Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях (Лахтин)/Введение

Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях — Введение
автор Л. К. Лахтин

Введение.

‎После того, как Абель строго доказал невозможность решения в радикалах алгебраических уравнений 5-ой и высших степеней общего вида, все усилия математиков в области высшей алгебры должны были направиться по двум путям:

1) к нахождению по возможности всех видов алгебраических уравнений, разрешимых в радикалах;

2) к исследованию корней алгебраического уравнения, как функций его коэффициентов.

Первое направление сохранило свой прежний характер — чисто алгебраический.

Второе направление, созданное трудами Пюизе и Римана, получило характер теории функций комплексного переменного.

Когда трудами Римана и его учеников уяснились с замечательной полнотой свойства алгебраических функций, возник вопрос о более подробном изучении отдельных наиболее простых алгебраических уравнений.

Понятно, что после изученных еще Гауссом двучленных уравнений стояло на очереди изучение уравнений трехчленных. Изучение этих уравнений, начатое английскими математиками: Гарлеем, Кэли и Булем, было в сравнительно недавнее время вполне завершено профессором П. А. Некрасовым.

Гарлей впервые обнаружил то свойство корней трехчленного уравнения, что они суть частные интегралы так называемых двучленных линейных дифференциальных уравнений^[1]. Это обстоятельство интересно, между прочим, потому, что двучленные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка — суть гипергеометрические.

Рядом с изучением трехчленных уравнений шло изучение алгебраических уравнений, появляющихся в теории преобразования эллиптических функций: уравнений модулярных и уравнений множителя^[2]. Эти замечательные уравнения были найдены Якоби, в честь которого один из классов относящихся сюда уравнений получил название класса уравнений Якоби (название, предложенное Бриоски).

Модулярные уравнения были изучаемы весьма разносторонне. Между прочим Галуа нашел группу этих уравнений и доказал возможность понизить на единицу порядок модулярных уравнений простых степеней до 11-ой включительно.

Наиболее важный шаг в этой области сделал Эрмит. Он сопоставил два уравнения 5-ой степени: уравнение, получаемое понижением на единицу порядка модулярного уравнения 6-ой степени с общим уравнением 5-ой степени в трехчленной форме Жеррарда. При этом Эрмит нашел, что всякое уравнение 5-ой степени разрешимо в модулярных эллиптических функциях.

После опубликования Эрмитом этих исследований в 1858 году, Кронекер прислал Эрмиту письмо, в котором говорит, что он уже работал в этом направлении и сообщает ему в кратких чертах результаты своих исследований^[3]. Кронекер предложил решение уравнения 5-ой степени, основанное на преобразовании его в уравнение Якоби 6-ой степени.

Эти труды дали толчок к разработке вопроса в том же направлении, которым, кроме Кронекера, занялся Бриоски и целый ряд самых выдающихся немецких математиков. Германские математики подошли, однако, к этой области исследований совершенно иными соображениями.

Необходимо заметить, что сам Эрмит, сделав такое важное открытие в высшей алгебре, не оценил его значения. Он сравнивает свое решение уравнения 5-ой степени с тригонометрическим решением кубического уравнения и полагает, что его решение дает возможность только вычислять корни уравнения 5-ой степени, но не выражать их, как многозначные функции параметров уравнения^[4].

Такой взгляд Эрмита на решение уравнения 5-ой степени едва ли можно назвать верным. Формула Эрмита, содержащая в себе трансцендентные функции, выражает все корни уравнения 5-ой степени, как функции его параметров в том же самом смысле, в каком формула, содержащая в себе радикалы, выражает многозначную алгебраическую функцию.

Для уяснения обратимся к простому примеру. Известно, что

$\cos {\frac {1}{2}}[\arccos z]={\sqrt {\frac {1+z}{2}}}.$

‎Ясно, что выражение, стоящее в левой части этого равенства и содержащее в себе две трансцендентные функции есть двухзначная алгебраическая функция вполне тождественная с

${\sqrt {\frac {1+z}{2}}}$

‎и выражает оба корня двучленного уравнения:

$2y^{2}=1+z.$

‎Совершенно то же можно сказать о тригонометрическом решении кубического уравнения, которое Эрмит приводит в виде примера: функция

$x=2\sin {\frac {1}{3}}{\bigg [}\arcsin a{\bigg ]}$

‎так же точно выражает собой все три корня кубичного уравнения

$x^{3}-3x+2a=0,$

‎как и формула Кардано.

То же самое относится и к предложенному Эрмитом решению уравнения 5-ой степени. Рассматривая Эрмитово решение уравнения 5-ой степени и два только что приведенных примера трансцендентного решения алгебраических уравнений, мы замечаем, что все эти формулы имеют одинаковый характер^[5]: алгебраическая функция изображается в виде комбинации двух трансцендентных:

${\mathit {\Phi }}[f(z)].$

‎При этом внутренняя функция $f$ есть многозначная и все значения её связаны между собой линейно. Так, в первом примере значения её таковы:

$\arccos z,\ \arccos z+2\pi ,\ \arccos z+4\pi ,\ \ldots$

‎Внешняя функция ${\mathit {\Phi }}$ есть однозначная функция. Она не меняется при некоторых из тех линейных преобразований, которые связывают между собой значения функции $f$. Так, в 1-м примере имеют место равенства:

$\cos {\frac {1}{2}}[\arccos z+4\pi ]=\cos {\frac {1}{2}}[\arccos z],$ $\cos {\frac {1}{2}}[\arccos z+6\pi ]=\cos {\frac {1}{2}}[\arccos z+2\pi ],$

‎и т. д.

В решении Эрмита внутренняя функция $f$ есть величина

$\omega ={\frac {iK'}{K}},$

‎рассматриваемая, как функция величины $u={\sqrt[{4}]{k}}$, где $k$ — модуль эллиптических интегралов. Величина $\omega$ есть многозначная функция, значения которой связаны между собой линейно. Она представляется в виде отношения двух частных интегралов того гипергеометрического уравнения, которому удовлетворяют полные эллиптические интегралы $K$ и $K'$. Наружная функция ${\mathit {\Phi }}$ в формуле Эрмита довольно сложная; она определяется так:

${\mathit {\Phi }}(\omega )=\left[\varphi (5\omega )+\varphi \left({\frac {\omega }{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\omega +16}{5}}\right)-\right.$ $\left.-\,\varphi \left({\frac {\omega +4\cdot 16}{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\omega +2\cdot 16}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\omega +3\cdot 16}{5}}\right)\right],$

‎где $\varphi (\omega )$ выражает $u$, как функцию $\omega$:

$u=\varphi (\omega ).$

‎Функция ${\mathit {\Phi }}$ не меняется от целого ряда линейных подстановок, связывающих между собой значения многозначной функции $\omega$.

В результате двух трансцендентных операций мы получаем пятизначную функцию

${\mathit {\Phi }}(\omega )$

‎величины $u$.

Функции однозначные, не меняющиеся от некоторых линейных подстановок, впоследствии были названы Клейном автоморфными функциями. Поэтому Эрмитово решение уравнения 5-ой степени можно назвать решением в автоморфных и гипергеометрических функциях.

Интересна та особенность алгебраических функций, что одна и та же функция иногда может быть выражена при помощи различных комбинаций пар трансцендентных функций, например:

${\mathit {\Phi }}[f(z)]$ и ${\mathit {\Phi }}_{1}[f_{1}(z)].$

‎В таком случае возникает вопрос о простейшем выражении функции.

Значительно позднее работы Эрмита Клейну удалось выразить корни уравнения 5-ой степени, выбрав пару функций ${\mathit {\Phi }}$ и $f$ так, что $f$ есть функция алгебраическая, значения которой связаны между собой линейно, и имеющая вид отношения двух гипергеометрических функций, а ${\mathit {\Phi }}$ — есть рациональная алгебраическая дробь.

Понятно, что это был второй наиболее важный шаг в теории уравнений 5-ой степени.

Немецкие математики, как я упомянул выше, подошли к рассматриваемой нами задаче высшей алгебры, идя совершенно иным путем, нежели каким шел Эрмит.

В 1872 году Шварц напечатал в журнале Крелле свои исследования о тех случаях, когда гипергеометрический ряд изображает собой алгебраическую функцию^[6].

Он был приведен к этим работам своими предшествующими исследованиями о подобном отображении; и благодаря этому работа его содержит в себе замечательные по простоте и изяществу геометрические истолкования особенностей изучаемых им функции.

Функции, изучаемые Шварцем, суть отношения частных интегралов гипергеометрического уравнения и сами удовлетворяют некоторому дифференциальному уравнению 3-го порядка нелинейному.

Введение этих новых функций было, несомненно, важной заслугой Шварца, вследствие чего они и получили название функций Шварца.

Функция Шварца есть многозначная функция. Значения её связаны между собой линейно.

Каждое значение функция Шварца отображает как верхнюю, так и нижнюю полуплоскость независимого переменного в виде треугольника, ограниченного дугами кругов. Два треугольника, соответствующие двум половинам плоскости, между собой смежны и симметричны относительно общей стороны. Все значения функции Шварца отображают плоскость независимо переменного в виде сети таких треугольников. Сеть эта может покрывать собой или всю плоскость, или только часть ее. В последнем случае сеть заключена внутри круга конечных размеров и ортогонального ко всем дугам окружностей, служащим сторонами треугольников сети.

Функции, обратные функциям Шварца, принадлежат к числу автоморфных, т. е. не меняются от некоторой группы линейных подстановок. В случае, если сеть функции Шварца заключена внутри ортогонального круга, то точки этого круга все служат существенно особыми точками соответствующей ей автоморфиой функции; самый круг служит естественной границей функции, за которую никакое аналитическое продолжение функции невозможно. Это — факт, с которым встретился еще Эрмит, но он не мог объяснить его потому, что он не знал этих геометрических истолкований, найденных Шварцем позднее работ Эрмита.

Шварц в своей работе обнаружил все те случаи, когда его функция есть функция алгебраическая, и указал, что вопрос об этих случаях находится в самой тесной связи с вопросом о делении поверхности сферы на равные части, а этот последний вопрос решается очень просто при посредстве многогранников. Поэтому самые уравнения открытые Шварцем, получили названия: двупирамидное, тетраэдрическое, октаэдрическое, икосаэдрическое.

В 1875 году Клейн, не зная, как он говорит сам, о работе Шварца, напечатал статью «О бинарных формах с линейными преобразованиями в себя самих»^[7]. В этой работе Клейн исходит из геометрических представлений. Он доказывает, что каждому повороту сферы Неймана соответствует линейное преобразование плоскости. Благодаря этому он приводит задачу о группах линейных подстановок к задаче о группе поворотов сферы и, в сущности тоже к делению сферы на равные части при помощи вписанных многогранников.

Изучая коварианты найденных им основных форм (Grundformen), Клейн приходит к некоторым уравнениям 5-ой и 6-ой степени. Эти уравнения дали впоследствии Клейну возможность найти решение уравнения 5-ой степени общего вида.

В 1876 году Фукс, продолжая целую серию своих исследований о линейных дифференциальных уравнениях, напечатал в журнале Крелле мемуар «О линейных дифференциальных уравнениях 2-го порядка, имеющих алгебраические интегралы и об одном новом приложении теории инвариантов»^[8]. Он старается установить критерий для решения вопроса, не имеет ли данное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка алгебраических интегралов. При этом Фукс обнаруживает целый ряд свойств алгебраических уравнений, корни которых удовлетворяют линейным дифференциальным уравнениям 2-го порядка, вводит понятие о первичных формах (Primformen) и исследует многие замечательные свойства этих форм. Эти формы суть ничто иное, как те, которые Клейном были названы основными формами.

Классифицируя те уравнения, которые имеют корнями частные интегралы линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка, Фукс приходит к тем же самым случаям, которые были указаны Шварцем.

Впоследствии, когда эти исследования Фукса были пополнены трудами Жордана, напечатавшего в журнале Крелле обширные исследования о линейных дифференциальных уравнениях с алгебраическим интегралом^[9] и работами Гордана, о которых мы скажем ниже, Фукс напечатал второй мемуар, озаглавленный так же, как и первый и помещенный в 85 томе журнала Крелле. Здесь он указывает между прочим способ, как вычислить коэффициенты алгебраических уравнений изучаемого им класса.

После работы Клейна, помещенной в IX томе Математических Анналов, в этом журнале появляется целый ряд исследований такого же характера и принадлежащих как самому Клейну, так и многочисленным его ученикам. Эти работы в начале носят алгебраический характер, но постепенно область этих работ расширяется и таким образом создается обширная литература теории автоморфных функций, до сих пор еще далеко не завершенная. Благодаря этой литературе мы знакомимся с целым рядом свойств функций нового класса, охватывающего собой весь класс функций двоякопериодических, как частный случай.

Имея в виду задачу чисто алгебраического характера, я не останавливаюсь долее на этой весьма интересной литературе теории автоморфных функций.

Первые работы самого Клейна и отчасти других математиков собраны им в отдельной книге, озаглавленной: «Vorlesungen über das Ikosaeder». Дальнейшие его работы, касающиеся модулярных функций, обработанные Фрикке, изданы в виде весьма обширного сочинения, озаглавленного: «Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen». Первый том этого сочинения появился в 1890 году, второй том появился только в самое последнее время в настоящем 1892 году.

Заглавия других работ Клейна, касающихся вопроса о решении алгебраических уравнений в гипергеометрических функциях и других вопросов наиболее тесно связанных с этим я приведу ниже.

Из числа других математиков, особенно много потрудившихся в рассматриваемой нами области необходимо указать на Гордана и Бриоски.

Работы Гордана помещены в Математических Анналах и идут почти параллельно работам Клейна. Различие этих работ состоит в том, что Клейн везде пользуется геометрическими представлениями, между тем как Гордан ведет исследования чисто аналитически, пользуясь весьма искусно символическим методом Аронгольда, обычным в теории бинарных алгебраических форм. Между прочим он весьма остроумно находит характерное свойство первичных форм наинисшей степени, выражаемое условием, чтобы ковариант

$(f,\ f)^{4}$

‎был тождественный нуль.

Работы Бриоски касаются главным образом уравнений 5-ой степени и Якобиевых уравнений 6-ой степени. Уравнения эти исследованы им с замечательной полнотой и ясностью. Мемуары Бриоски помещены частью в Annali di Matematica, частью в Mathematische Annalen.

Так как теория алгебраических уравнений, разрешимых в гипергеометрических функциях находится в тесной связи с теорией групп линейных подстановок, то говоря о литературе этого вопроса, нельзя не упомянуть о работах Пуанкаре. Особенно интересен в этом отношении его мемуар в 1 томе Acta Mathematica, озаглавленный: «Théorie des groupes Fuctiennes». Хотя этот мемуар касается исключительно групп, которые Пуанкаре называет Фуксовыми^[10], тем не менее многие результаты, даваемые Пуанкаре в этом мемуаре, легко обобщаются на случай каких угодно подстановок.

В нашей русской литературе встречается очень мало сочинений, затрагивающих вопросы об алгебраических интегралах дифференциальных уравнений, о трансцендентном решении алгебраических уравнений и о группах линейных подстановок. Мне удалось найти только следующие работы такого характера:

1) Васильев. О функциях рациональных, аналогичных с функциями двоякопериодическими.

2) Савич. О линейных обыкновенных дифференциальных уравнениях.

3) Ермаков. Круговое преобразование.

О других работах, касающихся тех же вопросов, я упомяну ниже при указании литературы.

---

Цель настоящего моего сочинения — собрать, обработать и изложить в возможно более систематическом порядке все то, что касается свойств, вида и решения всех тех алгебраических уравнений, которые разрешимы в гипергеометрических функциях, причем радикалы могут входить в формулы. Эти решения суть алгебраические в собственном смысле слова.

Трансцендентное решение уравнений в мою работу не входит: трансцендентное решение содержит в себе кроме гипергеометрических функций еще новый элемент — трансцендентные автоморфные функции. Задача об алгебраических уравнениях разрешимых в гипергеометрических и автоморфных функциях далеко выходит за указанные выше пределы моего сочинения. Она представляет собой весьма большой интерес и я надеюсь посвятить ей следующую свою работу, для которой настоящая служит лишь как бы введением.

Укажу в кратких чертах план моей работы.

Прежде чем приступить к постановке общей задачи об алгебраических уравнениях, разрешимых в гипергеометрических функциях, я останавливаюсь весьма подробно на изучении свойств, видов и решений двух отдельных классов относящихся сюда уравнений. Эти два класса суть:

1) уравнения, имеющие корнями частные интегралы линейного дифференциального уравнения 2-го порядка;

2) уравнения, имеющие корнями отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.

Первый из этих классов впервые был изучен Фуксом, а второй — Шварцем.

Эти уравнения служат ядром всей теории: всякое уравнение, разрешимое в гипергеометрических функциях, может быть получено рациональным или иррациональным преобразованием одного из уравнений указанных классов.

Первые восемь глав моей работы посвящены этим двум классам уравнений.

Глава I содержит в себе изложение свойств уравнений первого из двух указанных классов. Эти свойства я излагаю в виде ряда теорем, заимствованных мной главным образом в указанном выше мемуаре Фукса и пополненных теми новыми теоремами, которые оказались необходимыми в дальнейшем изложении. Рассмотрев свойства первичных форм, введенных Фуксом, я совершенно оставляю в стороне его изложение и показываю, что найдя первичную форму наинисшей степени и ее коварианты, весьма легко построить новое уравнение, которому удовлетворяют отношения корней изучаемого уравнения. Это новое уравнение имеет такой вид:

$H^{\lambda _{1}}(u):c_{1}T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)={\frac {1}{c}}R(z):{\frac {1}{c}}R(z)-1:1,$

(A)

‎где $f(u)$ многочлен, соответствующий первичной форме наинисшей степени, $H(u)$ — его гессиан, $T(u)$ — функциональный определитель от $f(u)$ и $H(u)$, функция $R(u)$ — некоторая рациональная функция переменного $z$, а показатели $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, $\lambda$ суть целые числа, которые равны индексам или половинам индексов первичных функций $f(u)$, $H(u)$, $T(u)$. Уравнение (A) есть уравнение второго из указанных выше классов. При моем способе изложения вид его с самого начала определен и остается найти функцию $f(u)$ и показатели $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, $\lambda$, ибо функция $R(u)$ совершенно произвольна.

Найдя уравнение (A), я показываю, что корни уравнения первого из двух изучаемых классов выражаются, как явные функции корней уравнения (A).

Этим самым теория уравнений первого из двух классов приведена к теории уравнений второго класса и только впоследствии приходится вернуться к ним, чтобы найти внешний вид этих уравнений.

В главе II я излагаю свойства уравнений вида (A), т. е. уравнений второго из двух изучаемых мною классов. Свойства этих уравнений изложены в работах Шварца и Клейна, но вследствие особенностей моего исследования, мне удалось упростить изложение этой главы. Доказав, следуя Клейну, что всякое уравнение вида (A) разрешимо в гипергеометрических функциях, я тем самым доказываю, что все уравнения первого класса тоже разрешимы в гипергеометрических функциях.

Так как корни уравнения (A) могут быть представлены, в виде функций Шварца от аргумента ${\frac {1}{c}}R(z)$, то необходимо было рассмотреть довольно подробно свойства этих функций.

Глава III содержит в себе изложение свойств функций Шварца:

$s\left({\frac {1}{\lambda _{1}}},\ {\frac {1}{\lambda }},\ {\frac {1}{\lambda _{2}}},\ z\right).$

‎Источниками для этой главы послужили, кроме мемуаров самого Шварца, сочинения Клейна: Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen^[11] и отчасти Vorlesungen über das Ikosaeder. Изложение этой главы довольно близко к Клейну.

Обнаружив существование четырех типов конечных групп линейных подстановок и указав на геометрический способ построения соответствующих им сетей, я приступаю к вычислению подстановок этих групп. Решение этой задачи приведено в главе IV.

Изложив вначале главы IV некоторые свойства групп линейных подстановок по Пуанкаре, я далее применяю эти свойства к нахождению основных подстановок конечных групп и затем уже нахожу все подстановки группы. Через это достигается значительное упрощение в решении как данной, так и последующей задачи, состоящей в нахождении числовых коэффициентов уравнения (A). При построении сетей, соответствующих конечным группам, я строю несколько нормальных сетей каждого типа для того, чтобы в дальнейшем изложении можно было упростить вычисления и довести их до конца.

В главе V приведено вычисление коэффициентов уравнений (A) различных типов. Эти вычисления совершаются весьма просто как по плану, так и с механической стороны благодаря тому, что наперед известны основные подстановки групп.

В главе VI изложены инвариантные свойства первичных форм и соотношения между первичными формами различных типов. Это — собрание теорем и формул, необходимых для последующих глав. Содержание этой главы частью заимствовано у Гордана и Клейна, частью — оригинально.

Глава VII содержит решение уравнений вида (A). Само решение я разделяю на следующие стадии:

1) Применяю критерий с целью узнать, принадлежит ли данное нам алгебраическое уравнение к числу уравнений изучаемого класса и вместе с тем привожу к виду (A), если оно оказывается принадлежащим к этому классу. Этот критерий найден мною и основан на теореме Гордана, изложенной в предшествующей главе.

2) Привожу уравнение вида (A) к нормальному виду. На такое приведение к нормальному виду есть указание у Клейна.

3) Решаю уравнение вида (A), приведенное к нормальной форме.

Корни уравнения (A) типов: двупирамидного, тетраэдрического и октаэдрического — могут быть выражены в радикалах. Этот способ решения найден Клейном; он основан на тех соотношениях, которые приведены у меня в главе VI. Икосаэдрическое уравнение оказывается не разрешимым в радикалах.

Уравнения всех типов разрешимы в гипергеометрических функциях. Эти решения приведены мною в явной форме. Подобные решения приведены у Клейна и у Пухты^[12]; но они представлены там в иной форме и основаны на иных соображениях.

Этим заканчивается изучение уравнений вида (A).

В VIII главе я возвращаюсь к уравнениям того класса, которому посвящена глава I с тем, чтобы найти внешний вид этих уравнений. Эти уравнения получаются из уравнений вида (A) некоторыми иррациональными преобразованиями. Степени этих уравнений весьма высоки и коэффициенты сложны, вследствие чего они представляют интерес гораздо меньший, чем уравнения вида (A). Способ вычисления коэффициентов этих уравнений указан во втором мемуаре Фукса.

Окончив таким образом изучение двух отдельных классов уравнений, я приступаю в главе IX к постановке и упрощению общей задачи об алгебраических уравнениях, разрешимых в гипергеометрических функциях. Помещенное в этой главе изложение некоторых свойств групп линейных подстановок заимствовано мною из мемуара Пуанкаре, а изложение некоторых свойств автоморфных функций заимствовано у Клейна из Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen. За исключением этих двух подготовительных параграфов остальное в этой главе оригинально. Оказывается, что всякое уравнение, разрешимое в гипергеометрических функциях, может быть получено рациональным или иррациональным преобразованием уравнения вида (A). При этом задача всегда может быть приведена к рациональному преобразованию уравнения (A). Рациональное преобразование в свою очередь распадается на два:

1) рациональное преобразование уравнения (A), понижающее его степень относительно неизвестной функции, не изменяя степени его относительно независимого переменного. В результате получается уравнение вида:

$F_{1}(\zeta ):F_{2}(\zeta ):F(\zeta )={\frac {1}{c}}R(z):{\frac {1}{c}}R(z)-1:1,$

(B)

‎где $\zeta$ есть новая неизвестная функция, $F_{1}$, $F_{2}$, $F$ суть целые многочлены;

2) рациональное преобразование уравнения (B), не изменяющее его степень относительно неизвестной функции и, вообще говоря, меняющее его степень относительно независимого переменного $z$. В результате получается окончательное уравнение:

$\Psi (Y,\ z)=0,$

(C)

‎разрешимое в гипергеометрических функциях.

Наибольший интерес и важность представляет первое из этих преобразований. Таких преобразований существует весьма ограниченное число и каждое из них соответствует определенной подгруппе группы уравнения (A).

Преобразований второго рода существует бесконечное число, и они способны только иногда упростить по виду уравнение (B).

В главе X рассмотрены все подгруппы, входящие в состав конечных групп линейных подстановок, выделены те из них, которые для рассматриваемой теории имеют интерес и составлены соответствующие им резольвенты. Теоремы главы IX дают возможность очень легко найти группы Галуа для этих резольвент и указать геометрические представления соответствующие тем подгруппам, которые приводят к этим резольвентам. Эти резольвенты оказываются следующие:

1) уравнение кубическое с симметрической группой;

2) уравнение 4-ой степени с знакопеременной группой;

3) уравнение 4-ой степени с симметрической группой;

4) уравнение 5-ой степени с знакопеременной группой;

5) уравнение Якоби 6-ой степени.

Эти резольвенты найдены Клейном, но указанный выше обзор подгрупп, соответствующих им геометрических представлений и групп субституций^[13] приводятся мною впервые.

Глава XI содержит решение уравнений 3-ей, 4-ой и 5-ой степени общего вида и Якобиева уравнения 6-ой степени общего вида. Эта глава в значительной степени заимствована мною у Клейна, Бриоски и отчасти Эрмита.

---

Заглавия сочинений, послуживших источниками настоящей работы или наиболее близко касающихся тех же вопросов, приведены мною в конце статьи.

---

Сноски

1. Необходимо заметить, что Ланден еще в 1755 году обратил внимание на то дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют корни кубичного уравнения: $q=-(x^{2}-px)$

   ‎и из него получил формулу Кардано.

2. Известно, что дифференциальное уравнение: ${\frac {dy}{\sqrt {(1-y^{2})(1-\lambda ^{2}y^{2})}}}={\frac {Mdx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\lambda ^{2}x^{2})}}}$

   ‎только в том случае имеет рациональный алгебраический интеграл вида:

   $y={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}},$

   ‎когда $\lambda$ и $M$ суть некоторые алгебраические функции модуля $k$.

   ‎Уравнение, связывающее между собой модули $\lambda$ и $k$, называется модулярным, а уравнение, связывающее множитель $M$ с модулем $k$ называется уравнением множителя.
3. Письмо Кронекера приведено в отдельной книге, содержащей работы Эрмита: Sur la théorie des équations modulaires et la résolution de l’équation du cinquième degré. 1859.
4. «Au lieu de chercher à représenter par une formule radicale à déterminations multiples le système des racines si étroitement liées entre elles lorsqu’on les considère comme fonctions des coefficients, on peut, ainsi que l’exemple en a été donné dans le troisième degré, chercher, en introduisant des valeurs auxiliaires, à obtenir les racines séparément exprimées par autant de fonctions distinctes et uniformes relatives a ces nouvelles variables. Dans le cas, dont nous venons de parler, où il s’agit de l’équation: $x^{3}-3x+2a=0$

   ‎il suffit, comme on sait, de représenter le coefficient $a$ par le sinus d’un arc $\alpha$ pour que les racines se séparent en ces trois fonctions bien déterminées:

   $2\sin {\frac {\alpha }{3}},\quad 2\sin {\frac {\alpha +2\pi }{3}},\quad 2\sin {\frac {\alpha +4\pi }{3}}$».

   ‎Hermite. Sur la résolution de l’équation du cinquième degré.

5. Такой же характер имеет решение двучленного уравнения $y^{n}=z$

   ‎при помощи логарифмов и показательных функций:

   $y=e^{{\frac {1}{n}}\ln z}.$

6. Schwarz. Über diejenigen Fälle, in welchen die Gaußische hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt. Журнал Крелле, т. 75 или: Gesammelte mathematische Abhandlungen von H. A. Schwarz. Том II, стр. 211.
7. Über binäre Formen mit linearen Transformationen in sieb selbst. Math. Annalen Bd. IX.
8. Über die linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, welche algebraische Integrale besitzen, und eine neue Anwendung der Invariantentheorie. Grelles Journal. Bd. 81.
9. Mémoire sur les équations différentielles linéaires à intégrale algébrique. Crelles Journal. Bd. 84.
10. Клейн, по-видимому, вполне справедливо считает это название неправильным.
11. Из этой книги я заимствую, между прочим, чертежи 11 и 12.
12. Puchta. Das Oktaeder und die Gleichung vierten Grades. Denkschrift der Kaiserlichen Akademie in Wien.
13. Групп подстановок, или симметрических групп — Примечание редактора Викитеки.