Энциклопедия элементарной математики. Том 1 (Вебер,Каган)/Книга 1/Глава 2/§ 8/ДО

Энциклопедія элементарной математики. Томъ I. Элементарная алгебра и анализъ. — Книга I. Основанiя ариѳметики. Глава II. Натуральныя числа. § 8. Умноженiе.
авторъ Генрихъ Веберъ (1842—1913), пер. Веніаминъ Каганъ (1869—1953)

Оригинал: нем. Lehrbuch der Algebra. — См. Оглавленіе. Перевод опубл.: 1906. Источникъ: Сканы, размещённые на Викискладе

§ 8. Умноженiе.

Часто приходится составлять суммы одинаковыхъ слагаемыхъ; для нихъ введено особое обозначенiе. Чтобы это объяснить, предположимъ, что намъ дано $a$ слагаемыхъ, которыя всѣ равны $b$, и что нужно образовать сумму всѣхъ этихъ чиселъ, т. е. напримѣръ

$b+b+b$ при $a=3$

$b+b+b+b$ при $a=4$.

Сумму этихъ $a$ чиселъ мы будемъ обозначать символомъ $a.b$, или $a\times b$, или, наконецъ, просто черезъ $ab$. Образованiе этой суммы называется умноженiемъ числа $b$ на число $a$. Число $b$ называется множимымъ, число $a$ множителемъ, $ab$ — результатъ умноженiя — произведенiемъ числа $b$ на число $a$.

Согласно опредѣленiю, $a.1=a$; мы положимъ также ^[1] $1.b=b$, такъ какъ это въ предыдущемъ опредѣленiи не содержится. Умноженiе на большаго множителя можетъ быть приведено къ умноженiю на меньшихъ множителей посредствомъ рекуррентной формулы

$(a+1)b=ab+b$,

(1)

которая, въ виду установленнаго выше соглашенiя, сохраняетъ свою силу также при $a=1$.

2. Первое основное предложенiе относительно умноженiя есть законъ перемѣстительный, заключающiйся въ томъ, что результатъ умноженiя не измѣнится, если мы множимое и множителя замѣнимъ другъ другомъ; этотъ законъ выражается соотношенiемъ

$ab=ba$.

(2)

Доказательство этого предложенiя можетъ быть произведено при помощи совершенной индукцiи. Представимъ себѣ $a$ конечныхъ комплексовъ $B$, которые мы для отличiя будемъ обозначать черезъ $B_{1}$, $B_{2}$, ... $B_{a}$; допустимъ, что эти комплексы не имѣютъ попарно общихъ элементовъ, но всѣ имѣютъ одну и ту-же мощность $b$. Въ такомъ случаѣ произведенiе $ab$ представляетъ собой число комплекса $M$, который получимъ, если соединимъ всѣ наши комплексы $B_{1}$, $B_{2}$ ... $B_{a}$.

Теперь къ каждому изъ комплексовъ $B_{1}$, $B_{2}$ ... $B_{a}$ мы присоединимъ еще по одному элементу, такъ что $b$ перейдетъ въ $b+1$. Этимъ мы присоединяемъ къ $M$ еще $a$ новыхъ элементовъ. Если $M$^[2] есть комплексъ, который мы такимъ образомъ получаемъ вместо $M$, то онъ выражается числомъ $ab+a$; съ другой стороны, тотъ же комплексъ можетъ быть выраженъ числомъ $a(b+1)$, а потому

$ab+a=a(b+1)$;

(3)

это соотношенiе сохраняетъ свою силу и при $b=1$. Но при $b=1$, въ силу самаго определенiя,

$ab=ba$.

Если мы поэтому примемъ, что соотношение (2) доказано для нѣкотораго значенiя числа $b$, то изъ равенства (3) вытекаетъ

$a(b+1)=ba+a$;

если же мы въ соотношенiи (1) замѣнимъ $a$ и $b$ другъ другомъ, то получимъ

$ba+a=(b+1)a$;

следовательно,

$a(b+1)=(b+1)a$,

т. е. справедливость соотношенiя (2) доказана и для ближайшаго большаго значенiя числа $b$. Мы можемъ поэтому примѣнить индуктивный прiемъ, и предложенiе доказано во всемъ его объемѣ.

Въ силу этого нѣтъ болѣе основанiй къ тому, чтобы отличать другъ отъ друга множимое и множителя; ихъ называютъ обыкновенно безразлично сомножителями произведенiя.

Для производства умноженiя достаточно знать произведенiя любыхъ двухъ чиселъ въ ряду 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — которыя мы составляемъ непосредственнымъ счетомъ и запечатлѣваемъ въ своей памяти. Десятичная система счисленiя даетъ возможность извѣстнымъ способомъ составлять произведенiя большихъ чиселъ.

3. Законъ сочетательный или ассоцiативный.

Представимъ себѣ теперь, что каждый элементъ во всѣхъ комплексахъ $B_{1}$, $B_{2}$, $B_{3}$ ... $B_{a}$ замѣщенъ нѣкоторымъ комплексомъ $C$; предположимъ, что всѣ эти комплексы $C$ имѣютъ одинаковую мощность $c$, но никакие два изъ нихъ не имѣютъ общихъ элементовъ. Теперь соединимъ всѣ элементы этихъ комплексовъ $C$ въ одинъ комплексъ $P$, число котораго намъ нужно опредѣлить.

Но число комплексовъ $C$ есть $ab$ следовательно, число всѣхъ элементовъ комплекса $P$ равно

$(ab)c$.

Съ другой стороны, въ каждомъ комплексе $B$ содержится $bc$ элементовъ; а такъ какъ число комплексовъ $B$ равно $a$, то число элементовъ

комплекса $P$ равно также

$a(bc)$.

Отсюда получаемъ соотношенiе

$(ab)c=a(bc)$,

которое и выражаетъ сочетательный или ассоцiативный законъ. Сочетая этотъ законъ съ предыдущимъ, мы можемъ представить произведенiе трехъ сомножителей въ 12 различныхъ видахъ.

Правило производства вычисленiя можно выразить слѣдующимъ образомъ: выбираемъ любыя два изъ данныхъ трехъ чиселъ $a$, $b$ и $c$ и перемножаемъ ихъ, — произведенiе же умножаемъ на третье число; результатъ не зависитъ отъ того, какъ мы выбрали первыя два числа, и такъ какъ поэтому скобки уже не нужны, то мы обозначимъ его такъ:

$m=abc$.

Число m называется произведенiемъ трехъ чиселъ $a$, $b$ и $c$, а послѣднiя называются сомножителями этого произведенiя.

Доказательство перемѣстительнаго и сочетательнаго законовъ можно сделать нагляднымъ, если мы представимъ себѣ элементы комплексовъ $C$ въ виде шаровъ; шары эти распредѣлимъ въ ряды по $c$ въ каждомъ ряду; $b$ такихъ рядовъ расположимъ въ видѣ прямоугольника, и затѣмъ $a$ такихъ прямоугольниковъ положимъ одинъ на другой. Вся фигура имѣетъ въ такомъ случае видъ прямоугольной призмы, три сходящихся ребра которой соответственно содержатъ $a$, $b$ и $c$ шаровъ. Эти шары можно тремя способами распределить въ прямоугольники, а каждый прямоугольникъ двумя способами разбить въ ряды.

4. Опираясь на эти предложенiя, мы можемъ при помощи индукцiи опредѣлить произведенiе любого числа множителей.

Положимъ, что намъ данъ комплексъ $R$, состоящiй изъ чиселъ

$a,b,c,d,...n(R)$.

Пусть $r$ будетъ число этихъ чиселъ. Выберемъ изъ нихъ произвольно два, перемножимъ ихъ и присоединимъ произведенiе къ остальнымъ числамъ. Мы получимъ комплексъ, содержащiй $r-1$ чиселъ. Съ этимъ комплексомъ мы поступимъ такъ же, какъ съ прежнимъ, т. е. вновь выберемъ два числа, перемножимъ ихъ и присоединимъ произведенiе къ остальнымъ числамъ. Этотъ процессъ мы продолжимъ до тѣхъ поръ, пока не получимъ только одно число. Это число не зависитъ отъ того, какъ мы выбирали въ каждомъ случаѣ два числа для перемноженiя, т. е. не зависитъ отъ порядка нашего вычисленiя. Это число мы будемъ называть произведенiемъ сомножителей $a$, $b$, $c$, ... $n$ и, обозначая

его черезъ $m$, будемъ писать

$m=abcd...n$,

т. е. попросту напишемъ сомножителей одинъ за другимъ.

Для доказательства высказаннаго утвержденiя, на которое опирается это опредѣленiе ^[3], мы вновь воспользуемся совершенной индукцiей. Какъ было доказано въ п. п. 2 и 3, предложенiе это справедливо, когда $r=2$ или же когда $r=3$ (здѣсь нельзя ограничиться случаемъ $r=2$, т. к. при двухъ сомножителяхъ ассоцiативный законъ не находитъ себѣ примѣненiя). Теперь примемъ, что наше предложенiе справедливо для произведенiя $r-1$ сомножителей и докажемъ, что оно при этихъ условiяхъ справедливо и для произведенiя $r$ сомножителей. Итакъ, въ системѣ $R$ выберемъ прежде всего два числа и составимъ ихъ произведенiе; за эти числа могутъ быть взяты $a$ и $b$ — это зависитъ только отъ обозначенiя; мы получаемъ, такимъ образомъ комплексъ $R'$, содержащiй $r-1$ чиселъ

$(ab),c,d,....n(R')$.

Если мы теперь начнемъ нашъ процессъ иначе, то мы можемъ либо выбрать первые два множителя отличными отъ $a$ и $b$, напримѣръ составить комплексъ $R''$ изъ $r-1$ чиселъ

$a,b,(cd),....n(R'')$,

или же сохранить одно изъ чиселъ $a$ и $b$, т. е. составить, скажемъ, комплексъ

$(ac),b,d,....n(R''')$.

Согласно допущенiю, произведенiя чиселъ въ каждомъ изъ комплексовъ $R'$, $R''$ и $R'''$ не зависятъ отъ порядка вычисленiя; вслѣдствiе этого вычисленiе можно продолжать такъ, чтобы послѣ перваго-же прiема комплексы $R'$ и $R''$, а также комплексы $R'$ и $R'''$ дали тождественные результаты; именно, комплексы $R'$ и $R''$, очевидно, могутъ дать комплексъ

$(ab),(cd),....n$;

комплексы-же $R'$ и $R'''$ могутъ дать результатъ

$(abc),d,....n$.

А такъ какъ $R'$, какъ уже было сказано, во всякомъ случаѣ даетъ одно и то же окончательное произведенiе, то то же произведенiе даютъ комплексы $R''$ и $R'''$.

5. Изъ соотвѣтствующихъ предложенiй относительно сложенiя непосредственно вытекаетъ, что произведенiе двухъ сомножителей возрастаетъ съ каждымъ изъ нихъ, т. е. если

$a>a'$,

то

$ab>a'b$;

и подавно, если

$a>a'\qquad$ и $b>b'$,

то

$ab>a'b'$.

Посредствомъ индукцiи отсюда легко вывести предложенiе, что произведенiе какого угодно числа сомножителей возрастаетъ, если увеличимъ нѣкоторые изъ его множителей, а остальные оставимъ безъ измѣненiя. Какъ слѣдствiе отсюда, получаемъ также, что произведенiе $ac$ лишь въ томъ случаѣ равно произведенiю $bc$, если $a=b$.

Примѣчанія.

1. т. е. введемъ въ качествѣ особаго соглашенiя
2. Опечатка. Новый комплекс должен иметь какое-то иное обозначение, например $M_{1}$. — Примечание редактора Викитеки.
3. т. е. что результатъ не зависитъ отъ порядка процесса