Энциклопедия элементарной математики. Том 1 (Вебер,Каган)/Книга 1/Глава 2/§ 7/ДО

Энциклопедія элементарной математики. Томъ I. Элементарная алгебра и анализъ. — Книга I. Основанiя ариѳметики. Глава II. Натуральныя числа. § 7. Сложенiе.
авторъ Генрихъ Веберъ (1842—1913), пер. Веніаминъ Каганъ (1869—1953)

Оригинал: нем. Lehrbuch der Algebra. — См. Оглавленіе. Перевод опубл.: 1906. Источникъ: Сканы, размещённые на Викискладе

ГЛАВА II. Ариѳметическiя дѣйствiя.

---

§ 7. Сложенiе.

Мы воспользуемся совершенной индукцiей для доказательства слѣдующаго предложенiя.

1. Если мы соединимъ два конечныхъ комплекса $A$ и $B$ въ одинъ комплексъ, то получимъ конечный комплексъ.

При доказательствѣ мы можемъ ограничиться предположенiемъ, что комплексы $A$ и $B$ не имѣютъ общихъ элементовъ. Въ самомъ дѣлѣ, если всѣ элементы комплекса $B$ принадлежатъ также комплексу $A$, то, комплексъ $A+B=A$, а потому представляетъ собой, согласно условiю, конечный комплексъ. Если же $D$ есть пересѣченiе комплексовъ $A$ и $B$ то $B-D$ есть часть комплекса $B$, не имѣющая общихъ элементовъ съ комплексомъ $A$; вмѣстѣ съ тѣмъ (§ 2, 5)

$A+B=A+(B-D)$.

Такимъ образомъ мы можемъ съ самаго начала принять, что комплексы $A$ и $B$ не имѣютъ общихъ элементовъ. Если теперь комплексъ $B$ содержитъ только одинъ элементъ $\beta$, то доказываемая теорема справедлива, потому что комплексъ $A+B$, согласно предложенiю § 3, 3, представляетъ собой конечный комплексъ. Теперь примемъ, что $b$ есть число элементовъ комплекса $B$ и что наше предложенiе для комплексовъ $A$ и $B$ уже доказано, такъ что $A+B$ представляютъ собой конечный комплексъ. Если теперь $\beta '$ представляетъ собой новый элементъ, не содержащiйся ни въ $A$ ни въ $B$, то $B+\beta '$ также есть конечный комплексъ, число элементовъ котораго есть $b+1$. Поэтому комплексъ

$(A+B)+\beta '=A+(B+\beta ')$,

въ силу того же § 3, 3, конеченъ.

Всѣ условiя, необходимыя для примѣненiя совершенной индукцiи, такимъ образомъ на лицо, и, слѣдовательно, наша теорема доказана.

2. Итакъ, если $A$ и $B$ суть конечные комплексы, не имѣющiе общихъ элементовъ, а $a$ и $b$ суть ихъ числа, то комплексу $A+B$ также отвѣчаетъ опредѣленное число, которое мы будемъ обозначать символомъ $a+b$ и называть суммою чиселъ $a$ и $b$. Это число $a+b$ не мѣняется, если мы замѣним комплексы $A$ и $B$ другими комплексами $A'$ и $B'$ той же мощности. Въ самомъ дѣлѣ, каждое однозначное соотвѣтствiе, связывающее комплексъ $A$ съ комплексомъ $A'$ и комплексъ $B$ съ $B'$, устанавливаетъ также однозначное соотвѣтствiе между комплексами $A+B$ и $A'+B'$. Слѣдовательно, чтобы определить число $a+b$, мы можемъ воспользоваться любыми представителями чиселъ $a$ и $b$, напр. пальцами руки, монетами; вообще другого пути для этой цѣли не существуетъ. Съ ранняго дѣтства мы запечатлѣваемъ въ своей памяти результаты образованiя суммы для небольшихъ чиселъ и во всякiй моментъ можемъ ими воспользоваться при надобности. Наша индiйская система счисленiя имѣетъ то преимущество, что намъ достаточно знать результаты для немногихъ случаевъ, когда $a$ и $b$ взяты изъ ряда чиселъ $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$.

Образованiе суммы называютъ также сложенiемъ или складыванiемъ. Относительно сложенiя, на основанiи предыдущего, легко вывести слѣдующiя основныя предложенiя.

3. Въ § 2, 5 мы видѣли, что

$A+B=B+A$

$(A+B)+C=A+(B+C)$

каковы бы ни были комплексы $A$, $B$ и $C$. Если мы примѣнимъ это соотношенiе къ тому случаю, когда $A$, $B$ и $C$ представляютъ собой конечные комплексы, не имѣющiе общихъ элементовъ, и обозначимъ черезъ $a$, $b$ и $c$ соотвѣтствующiя имъ числа, то мы отсюда получимъ:

$a+b=b+a$,

(1)

(2)

Естественно, что числа $a$, $b$ и $c$ не должны быть необходимо различны. Первое изъ этихъ соотношенiй выражаетъ, что сумма не зависитъ отъ порядка сложенiя и называется перемѣстительнымъ или коммутативнымъ закономъ. Второе соотношенiе выражаетъ, что для сложенiя трехъ чиселъ можно сначала составить сумму любыхъ двухъ изъ нихъ и къ послѣдней прибавить третье число. Это можетъ быть выполнено тремя способами, которые всѣ даютъ одинъ и тотъ же результатъ. Это соотношенiе извѣстно подъ названiемъ сочетательнаго или ассоцiативнаго закона.

Эти законы допускаютъ еще значительное обобщенiе. Если $A$, $B$, $C$ ... $N$ суть произвольные комплексы въ конечномъ числѣ, то существуетъ опредѣленный комплексъ $S$, который содержитъ всѣ элементы этихъ комплексовъ и никакихъ другихъ. Этотъ комплексъ можно обозначить символомъ

$S=A+B+C+...+N$.

При помощи совершенной индукцiи, на основанiи предложенiя 1, не трудно вывести, что $S$ есть конечный комплексъ, если конечны комплексы $A$, $B$, $C$ ... $N$ ^[1]. Если комплексы $A$, $B$, $C$ ... $N$ не имѣютъ попарно никакихъ общихъ элементовъ, то число комплекса $S$ называется суммой чиселъ комплексовъ $A$, $B$, $C$ ... $N$; если обозначимъ послѣднiя числа черезъ $a$, $b$, $c$ ... $n$, а число комплекса $S$ черезъ $s$, то мы будемъ писать

$s=a+b+c+...+n$;

числа $a$, $b$, $c$ ... $n$ мы будемъ называть слагаемыми, образующими сумму $s$.

Число $s$ опредѣляется посредствомъ отсчета элементовъ въ комплексѣ $S$. При вычисленiи поступаютъ обыкновенно короче: пишутъ слагаемыя въ произвольной послѣдовательности и затемъ, начиная сверху или снизу, прибавляютъ каждое слѣдующее число къ полученной уже суммѣ. Что результатъ этого вычисленiя не зависитъ отъ порядка слагаемыхъ, следуетъ изъ того, что число не зависитъ отъ порядка, въ какомъ мы считаемъ элементы представляющаго его комплекса (§ 6).

Если слагаемыя написаны въ десятичной системѣ, то сначала складываютъ единицы, затѣмъ десятки, потомъ сотни и т. д.; если при сложенiи единицъ какого-либо разряда образуются единицы высшаго разряда, то ихъ нужно прибавлять къ единицамъ соотвѣтствующаго разряда. Этому обучаются уже дѣти.

4. Сложенiе содержитъ, какъ частный случай, правило, посредствомъ котораго мы въ § 3 опредѣлили по числу $m$ непосредственно слѣдующее число $m+1$. Точно также изъ данныхъ въ § 3 опредѣленiй терминовъ „больше“ и „меньше“ слѣдуетъ, что сумма нѣсколькихъ чиселъ изъ ряда $a$, $b$, $c$ ... $n$ меньше, нежели сумма всѣхъ ихъ, — что сумма увеличивается съ увеличенiемъ одного или нѣсколькихъ слагаемыхъ. Все это вытекаетъ изъ того, что меньшее число соотвѣтствуетъ тому изъ двухъ комплексовъ, которое можетъ быть приведено въ однозначное соотвѣтствiе съ правильной частью другого комплекса (§ 6, 2).

Примѣчанія.

1. Доказательство ведется такъ: если допустимъ, что предложенiе справедливо, когда $S$ состоитъ изъ $n$ комплексовъ, то въ случаѣ $n+1$ комплексовъ

   $A+B+C+...+M+N=(A+B+C+...+M)+N=S+N$;

   поэтому оно оправдывается въ силу предложенiя 1.