[23]ГЛАВА II
Арифметические действия
§ 7. Сложение.
Мы воспользуемся совершенной индукцией для доказательства следующего предложения.
1. Если мы соединим два конечных комплекса
и
в один комплекс, то получим конечный комплекс.
При доказательстве мы можем ограничиться предположением, что комплексы
и
не имеют общих элементов. В самом деле, если все элементы комплекса
принадлежат также комплексу
, то, комплекс
, а потому представляет собой, согласно условию, конечный комплекс. Если же
есть пересечение комплексов
и
то
есть часть комплекса
, не имеющая общих элементов с комплексом
; вместе с тем (§ 2, 5)
.
|
|
Таким образом мы можем с самого начала принять, что комплексы
и
не имеют общих элементов. Если теперь комплекс
содержит только один элемент
, то доказываемая теорема справедлива, потому что комплекс
, согласно предложению § 3, 3, представляет собой конечный комплекс. Теперь примем, что
есть число элементов комплекса
и что наше предложение для комплексов
и
уже доказано, так что
представляют собой конечный комплекс. Если теперь
представляет собой новый элемент, не содержащийся ни в
ни в
, то
также есть конечный комплекс, число элементов которого есть
. Поэтому комплекс
,
|
|
в силу того же § 3, 3, конечен.
Все условия, необходимые для применения совершенной индукции, таким образом налицо, и, следовательно, наша теорема доказана.
[24]2. Итак, если
и
суть конечные комплексы, не имеющие общих элементов, а
и
суть их числа, то комплексу
также отвечает определённое число, которое мы будем обозначать символом
и называть суммою чисел
и
. Это число
не меняется, если мы заменим комплексы
и
другими комплексами
и
той же мощности. В самом деле, каждое однозначное соответствие, связывающее комплекс
с комплексом
и комплекс
с
, устанавливает также однозначное соответствие между комплексами
и
. Следовательно, чтобы определить число
, мы можем воспользоваться любыми представителями чисел
и
, напр. пальцами руки, монетами; вообще другого пути для этой цели не существует. С раннего детства мы запечатлеваем в своей памяти результаты образования суммы для небольших чисел и во всякий момент можем ими воспользоваться при надобности. Наша индийская система счисления имеет то преимущество, что нам достаточно знать результаты для немногих случаев, когда
и
взяты из ряда чисел
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Образование суммы называют также сложением или складыванием. Относительно сложения, на основании предыдущего, легко вывести следующие основные предложения.
3. В § 2, 5 мы видели, что
|
|
|
|
каковы бы ни были комплексы
![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
,
![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
и
![{\displaystyle C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029)
. Если мы применим это соотношение к тому случаю, когда
![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
,
![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
и
![{\displaystyle C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029)
представляют собой конечные комплексы, не имеющие общих элементов, и обозначим через
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
,
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
и
![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
соответствующие им числа, то мы отсюда получим:
,
|
(1)
|
Естественно, что числа
,
и
не должны быть необходимо различны. Первое из этих соотношений выражает, что сумма не зависит от порядка сложения и называется переместительным или коммутативным законом. Второе соотношение выражает, что для сложения трёх чисел можно сначала составить сумму любых двух из них и к последней прибавить третье число. Это может быть выполнено тремя способами, которые все дают один и тот же результат. Это соотношение известно под названием сочетательного или ассоциативного закона.
Эти законы допускают ещё значительное обобщение. Если
,
,
...
суть произвольные комплексы в конечном числе, то существует [25]определённый комплекс
, который содержит все элементы этих комплексов и никаких других. Этот комплекс можно обозначить символом
.
|
|
При помощи совершенной индукции, на основании предложения 1, нетрудно вывести, что
![{\displaystyle S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
есть конечный комплекс, если конечны комплексы
![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
,
![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
,
![{\displaystyle C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029)
...
[1]. Если комплексы
![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
,
![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
,
![{\displaystyle C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029)
...
![{\displaystyle N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
не имеют попарно никаких общих элементов, то число комплекса
![{\displaystyle S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
называется
суммой чисел комплексов
![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
,
![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
,
![{\displaystyle C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029)
...
![{\displaystyle N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
; если обозначим последние числа через
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
,
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
,
![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
...
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
, а число комплекса
![{\displaystyle S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
через
![{\displaystyle s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632)
, то мы будем писать
;
|
|
числа
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
,
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
,
![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
...
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
мы будем называть слагаемыми, образующими сумму
![{\displaystyle s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632)
.
Число
определяется посредством отсчёта элементов в комплексе
. При вычислении поступают обыкновенно короче: пишут слагаемые в произвольной последовательности и затем, начиная сверху или снизу, прибавляют каждое следующее число к полученной уже сумме. Что результат этого вычисления не зависит от порядка слагаемых, следует из того, что число не зависит от порядка, в каком мы считаем элементы представляющего его комплекса (§ 6).
Если слагаемые написаны в десятичной системе, то сначала складывают единицы, затем десятки, потом сотни и т. д.; если при сложении единиц какого-либо разряда образуются единицы высшего разряда, то их нужно прибавлять к единицам соответствующего разряда. Этому обучаются уже дети.
4. Сложение содержит, как частный случай, правило, посредством которого мы в § 3 определили по числу
непосредственно следующее число
. Точно также из данных в § 3 определений терминов «больше» и «меньше» следует, что сумма нескольких чисел из ряда
,
,
...
меньше, нежели сумма всех их, — что сумма увеличивается с увеличением одного или нескольких слагаемых. Всё это вытекает из того, что меньшее число соответствует тому из двух комплексов, которое может быть приведено в однозначное соответствие с правильной частью другого комплекса (§ 6, 2).