Энциклопедия элементарной математики. Том 1 (Вебер,Каган)/Книга 1/Глава 2/§ 8

Энциклопедия элементарной математики. Том I. Элементарная алгебра и анализ. — Книга I. Основания арифметики. Глава II. Натуральные числа. § 8. Умножение.
автор Генрих Вебер (1842—1913), пер. Вениамин Каган (1869—1953)

Оригинал: нем. Lehrbuch der Algebra. — См. Оглавление. Перевод опубл.: 1906. Источник: Сканы, размещённые на Викискладе

§ 8. Умножение.

Часто приходится составлять суммы одинаковых слагаемых; для них введено особое обозначение. Чтобы это объяснить, предположим, что нам дано $a$ слагаемых, которые все равны $b$, и что нужно образовать сумму всех этих чисел, т. е. например

$b+b+b$ при $a=3$

$b+b+b+b$ при $a=4$.

Сумму этих $a$ чисел мы будем обозначать символом $a.b$, или $a\times b$, или, наконец, просто через $ab$. Образование этой суммы называется умножением числа $b$ на число $a$. Число $b$ называется множимым, число $a$ множителем, $ab$ — результат умножения — произведением числа $b$ на число $a$.

Согласно определению, $a.1=a$; мы положим также ^[1] $1.b=b$, так как это в предыдущем определении не содержится. Умножение на большего множителя может быть приведено к умножению на меньших множителей посредством рекуррентной формулы

$(a+1)b=ab+b$,

(1)

которая, ввиду установленного выше соглашения, сохраняет свою силу также при $a=1$.

2. Первое основное предложение относительно умножения есть закон переместительный, заключающийся в том, что результат умножения не изменится, если мы множимое и множителя заменим друг другом; этот закон выражается соотношением

$ab=ba$.

(2)

Доказательство этого предложения может быть произведено при помощи совершенной индукции. Представим себе $a$ конечных комплексов $B$, которые мы для отличия будем обозначать через $B_{1}$, $B_{2}$, ... $B_{a}$; допустим, что эти комплексы не имеют попарно общих элементов, но все имеют одну и ту же мощность $b$. В таком случае произведение $ab$ представляет собой число комплекса $M$, который получим, если соединим все наши комплексы $B_{1}$, $B_{2}$ ... $B_{a}$.

Теперь к каждому из комплексов $B_{1}$, $B_{2}$ ... $B_{a}$ мы присоединим ещё по одному элементу, так что $b$ перейдёт в $b+1$. Этим мы присоединяем к $M$ ещё $a$ новых элементов. Если $M$^[2] есть комплекс, который мы таким образом получаем вместо $M$, то он выражается числом $ab+a$; с другой стороны, тот же комплекс может быть выражен числом $a(b+1)$, а потому

$ab+a=a(b+1)$;

(3)

это соотношение сохраняет свою силу и при $b=1$. Но при $b=1$, в силу самого определения,

$ab=ba$.

Если мы поэтому примем, что соотношение (2) доказано для некоторого значения числа $b$, то из равенства (3) вытекает

$a(b+1)=ba+a$;

если же мы в соотношении (1) заменим $a$ и $b$ друг другом, то получим

$ba+a=(b+1)a$;

следовательно,

$a(b+1)=(b+1)a$,

т. е. справедливость соотношения (2) доказана и для ближайшего большего значения числа $b$. Мы можем поэтому применить индуктивный приём, и предложение доказано во всём его объеме.

В силу этого нет более оснований к тому, чтобы отличать друг от друга множимое и множителя; их называют обыкновенно безразлично сомножителями произведения.

Для производства умножения достаточно знать произведения любых двух чисел в ряду 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — которые мы составляем непосредственным счётом и запечатлеваем в своей памяти. Десятичная система счисления даёт возможность известным способом составлять произведения больших чисел.

3. Закон сочетательный или ассоциативный.

Представим себе теперь, что каждый элемент во всех комплексах $B_{1}$, $B_{2}$, $B_{3}$ ... $B_{a}$ замещён некоторым комплексом $C$; предположим, что все эти комплексы $C$ имеют одинаковую мощность $c$, но никакие два из них не имеют общих элементов. Теперь соединим все элементы этих комплексов $C$ в один комплекс $P$, число которого нам нужно определить.

Но число комплексов $C$ есть $ab$ следовательно, число всех элементов комплекса $P$ равно

$(ab)c$.

С другой стороны, в каждом комплексе $B$ содержится $bc$ элементов; а так как число комплексов $B$ равно $a$, то число элементов

комплекса $P$ равно также

$a(bc)$.

Отсюда получаем соотношение

$(ab)c=a(bc)$,

которое и выражает сочетательный или ассоциативный закон. Сочетая этот закон с предыдущим, мы можем представить произведение трёх сомножителей в 12 различных видах.

Правило производства вычисления можно выразить следующим образом: выбираем любые два из данных трёх чисел $a$, $b$ и $c$ и перемножаем их, — произведение же умножаем на третье число; результат не зависит от того, как мы выбрали первые два числа, и так как поэтому скобки уже не нужны, то мы обозначим его так:

$m=abc$.

Число m называется произведением трёх чисел $a$, $b$ и $c$, а последние называются сомножителями этого произведения.

Доказательство переместительного и сочетательного законов можно сделать наглядным, если мы представим себе элементы комплексов $C$ в виде шаров; шары эти распределим в ряды по $c$ в каждом ряду; $b$ таких рядов расположим в виде прямоугольника, и затем $a$ таких прямоугольников положим один на другой. Вся фигура имеет в таком случае вид прямоугольной призмы, три сходящихся ребра которой соответственно содержат $a$, $b$ и $c$ шаров. Эти шары можно тремя способами распределить в прямоугольники, а каждый прямоугольник двумя способами разбить в ряды.

4. Опираясь на эти предложения, мы можем при помощи индукции определить произведение любого числа множителей.

Положим, что нам дан комплекс $R$, состоящий из чисел

$a,b,c,d,...n(R)$.

Пусть $r$ будет число этих чисел. Выберем из них произвольно два, перемножим их и присоединим произведение к остальным числам. Мы получим комплекс, содержащий $r-1$ чисел. С этим комплексом мы поступим так же, как с прежним, т. е. вновь выберем два числа, перемножим их и присоединим произведение к остальным числам. Этот процесс мы продолжим до тех пор, пока не получим только одно число. Это число не зависит от того, как мы выбирали в каждом случае два числа для перемножения, т. е. не зависит от порядка нашего вычисления. Это число мы будем называть произведением сомножителей $a$, $b$, $c$, ... $n$ и, обозначая его через $m$, будем писать

$m=abcd...n$,

т. е. попросту напишем сомножителей один за другим.

Для доказательства высказанного утверждения, на которое опирается это определение ^[3], мы вновь воспользуемся совершенной индукцией. Как было доказано в п. п. 2 и 3, предложение это справедливо, когда $r=2$ или же когда $r=3$ (здесь нельзя ограничиться случаем $r=2$, т. к. при двух сомножителях ассоциативный закон не находит себе применения). Теперь примем, что наше предложение справедливо для произведения $r-1$ сомножителей и докажем, что оно при этих условиях справедливо и для произведения $r$ сомножителей. Итак, в системе $R$ выберем прежде всего два числа и составим их произведение; за эти числа могут быть взяты $a$ и $b$ — это зависит только от обозначения; мы получаем, таким образом комплекс $R'$, содержащий $r-1$ чисел

$(ab),c,d,....n(R')$.

Если мы теперь начнём наш процесс иначе, то мы можем либо выбрать первые два множителя отличными от $a$ и $b$, например составить комплекс $R''$ из $r-1$ чисел

$a,b,(cd),....n(R'')$,

или же сохранить одно из чисел $a$ и $b$, т. е. составить, скажем, комплекс

$(ac),b,d,....n(R''')$.

Согласно допущению, произведения чисел в каждом из комплексов $R'$, $R''$ и $R'''$ не зависят от порядка вычисления; вследствие этого вычисление можно продолжать так, чтобы после первого же приёма комплексы $R'$ и $R''$, а также комплексы $R'$ и $R'''$ дали тождественные результаты; именно, комплексы $R'$ и $R''$, очевидно, могут дать комплекс

$(ab),(cd),....n$;

комплексы же $R'$ и $R'''$ могут дать результат

$(abc),d,....n$.

А так как $R'$, как уже было сказано, во всяком случае даёт одно и то же окончательное произведение, то то же произведение дают комплексы $R''$ и $R'''$.

5. Из соответствующих предложений относительно сложения непосредственно вытекает, что произведение двух сомножителей возрастает с каждым из них, т. е. если

$a>a'$,

то

$ab>a'b$;

и подавно, если

$a>a'\qquad$ и $b>b'$,

то

$ab>a'b'$.

Посредством индукции отсюда легко вывести предложение, что произведение какого угодно числа сомножителей возрастает, если увеличим некоторые из его множителей, а остальные оставим без изменения. Как следствие отсюда, получаем также, что произведение $ac$ лишь в том случае равно произведению $bc$, если $a=b$.

Примечания

1. т. е. введем в качестве особого соглашения
2. Опечатка. Новый комплекс должен иметь какое-то иное обозначение, например $M_{1}$. — Примечание редактора Викитеки.
3. т. е. что результат не зависит от порядка процесса