. Источник: Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1915. T. 2. Pag. 140 и сл.

13. Является ли сеть кривых порядка $n$ (Introd. 92) в общем случае сетью первых поляр? Поскольку сеть определяется заданием трех ее кривых, поставленный вопрос можно сформулировать так: заданы три кривые $A_{1},A_{2},A_{3}$ порядка $n$, не принадлежащие одному и тому же пучку, возможно ли определить три точки $a_{1},a_{2},a_{3}$ (не лежащие на одной прямой) и кривую порядка $n+1$, относительно которой три заданные кривые являются первыми полярами для полюсов $a_{1},a_{2},a_{3}$.

Фундаментальная кривая и три полюса зависят от ${\tfrac {1}{2}}(n+1)(n+4)+6$ параметров, которые для осуществления совпадения трех заданных кривых с полярами для трех точек нужно подчинить ${\tfrac {3}{2}}n(n+3)$ условиям. Разность $(n-2)(n+4)$ этих чисел равна нулю только при $n=2$. Поэтому, если исключить случай $n\leq 2$, то сеть кривых не является в общем сетью первых поляр.

14. Рассмотрим поэтому сеть в самом общем виде, заданную тремя кривыми $A_{1},A_{2},A_{3}$ порядка $n$; пусть $A_{0}$ — другая кривая сети, такая, что любые три из четырех кривых $A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}$ не принадлежат одному пучку. Зафиксируем на плоскости четыре точки $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}$, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и поставим их в соответствие четырем рассматриваемым кривым. Это позволяет задать соответствие между точками плоскости и кривыми сети таким образом, чтобы точкам, лежащим на одной прямой, отвечали кривые одного пучка (проективного пункуталу).

Для начала мы рассмотрим прямую, соединяющую две заданные точки, напр. $a_{0}$ и $a_{1}$, то проективное соответствие между точками прямой $a_{0}a_{1}$ и кривыми пучка $(A_{0},A_{1})$ определяется тем условием, что точкам $a_{0},a_{1}$ соответствуют кривые $A_{0},A_{1}$, а точке пересечения прямых $a_{0}a_{1},a_{2}a_{3}$ соответствует кривая, общая для пучков $(A_{0},A_{1})$, $(A_{2},A_{3})$: при его выполнении любой другой точке прямой $a_{0}a_{1}$ отвечает одна вполне определенная кривая пучка $A_{0}A_{1}$.

Для произвольной прямой $R$, точкам, в которых ее пересекают три стороны четырехугольника $a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}$, отвечают три уже определенные выше кривые, которые необходимо принадлежат одному пучку^[1]: поэтому четвертой произвольной точке прямой $R$ отвечает одна вполне определенная кривая названного пучка, и наоборот. Наконец, кривая $A$, отвечающая заданной точке $a$, найдется, если рассмотреть эту точку как пересечение двух прямых (которые для простоты можно провести соответственно через две из заданных точек) и найти общую кривую для двух пучков, отвечающих названным прямым.

15. Таким образом, точке $a$ отвечает некоторая кривая $A$ сети (именно, общая всем пучкам, отвечающим всем прямым, проходящим через точку $a$), и наоборот, кривой $A$ сети отвечает одна вполне определенная точка $a$ (именно, общая всем прямым, отвечающим тем пучкам, которые содержат кривую $A$).

Все кривые сети, проходящие через одну точку $a$, составляют пучок, и поэтому они соответствуют точкам некоторой прямой $R$; и наоборот, эта прямая содержит точки, соответствующие тем кривым сети, которые проходят через некоторые $n^{2}$ фиксированных точек, одна из которых и есть точка $a$. Поэтому можно сказать что произвольной точке $a$ отвечает некоторая прямая $R$ (место точек, которым отвечают кривые $A$, проходящие через $a$), и наоборот, прямой $R$, фиксированной произвольным образом, отвечают $n^{2}$ точек (составляющих базу пучка кривых $A$, отвечающих точкам прямой $R$).

Итак, точке плоскости отвечает кривая $A$ сети и прямая и наоборот, кривой сети отвечает одна вполне определенная точка плоскости, а прямой — $n^{2}$ точек. Из всего этого получается след.:

Если кривая $A$ для точки $a$ проходит через другую точку $a'$, то и прямая $R$ для $a'$ проходит через $a$; и наоборот.^[2]

16. Каково место точек, лежащих на соответствующих им кривых $A$, иными словами, (что то же, в силу предыдущей теоремы) на соответствующих им прямых $R$? Пусть $T$ — произвольная секущая: ее точке $a$ отвечает кривая $A$, пересекающая прямую $T$ в $n$ точках $a'$. И наоборот, если взять на прямой $T$ произвольным образом точку $a'$, то кривые $A$, проходящие через $a'$, соответствуют точкам некоторой прямой $R$, пересекающей прямую $T$ в точке $a$. Поэтому точке $a$ отвечают $n$ точек $a'$, а точке $a'$ — одна точка $a$; значит, секущая $T$ содержит $n+1$ точек обсуждаемого места. Итого:

Место точек, лежащих на отвечающих им кривых, является кривой $K$ порядка $n+1$.^[3]

Какова оболочка прямых $R$, содержащих соответствующие им точки? Пусть $a$ — произвольная точка, прямым, проходящим через $a$, отвечают точки, лежащие на кривой $A$ для точки $a$. Эта кривая пересекает кривую $K$ (в силу предыдущей теоремы) в $n(n+1)$ точках, причем каждая из них отвечает прямой $R$, соединяющей эту точку с $a$.^[4] Поэтому:

Оболочка прямых $R$, проходящих через одну из $n^{2}$ точек, ей соответствующих, является кривой $H$ класса $n(n+1)$.

Точка $a$ будет принадлежать кривой $H$, если две из прямых, соединяющих $a$ с пересечениями $A$ и $K$ совпадают, то есть если $A$ касается $K$^[5]; поэтому:

Кривая $H$ является оболочкой прямых $R$, отвечающих точкам кривой $K$, а также место точек, которым отвечают кривые $A$, касающиеся $K$.

Когда кривые заданной сети являются первыми полярами для отвечающих им точек относительно некоторой фундаментально кривой $C_{n+1}$, то с ней совпадают обе кривые $H$ и $K$.^[6]

17. Но и в самом общем случае почти все свойства, доказанные во Введении для системы первых поляр, остаются в силе, да и сами доказательства не требуют больших изменений, поскольку эти свойства и их доказательства по большей части зависят не от полярности связи кривых сети с фундаментальной кривой, а скорее от линейности выражения кривых сети через три из их числа. По этой причине для произвольной сети верны след. утверждения верны, которые можно доказать, используя определение сети и теоремы § 15 и 16.

Если точка пробегает кривую $C_{m}$ порядка $m$, то отвечающая ей прямая $R$ огибает кривую $L$ класса $mn$, которая также является местом точек, которым отвечает кривая $A$, касающаяся $C_{m}$. ^[7] Если $C_{m}$ не имеет кратных точек, порядок кривой $L$ равен $m(m+2n-3)$; но это число следует уменьшить на $r(r-1)+s-1$, если кривая $C_{m}$ имеет точку кратности $r$ с $s$ совпадающими касательными. ^[8]

Из этой теоремы следует, что число кривых $A$, касающихся двух кривых $C_{m},C_{m'}$, равно числу пересечений двух соответствующих кривых $L$, порядки которых известны.

Точкам возврата $C_{m}$ отвечают стационарные касательные кривой $L$^[9], и поскольку для этой кривой известны класс, порядок и число точек перегиба, по формулам Плюкера можно найти число двойных точек, двойных касательных и точек возврата. Эти числа выражают, сколько кривых $A$ имеют двойное касание с $C_{m}$, сколько тройное касание с $C_{m}$ и т. д.

18. Место точек $p$, полярные прямые для которых относительно кривых $A$ сети проходят через одну и ту же точку $o$, является кривой порядка $3(n-1)$, которую можно назвать гессианой или якобианой сети и которая может быть также определена как место точек касания между кривыми сети или как место двойных точек кривых сети (92, 95).

Место точки $o$, в которой пересекаются полярные прямые для одной и той же точки $p$, относительно кривых сети, является кривой порядка $3(n-1)^{2}$, которую можно назвать штейнерианой сети (Introd. 98a).

Следовательно, каждой точке $p$ якобианы отвечает точка $o$ штейнерианы и наоборот: оболочка прямых $po$, касающихся в точке $p$ всех кривых сети, которые можно провести через эту точку, является кривой класса $3n(n-1)$ (Introd. 83b, ср. Introd. 98b).

Место точки $a$, которой отвечает кривая $A$, имеющая двойную точку $p$, является кривой $\Sigma$ порядка $3(n-1)^{2}$. ^[10]

Кривая $\Sigma$ совпадает со штейнерианой, когда кривые $A$ являются первыми полярами для соответствующих точек относительно некоторой фундаментальной кривой (Introd. 88d).

Прямая $R$, соответствующая точке $p$, [лежащей на якобиане], касается в точке $a$ кривой $\Sigma$ (Introd. 118)^[11]; то есть:

Кривая $\Sigma$ является оболочкой прямых $R$, отвечающих точкам якобианы.^[12]

Отсюда сразу можно вычислить не только класс кривой $\Sigma$^[13], но и число ее особенностей, в итоги получатся формулы (Introd. 119—121), показывающие, напр., сколько имеется пучков в заданной произвольным образом сети кривых, касающихся друг друга в двух различных точках, или сколько среди них имеют тройное касание, сколько в сети имеется кривых с двойными точками, а сколько с точками возврата.

19. Заметим еще, что эти формулы предполагают, что якобиана лишена каких бы то ни было кратных точек. Но легко понять какие нужны изменения, если якобиана имеет кратные точки.

Если кривые сети имеют $d$ общих точек с различными касательными и еще $k$ общих точек, в которых они касаются друг друга, то якобиана будет иметь (Introd. 96d, 97d) в каждой из первых по двойной точке, а в каждой из последних по тройной точке с двумя касательными, совпадающими с общей касательной к кривым сети.^[14] Отсюда следует, что эти точки эквивалентны $2d+4k$ пересечениям якобианы с произвольной кривой сети, поэтому (Introd. 118b) класс кривой $\Sigma$ будет равен

$3n(n-1)-2d-4k$.

Предположим теперь, что, помимо общих точек кривых сети, якобиана имеет еще $\delta$ двойных точек и $\chi$ точек возврата. Тогда в силу Introd. 103 порядок места точек, которым отвечают кривые $A$, касающиеся якобианы будет равен

$3(n-1)(5n-6)-2(d+\delta )-3\chi -7k$ ^[15];

поэтому число точек перегиба на кривой $\Sigma$ будет равно (Introd. 118d)

$3(n-1)(4n-5)-2(d+\delta )-3\chi -7k$ ^[16],

откуда по формулам Плюкера можно вычислить все прочие особенности этой кривой.

Если кривые сети имеют общую точку кратности $r$, то она сама будет точкой кратности $3r-1$ для якобианы. Поскольку произвольный пучок сети содержит, помимо этой точки, еще ровно $3(n-1)^{2}-(r-1)(3r+1)$ других двойных точек (8), порядок кривой $\Sigma$ следует в этом случае уменьшить на $(r-1)(3r+1)$ (Introd. 88, d)^[17], и т. д.

20. Если кривая $C_{m}$ пересекает якобиану в $3m(n-1)$ точках $p$, то кривая $\Sigma$ будет касаться в соответствующих $3m(n-1)$ точках $a$ места $L$ точек, которым отвечают кривые $A$ касающиеся $C_{m}$ (Introd. 122). И т.д.

Примечания

1. Геометрического доказательства этого утверждения в тексте нет. Автор, видимо, предполагает само существование описанного соответствия очевидным из аналитических соображений, и дает лишь описание его устройства. Следует также иметь ввиду, что автор предполагает отсутствие у кривых сети неподвижных точек; особый случай, когда сеть таковые точки имеет, кратко намечен ниже в § 15. — Перев.
2. Если обозначить соответствия между точками, кривыми сети и прямыми обычным функциональным образом, то доказанное можно записать так: $a'\in A(a)$ эквивалентно $a\in R(a')$. — Перев.
3. Символически искомое место — это $K=a?a\in A(A)=a?a\in R(a)$. — Перев.
4. Символически: соотношения $a\in R(b)$ и $b\in R(b)$ эквивалентны $b\in A(a)\cap K$. — Перев.
5. Символически: бесконечно близкие прямые $R(b),R(b')$ для соседних точек $b,b'\in K$ пересекаются в точке $a$ тогда и только тогда, когда $b,b'\in A(a)\cap K$, то есть $A(a)$ и $K$ касаются в точке $b$. При этом касательная к $H$ в точке $a$ — это прямая $R(b)=ab$. — Перев.
6. В самом деле, по определению $K=a?a\in aC_{n+1}=C_{n+1}$ и $H=a?aC_{n+1}..K=a?aC_{n+1}..C_{n+1}=C_{n+1}$. Следует еще напомнить, что сеть не имеет неподвижных точек по предположению. — Перев.
7. Из $a\in C_{m}$ и $b\in R(a)$ следует, что $a\in A(b)\cap C_{m}$. Ср. Introd. 81. — Перев.
8. Точкам произвольной прямой $R$ отвечает пучок кривых сети, $m(m+2n-3)$ кривых которого касаются $C_{m}$ согласно Introd. 87c. Ср. Introd. 103a — Перев.
9. Если на $L$ друг за другом следуют три точки, лежащие на одной прямой, то кривые $A(b),A(b'),A(b'')$, следующие друг за другом в одном пучке, касаются $C_{m}$. — Перев.
10. Кривые пучка кривых, отвечающих произвольной прямой $R$, имеют двойные точки именно там, где прямая $R$ пересекает кривую $\Sigma$. Число таких точек в пучке известного порядка было подсчитано в Introd. 88. — Перев.
11. Прямой $R(p)$ соответствует пучок таких кривых $A$, которые в точке $a$ имеют общую касательную. В силу Introd. 88a среди двойных точек этого пучка точка $a$ считается дважды. Поэтому $R(p)$ пересекает $\Sigma$ в двух точках, совпадающих с $a$. — Перев.
12. Как и в Introd. 88d, это требует уточнения: полное место точек, в которых пересекаются соседние прямые $R$, содержит все точки своих стационарных касательных, а кривая $\Sigma$ есть такое место, за вычетом стационарных касательных.
    Все дальнейшее основано на возможности прямого подсчета порядка полной кривой. Именно, полная кривая пересекается с произвольной прямой $L$ в тех точках $q$, для которых на якобиане можно отыскать пары таких соседних точек $p,p'$, что $q\in R(p)\cap R(p')$, то есть в пучке, отвечающем прямой $L$, имеется кривая $A(q)$, которая проходит через $p,p'$. Значит, искомым точкам отвечают те кривые $A$ этого пучка, которые касаются якобианы. Число кривых, принадлежащих пучку, отвечающему прямой $L$, и касающихся якобианы, имеющий порядок $3(n-1)$, $\delta$ двойных точек и $\chi$ точек возврата, дается теоремой 87c как $3(n-1)(3(n-1)+2n-3)-2\delta -3\chi =3(n-1)(5n-6)-2\delta -3\chi$. Порядок кривой $\Sigma$ уже был вычислен как $3(n-1)^{2}$, разность этих двух порядков дает число стационарных касательных $\iota =3(n-1)(5n-6)-3(n-1)^{2}-2\delta -3\chi =3(n-1)(4n-5)-2\delta -3\chi$ для кривой $\Sigma$. — Перев.
13. Прямые $R(p)$ проходят через заданную точку $q$, не лежащую на стационарных касательных кривой $\Sigma$, если $A(q)$ проходят через $p$; поэтому если ограничить изменение $p$ якобианой, получится всего $n.3(n-1)$ подходящих точек. — Перев.
14. Исправление досадной ошибки, допущенной в Introd. 92b, требует здесь считать, что не две, а лишь одна касательная совпадает с касательной к кривым сети. — Перев.
15. В действительности в Introd. 87c не рассматривался случай, когда базовые точки пучка попадают в кратные точки кривой. Если в обозначениях Introd. 87c $d$ — двойная точка $C_{n}$ и базовая точка пучка $C_{m}$, то место $K$ проходит через нее 2 раза, поскольку в качестве полярной прямой $d^{n-1}C_{n}$ можно взять касательную к любой из кривых пучка. Значит среди $n(n+2m-3)$ это точка присутствует 4 раза. Но среди точек, в которых кривые пучка касаются $C_{n}$, точка $d$ должна присутствовать 2 раза, поскольку имеются именно две кривые пучка, касающиеся двух дуг $C_{n}$. Поэтому $n(n+2m-3)$ из-за каждой такой точке надо уменьшить на два, что и делает Кремона. Сегре исправляет эту формулу так: $3(n-1)(5n-6)-6d-14k-2\delta -3\chi$. — Перев.
16. Сегре исправляет эту формулу так: $3(n-1)(4n-5)-6d-12k-2\delta -3\chi$. — Перев.
17. В авторском экземпляре прибавлено, что класс кривой $\Sigma$ следует понизить на $r(3r-1)$.