[268]41. Особые теории в геометрии. В последние тридцать лет геометрия обогатилась столь многими и разнообразными предложениями и даже теориями, что в нашем обзоре её успехов за это время мы принуждены были остановиться только на важнейших методах, указывая их происхождение, характер и употребление в рациональной геометрии.
Более подробный разбор множества сочинений, в которых для настоящей минуты заключается будущность геометрии и зачатки её дальнейшего развития, был бы бесспорно очень полезен, но на это потребовался бы целый том и чрезмерно расширились бы границы, в которых мы должны держаться.
Однако мы не можем не остановиться на двух, из множества других отделов, которые по различным причинам представляют, как нам кажется, особенную важность для развития отвлеченной геометрии и её приложений к вопросам о явлениях природы. Мы говорим о теории поверхностей второго порядка и о геометрии сферы, т. е. учении о сферических фигурах.
Последнее учение существует уже так давно, поверхности же второго предмета представляют предмет настолько избитый, особенно в последние годы, что может, вероятно, возникнуть сомнение, возможно ли еще что-нибудь сделать в этих двух отделах геометрии и имеют ли они действительно ту важность, которую мы им приписываем. Поспешим оправдать наше мнение, что бы предупредить [269]чувство недоверчивости, которое мы боимся встретить во многих геометрах, прочитывающих наше сочинение.
42. Геометрия сферы. Геометрия сферы восходит до глубокой древности; она получила свое начало в тот день, когда астроном-философ сделал попытку открыть связь между явлениями планетного мира. Мы видели, что Гиппарх, Феодосий, Менелай, Птоломей обладали уже значительными познаниями в сферической тригонометрии. Но вся эта наука приводилась к вычислению треугольников; хотя впоследствии она развилась и в руках наших знаменитейших геометров достигла высокой степени совершенства, но всегда оставалась в одних и тех же рамках, потому что сохраняла всегда одно и то же назначение, именно — вычисление треугольников для употребления в астрономии, мореплавании и в тех громадных геодезических работах, которые открыли нам истинную форму земного сфероида. Но эта наука, соответствующая почти вполне учению о прямой линии и о треугольниках в геометрии на плоскости, не составляет еще всей геометрии сферы. На этой кривой поверхности очевидно можно, подобно фигурам на плоскости, рассматривать множество различных фигур, начиная с круга как фигуры простейшей.
Но такое естественное распространение было введено в геометрию сферы не более сорока лет тому назад. Это сделано было геометрами северной Европы. Если оставить в стороне теорию сферических эпициклоид и некоторые особые исследования, напр. исследования Гвидо Гранди о кривых, названных клелиями, то мы не заметим, чтобы кто нибудь пытался разрешить на сфере задачи, подобные задачам плоской геометрии, раньше Лекселя (Lexell), который в Актах Петербургской Академии (т. V и VI) исследовал свойство кругов проведенных на сфере, подобные свойствам кругов на плоскости. Этому геометру обязаны мы изящною теоремою о кривой, представляющей место [270]вершин сферических треугольников, имеющих общее основание и одинаковую площадь.
Вскоре после этого Фусс, соотечественник Лекселя, в двух мемуарах (Nova Acta, t. III et IV) разрешил несколько вопросов сферической геометрии, занимаясь преимущественно свойствами сферического эллипса. Это — кривая, представляющая место вершин треугольников, имеющих общее основание и постоянную сумму двух других сторон. Фусс нашел, что эта кривая есть пересечение сферы с конусом второго порядка, имеющим вершину в центре сфере; другими словами, — это есть линия кривизны конусов второго порядка[1].
Эти первые работы Лекселя и Фусса были продолжаемы в Актах Петербургской Академии Шубертом[2], о котором мы уже говорили по тому поводу, что он всю сферическую тригонометрию основал на одной теореме Птоломея[3]. Этот геометр решил многие вопросы о геометрических местах вершины треугольника, имеющего неизменное основание, как в задачах Лекселя и Фусса, но две другие стороны которого подчиняются различным другим условиям.
Этот новый род изысканий, обещавший обильную жатву новых и интересных истин, остался однако так мало замеченным, что из изящной теоремы Лекселя, хотя она и помещалась в многочисленных изданиях геометрии Лежандра, никто не вывел заключения о существовании подобной же и не менее интересной теоремы, получаемой из неё согласно теории дополнительных фигур. Только в недавнее время Sorlin получил прямо эту теорему в мемуаре о [271]сферической тригонометрии, в котором двойственность сферических фигур, т. е. двоякого рода свойства их, изложены в полном соответствии между собою[4].
Весьма также недавно Магнусом, из Берлина, был снова выведен на сцену сферический эллипс Фусса; Магнус путем анализа открыл и доказал сперва соответственное свойство конуса и отсюда уже, как следствие, вывел свойство этого эллипса. Он открыл в нем еще другое прекрасное свойство, аналогическое с одним из важнейших свойств плоского эллипса, именно: дуги двух больших кругов, проведенных из фокусов в точку кривой, образуют равные углы с дугою круга касательного в этой точке[5].
43. Несколькими годами ранее другие геометры разрешили различные вопросы сферической геометрии и указали аналогию их с вопросами геометрии на плоскости. Люилье, из Женевы, нашел для сферических прямоугольных треугольников теоремы сходные с важнейшими предложениями о прямоугольных треугольниках на плоскости, какова напр. теорема Пифагора[6]; он определил также центр средних расстояний для сферического треугольника[7]. Жергонн, в Annales de Mathématiques, предложил решение различных вопросов геометрии на сфере, имеющих себе соответственные на плоскости; приведем например следующее прекрасное свойство сферического четырёхугольника, принадлежащее также и плоскому четырёхугольнику: если сумма двух противоположных сторон равна сумме двух других, то около четырёхугольника можно описать круг[8]. Потом Гено (Guéneau d'Aumont); профессор в [272]Дижоне, открыл в сферических четырёхугольниках, вписанных в круг, характеристическое свойство, соответствующее в дополнительных фигурах теореме Жергона: сумма двух противоположных углов такого четырёхугольника равна сумме двух остальных[9]; это свойство есть бесспорно одно из важнейших в элементах сферической геометрии, так как оно выражает собою простое и богатое следствиями соотношение между четырьмя точками, лежащими на одном малом круге. — Кетле рассматривал на сфере многоугольники, составленные из дуг больших или малых кругов, и дал простую и изящную формулу для вычисления их поверхности[10]. Этот вопрос уже не раз занимал геометров; прежде всего — Курсье[11], о котором мы уже говорили как о геометре, построившем некоторые линии двойной кривизны, затем — Д'Аламберта[12] и Боссю[13], которые прилагали к решению аналитические приемы и для которых этот вопрос служил доказательством, что чистая геометрия представляет нередко более легкий и быстрый путь, нежели самые утонченные и остроумные вычисления.
44. До сих пор мы встретили только несколько разрозненных предложений, весьма красивых и способных привлечь интерес к сферической геометрии, но еще не представляющих систематического и последовательного изучения этого отдела науки о пространстве. Только в последнее время стали пытаться основать геометрию сферы в таком же виде, как существующая геометрия на плоскости. Первый пошел этим путем, сколько нам известно, Штейнер в сочинении о преобразовании и разделении сферических фигур на основании графических построений [273][14]; сочинение это основано на вышеупомянутой изящной теореме Гено. Штейнер доказывает здесь предложение, соответствующее, по способу дополнительных фигур, теореме Фусса о сферическом эллипсе[15] и находит две дуги больших кругов, играющие роль асимптоты гиперболы на плоскости. (Это те самые две дуги, которые мы в Mémoire sur les coniques sphériques назвали циклическими дугами (arcs cycliques) и к которым были приведены исследованием круговых сечений конуса второго порядка).
Не можем входить в дальнейшие подробности по поводу сочинения Штейнера, которое написано по-немецки и известно нам только по разбору, находящемуся в Bulletin universel des sciences t. VIII, p. 298. Также кратко укажем на Гудермана по поводу его специальных и глубоких исследований об аналогии между сферическими и плоскими фигурами[16].
45. Таким образом положено начало сферической геометрии в правильной и догматической форме; имена геометров, взявших на себя это дело, ручаются за быстрые успехи этого отдела науки о пространстве. Никто не станет [274]оспаривать теоретической пользы подобных изысканий.
Чтобы это подтвердить, достаточно заметить, что плоская геометрия есть не более как частный случай сферической, именно тот, когда радиус предполагается бесконечным; поэтому все важнейшие истины первой необходимо находятся в связи с наиболее общими свойствами в последней; всегда полезно рассматривать геометрические истины в их наибольшей общности, в их, если можно так выразиться, наибольшей близости к высшим законам, изыскание которых есть постоянная цель всех усилий геометров. При такой общности эти истины представляют такие соотношения к аналогии, которые не замечаются в их следствиях, но которые обнаруживают их взаимную связь и дают возможность восходить к еще более общим принципам, следы которых неясны и неразличимы в предложениях частных и ограниченных. Геометрия сферы, независимо от свойственного ей самой характера и бесспорного её значения, заслуживает следовательно со стороны геометров внимания и изучения уже как способ обобщения свойств фигур на плоскости. Мы уже заметили выше[17], что при настоящем состоянии геометрии обобщение есть самое верное средство для дальнейшего её развития и для новых открытий. Трудами геометров должно руководить именно такое направление научного исследования[18].
Сканы, размещённые на Викискладе