Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях (Лахтин)/Введение/ДО

Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ — Введеніе
авторъ Л. К. Лахтинъ

Введенiе.

‎Послѣ того, какъ Абель строго доказалъ невозможность рѣшенія въ радикалахъ алгебраическихъ уравненій 5-ой и высшихъ степеней общаго вида, всѣ усилія математиковъ въ области высшей алгебры должны были направиться по двумъ путямъ:

1) къ нахожденію по возможности всѣхъ видовъ алгебраическихъ уравненій, разрѣшимыхъ въ радикалахъ;

2) къ изслѣдованію корней алгебраическаго уравненія, какъ функцій его коэффиціентовъ.

Первое направленіе сохранило свой прежній характеръ—чисто алгебраическій.

Второе направленіе, созданное трудами Пюизе и Риманна, получило характеръ теоріи функцій комплекснаго перемѣннаго.

Когда трудами Риманна и его учениковъ уяснились съ замѣчательною полнотою свойства алгебраическихъ функцій, возникъ вопросъ о болѣе подробномъ изученіи отдѣльныхъ наиболѣе простыхъ алгебраическихъ уравненій.

Понятно, что послѣ изученныхъ еще Гауссомъ двучленныхъ уравненій стояло на очереди изученіе уравненій трехчленныхъ. Изученіе этихъ уравненій, начатое англійскими математиками: Гарлеемъ, Кели и Булемъ, было въ сравнительно недавнее время вполнѣ завершено профессоромъ П. А. Некрасовымъ.

Гарлей впервые обнаружилъ то свойство корней трехчленнаго уравненія, что они суть частные интегралы такъ называемыхъ двучленныхъ линейныхъ дифференціальныхъ уравненій^[1]. Это обстоятельство интересно, между прочимъ, потому, что двучленныя линейныя дифференціальныя уравненія 2-го порядка—суть гипергеометрическія.

Рядомъ съ изученіемъ трехчленныхъ уравненій шло изученіе алгебраическихъ уравненій, появляющихся въ теоріи преобразованія эллиптическихъ функцій: уравненій модулярныхъ и уравненій множителя^[2]. Эти замѣчательныя уравненія были найдены Якоби, въ честь котораго одинъ изъ классовъ относящихся сюда уравненій получилъ названіе класса уравненій Якоби (названіе, предложенное Бріоски).

Модулярныя уравненія были изучаемы весьма разносторонне. Между прочимъ Галуа нашелъ группу этихъ уравненій и доказалъ возможность понизить на единицу порядокъ модулярныхъ уравненій простыхъ степеней до 11-ой включительно.

Наиболѣе важный шагъ въ этой области сдѣлалъ Эрмитъ. Онъ сопоставилъ два уравненія 5-ой степени: уравненіе, получаемое пониженіемъ на единицу порядка модулярнаго уравненія 6-ой степени съ общимъ уравненіемъ 5-ой степени въ трехчленной формѣ Жеррарда. При этомъ Эрмитъ нашелъ, что всякое уравненіе 5-ой степени разрѣшимо въ модулярныхъ эллиптическихъ функціяхъ.

Послѣ опубликованія Эрмитомъ этихъ изслѣдованій въ 1858 году, Кронекеръ прислалъ Эрмиту письмо, въ которомъ говоритъ, что онъ уже работалъ въ этомъ направленіи и сообщаетъ ему въ краткихъ чертахъ результаты своихъ изслѣдованій^[3]. Кронекеръ предложилъ рѣшеніе уравненія 5-ой степени, основанное на преобразованіи его въ уравненіе Якоби 6-ой степени.

Эти труды дали толчекъ къ разработкѣ вопроса въ томъ же направленіи, которымъ, кромѣ Кронекера, занялся Бріоски и цѣлый рядъ самыхъ выдающихся нѣмецкихъ математиковъ. Германскіе математики подошли, однако, къ этой области изслѣдованій совершенно иными соображеніями.

Необходимо замѣтить, что самъ Эрмитъ, сдѣлавъ такое важное открытіе въ высшей алгебрѣ, не оцѣнилъ его значенія. Онъ сравниваетъ свое рѣшеніе уравненія 5-ой степени съ тригонометрическимъ рѣшеніемъ кубичнаго уравненія и полагаетъ, что его рѣшеніе даетъ возможность только вычислять корни уравненія 5-ой степени, но не выражать ихъ, какъ многозначныя функціи параметровъ уравненія^[4].

Такой взглядъ Эрмита на рѣшеніе уравненія 5-ой степени едва ли можно назвать вѣрнымъ. Формула Эрмита, содержащая въ себѣ трансцендентныя функціи, выражаетъ всѣ корни уравненія 5-ой степени, какъ функціи его параметровъ въ томъ же самомъ смыслѣ, въ какомъ формула, содержащая въ себѣ радикалы, выражаетъ многозначную алгебраическую функцію.

Для уясненія обратимся къ простому примѣру. Извѣстно, что

$cos{\frac {1}{2}}[arc\,cos\,z]={\sqrt {\frac {1+z}{2}}}.$

‎Ясно, что выраженіе, стоящее въ лѣвой части этого равенства и содержащее въ себѣ двѣ трансцендентныя функціи есть двухзначная алгебраическая функція вполнѣ тождественная съ

${\sqrt {\frac {1+z}{2}}}$

‎и выражаетъ оба корня двучленнаго уравненія:

$2y^{2}=1+z.$

‎Совершенно то же можно сказать о тригонометрическомъ рѣшеніи кубичнаго уравненія, которое Эрмитъ приводитъ въ видѣ примѣра: функція

$x=2sin{\frac {1}{3}}{\bigg [}arc.\,sin\,a{\bigg ]}$

‎такъ же точно выражаетъ собою всѣ три корня кубичнаго уравненія

$x^{3}-3x+2a=0,$

‎какъ и формула Кардана.

То же самое относится и къ предложенному Эрмитомъ рѣшенію уравненія 5-ой степени. Разсматривая Эрмитово рѣшеніе уравненія 5-ой степени и два только что приведенныхъ примѣра трансцендентнаго рѣшенія алгебраическихъ уравненій, мы замѣчаемъ, что всѣ эти формулы имѣютъ одинаковый характеръ^[5]: алгебраическая функція изображается въ видѣ комбинаціи двухъ трансцендентныхъ:

${\mathit {\Phi }}[f(z)].$

‎При этомъ внутренняя функція $f$ есть многозначная и всѣ значенія ея связаны между собою линейно. Такъ, въ первомъ примѣрѣ значенія ея таковы:

$arc\,cos\,z,\ arc\,cos\,z+2\pi ,\ arc\,cos\,z+4\pi ,\ \ldots$

‎Внѣшняя функція ${\mathit {\Phi }}$ есть однозначная функція. Она не мѣняется при нѣкоторыхъ изъ тѣхъ линейныхъ преобразованій, которыя связываютъ между собою значенія функціи $f$. Такъ, въ 1-мъ примѣрѣ имѣютъ мѣсто равенства:

$cos{\frac {1}{2}}[arc\,cos\,z+4\pi ]=cos{\frac {1}{2}}[arc\,cos\,z],$ $cos{\frac {1}{2}}[arc\,cos\,z+6\pi ]=cos{\frac {1}{2}}[arc\,cos\,z+2\pi ],$

‎и т. д.

Въ рѣшеніи Эрмита внутренняя функція $f$ есть величина

$\omega ={\frac {iK'}{K}},$

‎разсматриваемая, какъ функція величины $u={\sqrt[{4}]{k}}$, гдѣ $k$—модуль эллиптическихъ интеграловъ. Величина $\omega$ есть многозначная функція, значенія которой связаны между собою линейно. Она представляется въ видѣ отношенія двухъ частныхъ интеграловъ того гипергеометрическаго уравненія, которому удовлетворяютъ полные эллиптическіе интегралы $K$ и $K'$. Наружная функція ${\mathit {\Phi }}$ въ формулѣ Эрмита довольно сложная; она опредѣляется такъ:

${\mathit {\Phi }}(\omega )=\left[\varphi (5\omega )+\varphi \left({\frac {\omega }{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\omega +16}{5}}\right)-\right.$ $\left.-\varphi \left({\frac {\omega +4.16}{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\omega +2.16}{5}}\right)-\,\varphi \left({\frac {\omega +3.16}{5}}\right)\right],$

‎гдѣ $\varphi (\omega )$ выражаетъ $u$, какъ функцію $\omega$:

$u=\varphi (\omega ).$

‎Функція ${\mathit {\Phi }}$ не мѣняется отъ цѣлаго ряда линейныхъ подстановокъ, связывающихъ между собою значенія многозначной функціи $\omega$.

Въ результатѣ двухъ трансцендентныхъ операцій мы получаемъ пятизначную функцію

${\mathit {\Phi }}(\omega )$

‎величины $u$.

Функціи однозначныя, не мѣняющіяся отъ нѣкоторыхъ линейныхъ подстановокъ, впослѣдствіи были названы Клейномъ аутоморфными функціями. Поэтому Эрмитово рѣшеніе уравненія 5-ой степени можно назвать рѣшеніемъ въ аутоморфныхъ и гипергеометрическихъ функціяхъ.

Интересна та особенность алгебраическихъ функцій, что одна и та же функція иногда можетъ быть выражена при помощи различныхъ комбинацій паръ трансцендентныхъ функцій, напримѣръ:

${\mathit {\Phi }}[f(z)]$ и ${\mathit {\Phi }}_{1}[f_{1}(z)].$

‎Въ такомъ случаѣ возникаетъ вопросъ о простѣйшемъ выраженіи функціи.

Значительно позднѣе работы Эрмита Клейну удалось выразить корни уравненія 5-ой степени, выбравъ пару функцій ${\mathit {\Phi }}$ и $f$ такъ, что $f$ есть функція алгебраическая, значенія которой связаны между собою линейно, и имѣющая видъ отношенія двухъ гипергеометрическихъ функцій, а ${\mathit {\Phi }}$—есть раціональная алгебраическая дробь.

Понятно, что это былъ второй наиболѣе важный шагъ въ теоріи уравненій 5-ой степени.

Нѣмецкіе математики, какъ я упомянулъ выше, подошли къ разсматриваемой нами задачѣ высшей алгебры, идя совершенно инымъ путемъ, нежели какимъ шелъ Эрмитъ.

Въ 1872 году Шварцъ напечаталъ въ журналѣ Крелля свои изслѣдованія о тѣхъ случаяхъ, когда гипергеометрическій рядъ изображаетъ собою алгебраическую функцію^[6].

Онъ былъ приведенъ къ этимъ работамъ своими предшествующими изслѣдованіями о подобномъ отображеніи; и благодаря этому работа его содержитъ въ себѣ замѣчательныя по простотѣ и изяществу геометрическія истолкованія особенностей изучаемыхъ имъ функціи.

Функціи, изучаемыя Шварцемъ, суть отношенія частныхъ интеграловъ гипергеометрическаго уравненія и сами удовлетворяютъ нѣкоторому дифференціальному уравненію 3-го порядка нелинейному.

Введеніе этихъ новыхъ функцій было, несомнѣнно, важной заслугой Шварца, вслѣдствіе чего онѣ и получили названіе функцій Шварца.

Функція Шварца есть многозначная функція. Значенія ея связаны между собою линейно.

Каждое значеніе функція Шварца отображаетъ какъ верхнюю, такъ и нижнюю полуплоскость независимаго перемѣннаго въ видѣ треугольника, ограниченнаго дугами круговъ. Два треугольника, соотвѣтствующіе двумъ половинамъ плоскости, между собою смежны и симметричны относительно общей стороны. Всѣ значенія функціи Шварца отображаютъ плоскость независимо перемѣннаго въ видѣ сѣти такихъ треугольниковъ. Сѣть эта можетъ покрывать собою или всю плоскость, или только часть ея. Въ послѣднемъ случаѣ сѣть заключена внутри круга конечныхъ размѣровъ и ортогональнаго ко всѣмъ дугамъ окружностей, служащимъ сторонами треугольниковъ сѣти.

Функціи, обратныя функціямъ Шварца, принадлежатъ къ числу аутоморфныхъ, т.-е. не мѣняются отъ нѣкоторой группы линейныхъ подстановокъ. Въ случаѣ, если сѣть функціи Шварца заключена внутри ортогональнаго круга, то точки этого круга всѣ служатъ существенно особыми точками соотвѣтствующей ей аутоморфиой функціи; самый кругъ служитъ естественной границей функціи, за которую никакое аналитическое продолженіе функціи невозможно. Это — фактъ, съ которымъ встрѣтился еще Эрмитъ, но онъ не могъ объяснить его потому, что онъ не зналъ этихъ геометрическихъ истолкованій, найденныхъ Шварцемъ позднѣе работъ Эрмита.

Шварцъ въ своей работѣ обнаружилъ всѣ тѣ случаи, когда его функція есть функція алгебраическая, и указалъ, что вопросъ объ этихъ случаяхъ находится въ самой тѣсной связи съ вопросомъ о дѣленіи поверхности сферы на равныя части, а этотъ послѣдній вопросъ рѣшается очень просто при посредствѣ многогранниковъ. Поэтому самыя уравненія открытыя Шварцемъ, получили названія: двупирамидное, тетраэдрическое, октаэдрическое, икосаэдрическое.

Въ 1875 году Клейнъ, не зная, какъ онъ говоритъ самъ, о работѣ Шварца, напечаталъ статью «о бинарныхъ формахъ съ линейными преобразованіями въ себя самихъ»^[7]. Въ этой работѣ Клейнъ исходитъ изъ геометрическихъ представленій. Онъ доказываетъ, что каждому повороту сферы Нейманна соотвѣтствуетъ линейное преобразованіе плоскости. Благодаря этому онъ приводитъ задачу о группахъ линейныхъ подстановокъ къ задачѣ о группѣ поворотовъ сферы и, въ сущности тоже къ дѣленію сферы на равныя части при помощи вписанныхъ многогранниковъ.

Изучая коваріанты найденныхъ имъ основныхъ формъ (Grundformen), Клейнъ приходитъ къ нѣкоторымъ уравненіямъ 5-ой и 6-ой степени. Эти уравненія дали впослѣдствіи Клейну возможность найти рѣшеніе уравненія 5-ой степени общаго вида.

Въ 1876 году Фуксъ, продолжая цѣлую серію своихъ изслѣдованій о линейныхъ дифференціальныхъ уравненіяхъ, напечаталъ въ журналѣ Крелля мемуаръ «о линейныхъ дифференціальныхъ уравненіяхъ 2-го порядка, имѣющихъ алгебраическіе интегралы и объ одномъ новомъ приложеніи теоріи инваріантовъ»^[8]. Онъ старается установить критерій для рѣшенія вопроса, не имѣетъ ли данное линейное дифференціальное уравненіе 2-го порядка алгебраическихъ интеграловъ. При этомъ Фуксъ обнаруживаетъ цѣлый рядъ свойствъ алгебраическихъ уравненій, корни которыхъ удовлетворяютъ линейнымъ дифференціальнымъ уравненіямъ 2-го порядка, вводитъ понятіе о первичныхъ формахъ (Primformen) и изслѣдуетъ многія замѣчательныя свойства этихъ формъ. Эти формы суть ничто иное, какъ тѣ, которыя Клейномъ были названы основными формами.

Классифицируя тѣ уравненія, которыя имѣютъ корнями частные интегралы линейныхъ дифференціальныхъ уравненій 2-го порядка, Фуксъ приходитъ къ тѣмъ же самымъ случаямъ, которые были указаны Шварцемъ.

Впослѣдствіи, когда эти изслѣдованія Фукса были пополнены трудами Жордана, напечатавшаго въ журналѣ Крелля обширныя изслѣдованія о линейныхъ дифференціальныхъ уравненіяхъ съ алгебраическимъ интеграломъ^[9] и работами Гордана, о которыхъ мы скажемъ ниже, Фуксъ напечаталъ второй мемуаръ, озаглавленный такъ же, какъ и первый и помѣщенный въ 85 томѣ журнала Крелля. Здѣсь онъ указываетъ между прочимъ способъ, какъ вычислить коэффиціенты алгебраическихъ уравненій изучаемаго имъ класса.

Послѣ работы Клейна, помѣщенной въ IX томѣ Математическихъ Анналъ, въ этомъ журналѣ появляется цѣлый рядъ изслѣдованій такого же характера и принадлежащихъ какъ самому Клейну, такъ и многочисленнымъ его ученикамъ. Эти работы въ началѣ носятъ на себѣ алгебраическій характеръ, но постепенно область этихъ работъ расширяется и такимъ образомъ создается обширная литература теоріи аутоморфныхъ функцій, до сихъ поръ еще далеко не завершенная. Благодаря этой литературѣ мы знакомимся съ цѣлымъ рядомъ свойствъ функцій новаго класса, охватывающаго собою весь классъ функцій двоякоперіодическихъ, какъ частный случай.

Имѣя въ виду задачу чисто алгебраическаго характера, я не останавливаюсь долѣе на этой весьма интересной литературѣ теоріи аутоморфныхъ функцій.

Первыя работы самого Клейна и отчасти другихъ математиковъ собраны имъ въ отдѣльной книгѣ, озаглавленной: «Vorlesungen über das Ikosaeder». Дальнѣйшія его работы, касающіяся модулярныхъ функцій, обработанныя Фрикке, изданы въ видѣ весьма обширнаго сочиненія, озаглавленнаго: «Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen». Первый томъ этого сочиненія появился въ 1890 году, второй томъ появился только въ самое послѣднее время въ настоящемъ 1892 году.

Заглавія другихъ работъ Клейна, касающихся вопроса о рѣшеніи алгебраическихъ уравненій въ гипергеометрическихъ функціяхъ и другихъ вопросовъ наиболѣе тѣсно связанныхъ съ этимъ я приведу ниже.

Изъ числа другихъ математиковъ, особенно много потрудившихся въ разсматриваемой нами области необходимо указать на Гордана и Бріоски.

Работы Гордана помѣщены въ Математическихъ Анналахъ и идутъ почти параллельно работамъ Клейна. Различіе этихъ работъ состоитъ въ томъ, что Клейнъ вездѣ пользуется геометрическими представленіями, между тѣмъ какъ Горданъ ведетъ изслѣдованія чисто аналитически, пользуясь весьма искусно символическимъ методомъ Аронгольда, обычнымъ въ теоріи бинарныхъ алгебраическихъ формъ. Между прочимъ онъ весьма остроумно находитъ характерное свойство первичныхъ формъ наинисшей степени, выражаемое условіемъ, чтобы коваріантъ

$(f,\ f)^{4}$

‎былъ тождественный нуль.

Работы Бріоски касаются главнымъ образомъ уравненій 5-ой степени и Якобіевыхъ уравненій 6-ой степени. Уравненія эти изслѣдованы имъ съ замѣчательною полнотою и ясностью. Мемуары Бріоски помѣщены частью въ Annali di Matematica, частью въ Mathematische Annalen.

Такъ какъ теорія алгебраическихъ уравненій, разрѣшимыхъ въ гипергеометрическихъ функціяхъ находится въ тѣсной связи съ теоріей группъ линейныхъ подстановокъ, то говоря о литературѣ этого вопроса, нельзя не упомянуть о работахъ Пуанкаре. Особенно интересенъ въ этомъ отношеніи его мемуаръ въ 1 томѣ Acta Mathematica, озаглавленный: «Théorie des groupes Fuctiennes». Хотя этотъ мемуаръ касается исключительно группъ, которыя Пуанкаре называетъ Фуксовыми^[10], тѣмъ не менѣе многіе результаты, даваемые Пуанкаре въ этомъ мемуарѣ, легко обобщаются на случай какихъ угодно подстановокъ.

Въ нашей русской литературѣ встрѣчается очень мало сочиненій, затрогивающихъ вопросы объ алгебраическихъ интегралахъ дифференціальныхъ уравненій, о трансцендентномъ рѣшеніи алгебраическихъ уравненій и о группахъ линейныхъ подстановокъ. Мнѣ удалось найти только слѣдующія работы такого характера:

1) Васильевъ. О функціяхъ раціональныхъ, аналогичныхъ съ функціями двоякоперіодическими.

2) Савичъ. О линейныхъ обыкновенныхъ дифференціальныхъ уравненіяхъ.

3) Ермаковъ. Круговое преобразованіе.

О другихъ работахъ, касающихся тѣхъ же вопросовъ, я упомяну ниже при указаніи литературы.

---

Цѣль настоящаго моего сочиненія—собрать, обработать и изложить въ возможно болѣе систематическомъ порядкѣ все то, что касается свойствъ, вида и рѣшенія всѣхъ тѣхъ алгебраическихъ уравненій, которыя разрѣшимы въ гипергеометрическихъ функціяхъ, при чемъ радикалы могутъ входить въ формулы. Эти рѣшенія суть алгебраическія въ собственномъ смыслѣ слова.

Трансцендентное рѣшеніе уравненій въ мою работу не входитъ: трансцендентное рѣшеніе содержитъ въ себѣ кромѣ гипергеометрическихъ функцій еще новый элементъ—трансцендентныя аутоморфныя функціи. Задача объ алгебраическихъ уравненіяхъ разрѣшимыхъ въ гипергеометрическихъ и аутоморфныхъ функціяхъ далеко выходитъ за указанные выше предѣлы моего сочиненія. Она представляетъ собою весьма большой интересъ и я надѣюсь посвятить ей слѣдующую свою работу, для которой настоящая служитъ лишь какъ бы введеніемъ.

Укажу въ краткихъ чертахъ планъ моей работы.

Прежде чѣмъ приступить къ постановкѣ общей задачи объ алгебраическихъ уравненіяхъ, разрѣшимыхъ въ гипергеометрическихъ функціяхъ, я останавливаюсь весьма подробно на изученіи свойствъ, видовъ и рѣшеній двухъ отдѣльныхъ классовъ относящихся сюда уравненій. Эти два класса суть:

1) уравненія, имѣющія корнями частные интегралы линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка;

2) уравненія, имѣющія корнями отношенія частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка.

Первый изъ этихъ классовъ впервые былъ изученъ Фуксомъ, а второй—Шварцемъ.

Эти уравненія служатъ ядромъ всей теоріи: всякое уравненіе, разрѣшимое въ гипергеометрическихъ функціяхъ, можетъ быть получено раціональнымъ или ирраціональнымъ преобразованіемъ одного изъ уравненій указанныхъ классовъ.

Первыя восемь главъ моей работы посвящены этимъ двумъ классамъ уравненій.

Глава I содержитъ въ себѣ изложеніе свойствъ уравненій перваго изъ двухъ указанныхъ классовъ. Эти свойства я излагаю въ видѣ ряда теоремъ, заимствованныхъ мною главнымъ образомъ въ указанномъ выше мемуарѣ Фукса и пополненныхъ тѣми новыми теоремами, которыя оказались необходимыми въ дальнѣйшемъ изложеніи. Разсмотрѣвъ свойства первичныхъ формъ, введенныхъ Фуксомъ, я совершенно оставляю въ сторонѣ его изложеніе и показываю, что найдя первичную форму наинисшей степени и ея коваріанты, весьма легко построить новое уравненіе, которому удовлетворяютъ отношенія корней изучаемаго уравненія. Это новое уравненіе имѣетъ такой видъ:

$H^{\lambda _{1}}(u):c_{1}T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)={\frac {1}{c}}R(z):{\frac {1}{c}}R(z)-1:1,$

(А)

‎гдѣ $f(u)$ многочленъ, соотвѣтствующій первичной формѣ наинисшей степени, $H(u)$—его гессіанъ, $T(u)$—функціональный опредѣлитель отъ $f(u)$ и $H(u)$, функція $R(u)$—нѣкоторая раціональная функція перемѣннаго $z$, а показатели $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, $\lambda$ суть цѣлыя числа, которыя равны индексамъ или половинамъ индексовъ первичныхъ функцій $f(u)$, $H(u)$, $T(u)$. Уравненіе (A) есть уравненіе втораго изъ указанныхъ выше классовъ. При моемъ способѣ изложенія видъ его съ самаго начала опредѣленъ и остается найти функцію $f(u)$ и показатели $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, $\lambda$, ибо функція $R(u)$ совершенно произвольна.

Найдя уравненіе (A), я показываю, что корни уравненія перваго изъ двухъ изучаемыхъ классовъ выражаются, какъ явныя функціи корней уравненія (A).

Этимъ самымъ теорія уравненій перваго изъ двухъ классовъ приведена къ теоріи уравненій втораго класса и только впослѣдствіи приходится вернуться къ нимъ, чтобы найти внѣшній видъ этихъ уравненій.

Въ главѣ II я излагаю свойства уравненій вида (A), т.-е. уравненій втораго изъ двухъ изучаемыхъ мною классовъ. Свойства этихъ уравненій изложены въ работахъ Шварца и Клейна, но вслѣдствіе особенностей моего изслѣдованія, мнѣ удалось упростить изложеніе этой главы. Доказавъ, слѣдуя Клейну, что всякое уравненіе вида (A) разрѣшимо въ гипергеометрическихъ функціяхъ, я тѣмъ самымъ доказываю, что всѣ уравненія перваго класса тоже разрѣшимы въ гипергеометрическихъ функціяхъ.

Такъ какъ корни уравненія (A) могутъ быть представлены, въ видѣ функцій Шварца отъ аргумента ${\frac {1}{c}}R(z)$, то необходимо было разсмотрѣть довольно подробно свойства этихъ функцій.

Глава III содержитъ въ себѣ изложеніе свойствъ функцій Шварца:

$s\left({\frac {1}{\lambda _{1}}},\ {\frac {1}{\lambda }},\ {\frac {1}{\lambda _{2}}},\ z\right).$

‎Источниками для этой главы послужили, кромѣ мемуаровъ самого Шварца, сочиненія Клейна: Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen^[11] и отчасти Vorlesungen über das Ikosaeder. Изложеніе этой главы довольно близко къ Клейну.

Обнаруживъ существованіе четырехъ типовъ конечныхъ группъ линейныхъ подстановокъ и указавъ на геометрическій способъ построенія соотвѣтствующихъ имъ сѣтей, я приступаю къ вычисленію подстановокъ этихъ группъ. Рѣшеніе этой задачи приведено въ главѣ IV.

Изложивъ вначалѣ главы IV нѣкоторыя свойства группъ линейныхъ подстановокъ по Пуанкаре, я далѣе примѣняю эти свойства къ нахожденію основныхъ подстановокъ конечныхъ группъ и затѣмъ уже нахожу всѣ подстановки группы. Черезъ это достигается значительное упрощеніе въ рѣшеніи какъ данной, такъ и послѣдующей задачи, состоящей въ нахожденіи числовыхъ коэффиціентовъ уравненія (A). При построеніи сѣтей, соотвѣтствующихъ конечнымъ группамъ, я строю нѣсколько нормальныхъ сѣтей каждаго типа для того, чтобы въ дальнѣйшемъ изложеніи можно было упростить вычисленія и довести ихъ до конца.

Въ главѣ V приведено вычисленіе коэффиціентовъ уравненій (A) различныхъ типовъ. Эти вычисленія совершаются весьма просто какъ по плану, такъ и съ механической стороны благодаря тому, что напередъ извѣстны основныя подстановки группъ.

Въ главѣ VI изложены инваріантныя свойства первичныхъ формъ и соотношенія между первичными формами различныхъ типовъ. Это—собраніе теоремъ и формулъ, необходимыхъ для послѣдующихъ главъ. Содержаніе этой главы частью заимствовано у Гордана и Клейна, частью оригинально.

Глава VII содержитъ рѣшеніе уравненій вида (A). Самое рѣшеніе я раздѣляю на слѣдующія стадіи:

1) Примѣняю критерій съ цѣлью узнать, принадлежитъ ли данное намъ алгебраическое уравненіе къ числу уравненій изучаемаго класса и вмѣстѣ съ тѣмъ привожу къ виду (A), если оно оказывается принадлежащимъ къ этому классу. Этотъ критерій найденъ мною и основанъ на теоремѣ Гордана, изложенной въ предшествующей главѣ.

2) Привожу уравненіе вида (A) къ нормальному виду. На такое приведеніе къ нормальному виду есть указаніе у Клейна.

3) Рѣшаю уравненіе вида (A), приведенное къ нормальной формѣ.

Корни уравненія (A) типовъ: двупирамиднаго, тетраэдрическаго и октаэдрическаго могутъ быть выражены въ радикалахъ. Этотъ способъ рѣшенія найденъ Клейномъ; онъ основанъ на тѣхъ соотношеніяхъ, которыя приведены у меня въ главѣ VI. Икосаэдрическое уравненіе оказывается не разрѣшимымъ въ радикалахъ.

Уравненія всѣхъ типовъ разрѣшимы въ гипергеометрическихъ функціяхъ. Эти рѣшенія приведены мною въ явной формѣ. Подобныя рѣшенія приведены у Клейна и у Пухта^[12]; но они представлены тамъ въ иной формѣ и основаны на иныхъ соображеніяхъ.

Этимъ заканчивается изученіе уравненій вида (A).

Въ VIII главѣ я возвращаюсь къ уравненіямъ того класса, которому посвящена глава I съ тѣмъ, чтобы найти внѣшній видъ этихъ уравненій. Эти уравненія получаются изъ уравненій вида (A) нѣкоторыми ирраціональными преобразованіями. Степени этихъ уравненій весьма высоки и коэффиціенты сложны, вслѣдствіе чего они представляютъ интересъ гораздо меньшій, чѣмъ уравненія вида (A). Способъ вычисленія коэффиціентовъ этихъ уравненій указанъ во второмъ мемуарѣ Фукса.

Окончивъ такимъ образомъ изученіе двухъ отдѣльныхъ классовъ уравненій, я приступаю въ главѣ IX къ постановкѣ и упрощенію общей задачи объ алгебраическихъ уравненіяхъ, разрѣшимыхъ въ гипергеометрическихъ функціяхъ. Помѣщенное въ этой главѣ изложеніе нѣкоторыхъ свойствъ группъ линейныхъ подстановокъ заимствовано мною въ мемуарѣ Пуанкаре а изложеніе нѣкоторыхъ свойствъ аутоморфныхъ функцій заимствовано у Клейна въ Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen. За исключеніемъ этихъ двухъ подготовительныхъ параграфовъ остальное въ этой главѣ оригинально. Оказывается, что всякое уравненіе, разрѣшимое въ гипергеометрическихъ функціяхъ, можетъ быть получено раціональнымъ или ирраціональнымъ преобразованіемъ уравненія вида (A). При этомъ задача всегда можетъ быть приведена къ раціональному преобразованію уравненія (A). Раціональное преобразованіе въ свою очередь распадается на два:

1) раціональное преобразованіе уравненія (A), понижающее его степень относительно неизвѣстной функціи, не измѣняя степени его относительно независимаго перемѣннаго. Въ результатѣ получается уравненіе вида:

$F_{1}(\zeta ):F_{2}(\zeta ):F(\zeta )={\frac {1}{c}}R(z):{\frac {1}{c}}R(z)-1:1,$

(B)

‎гдѣ $\zeta$ есть новая неизвѣстная функція, $F_{1}$, $F_{2}$, $F$ суть цѣлые многочлены;

2) раціональное преобразованіе уравненія (B), не измѣняющее его степень относительно неизвѣстной функціи и, вообще говоря, мѣняющее его степень относительно независимаго перемѣннаго $z$. Въ результатѣ получается окончательное уравненіе:

$\Psi (Y,\ z)=0,$

(C)

‎разрѣшимое въ гипергеометрическихъ функціяхъ.

Наибольшій интересъ и важность представляетъ первое изъ этихъ преобразованій. Такихъ преобразованій существуетъ весьма ограниченное число и каждое изъ нихъ соотвѣтствуетъ опредѣленной подгруппѣ группы уравненія (A).

Преобразованій втораго рода существуетъ безконечное число и они способны только иногда упростить по виду уравненіе (B).

Въ главѣ X разсмотрѣны всѣ подгруппы, входящія въ составъ конечныхъ группъ линейныхъ подстановокъ, выдѣлены тѣ изъ нихъ, которыя для разсматриваемой теоріи имѣютъ интересъ и составлены соотвѣтствующія имъ резольвенты. Теоремы главы IX даютъ возможность очень легко найти группы Галуа для этихъ резольвентъ и указать геометрическія представленія соотвѣтствующія тѣмъ подгруппамъ, которыя приводятъ къ этимъ резольвентамъ. Эти резольвенты оказываются слѣдующія:

1) уравненіе кубичное съ симметрической группой;

2) уравненіе 4-ой степени съ знакоперемѣнной группой;

3) уравненіе 4-ой степени съ симметрической группой;

4) уравненіе 5-ой степени съ знакоперемѣнной группой;

5) уравненіе Якоби 6-ой степени.

Эти резольвенты найдены Клейномъ, но указанный выше обзоръ подгруппъ, соотвѣтствующихъ имъ геометрическихъ представленій и группъ субституцій^[13] приводятся мною впервые.

Глава XI содержитъ рѣшеніе уравненій 3-ей, 4-ой и 5-ой степени общаго вида и Якобіева уравненія 6-ой степени общаго вида. Эта глава въ значительной степени заимствована мною у Клейна, Бріоски и отчасти Эрмита.

---

Заглавія сочиненій, послужившихъ источниками настоящей работы или наиболѣе близко касающихся тѣхъ же вопросовъ, приведены мною въ концѣ статьи.

---

Сноски

1. Необходимо замѣтить, что Ланденъ еще въ 1755 году обратилъ вниманіе на то дифференціальное уравненіе, которому удовлетворяютъ корни кубичнаго уравненія: $q=-(x^{2}-px)$

   ‎и изъ него получилъ формулу Кардана.

2. Извѣстно, что дифференціальное уравненіе: ${\frac {dy}{\sqrt {(1-y^{2})(1-\lambda ^{2}y^{2})}}}={\frac {Mdx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\lambda ^{2}x^{2})}}}$

   ‎только въ томъ случаѣ имѣетъ раціональный алгебраическій интегралъ вида:

   $y={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}},$

   ‎когда $\lambda$ и $M$ суть нѣкоторыя алгебраическія функціи модуля $k$.

   ‎Уравненіе, связывающее между собою модули $\lambda$ и $k$, называется модулярнымъ, а уравненіе, связывающее множитель $M$ съ модулемъ $k$ называется уравненіемъ множителя.
3. Письмо Кронекера приведено въ отдѣльной книгѣ, содержащей работы Эрмита: Sur la théorie des équations modulaires et la résolution de l’équation du cinquième degré. 1859.
4. «Au lieu de chercher à représenter par une formule radicale à déterminations multiples le système des racines si étroitement liées entre elles lorsqu’on les considère comme fonctions des coefficients, on peut, ainsi que l’exemple en a été donné dans le troisième degré, chercher, en introduisant des valeurs auxiliaires, à obtenir les racines séparément exprimées par autant de fonctions distinctes et uniformes relatives a ces nouvelles variables. Dans le cas, dont nous venons de parler, où il s’agit de l’équation: $x^{3}-3x+2a=0$

   ‎il suffit, comme on sait, de représenter le coefficient $a$ par le sinus d’un arc $\alpha$ pour que les racines se séparent en ces trois fonctions bien déterminées:

   $2sin{\frac {\alpha }{3}},\quad 2sin{\frac {\alpha +2\pi }{3}},\quad 2sin{\frac {\alpha +4\pi }{3}}$».

   ‎Hermite. Sur la résolution de l’équation du cinquième degré.

5. Такой же характеръ имѣетъ рѣшеніе двучленнаго уравненія $y^{n}=z$

   ‎при помощи логариѳмовъ и показательныхъ функцій:

   $y=e^{{\frac {1}{n}}log\,z}.$

6. Schwarz. Ueber diejenigen Fälle, in welchen die Gaussische hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt. Журналъ Крелля, т. 75 или: Gesammelte mathematische Abhandlungen von H. A. Schwarz. Томъ II, стр. 211.
7. Ueber binäre Formen mit linearen Transformationen in sieb selbst. Math. Annalen Bd. IX.
8. Ueber die linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, welche algebraische Integrale besitzen, und eine neue Anwendung der Invariantentheorie. Grelles Journal. Bd. 81.
9. Mémoire sur les équations différentielles linéaires à intégrale algébrique. Crelles Journal. Bd. 84.
10. Клейнъ, по видимому, вполнѣ справедливо считаетъ это названіе неправильнымъ.
11. Изъ этой книги я заимствую, между прочимъ, чертежи 11 и 12.
12. Puchta. Das Oktaeder und die Gleichung vierten Grades. Denkschrift der Kaiserlichen Akademie in Wien.
13. Групп подстановок, или симметрических групп — Примѣчаніе редактора Викитеки.