[32]§ 10. Возвышение в степень.
1. Сложение равных слагаемых привело нас к умножению; точно так же умножение равных сомножителей приводит к новому действию — возвышению в степень.
Положим, что нам нужно составить произведение
сомножителей, которые все равны между собой — именно равны, скажем, числу
. Результат этой операции называется n-ой степенью числа
и обозначается символом
, так что
;
|
(1)
|
в левой части этого равенства подразумеваем
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
сомножителей; число
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
называется
основанием степени; говорят также короче «
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
в
n-ой степени». Вычислить
n-ую степень числа
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
значит «
возвысить число
в n-ую степень».
Первая степень числа
равна основанию
.
|
(2)
|
Так как произведение всякого числа на 1 даёт в результате множимое, то при любом показателе
.
|
(3)
|
В частности, в виду геометрических приложений, вторая степень числа
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
часто называется
квадратом числа ![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
, а третья степень —
кубом этого числа.
[33]Основная теорема относительно степеней, которая выводится непосредственно из определения, заключается в следующем:
2. Чтобы перемножить две степени одного и того же основания, достаточно сложить показатели; в символах:
.
|
(4)
|
Справедливость этого равенства вытекает из того, что справа и слева мы имеем
множителей, равных
. Это предложение при помощи индукции легко обобщается на произвольное число множителей.
,
|
(5)
|
каковы бы ни были числа
![{\displaystyle m,n,....q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c28f041b0ef9dd1c7e871939a107783187f472c)
и каково бы ни было число их
![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
.
3. Если в равенстве (5) все показатели равны между собой, то оно выражает следующую вторую теорему о степенях:
Чтобы возвысить степень в новую степень, достаточно перемножить показатели, т. е.:
.
|
|
4. Чтобы возвысить в степень произведение нескольких сомножителей, можно возвысить в эту степень каждый из сомножителей в отдельности и полученные произведения перемножить:
|
|
Если здесь вновь будем считать все основания
равными между собой, то мы, в силу соотношения (5), вновь получим предложение 3.
5. Если число
больше
, то
тем больше, чем больше показатель
; можно также выбрать число
настолько большим, чтобы
было больше любого заданного числа
. В этом легко убедиться индуктивным путем. В самом деле, утверждение справедливо, если
, потому что даже
уже больше
.
Если же
, то
. Таким образом, если наше утверждение справедливо для некоторого значения
, то оно справедливо также для
.
Вместе с тем, если
для некоторого значения
показателя
, то тем более
, если
имеет значение большее, нежели
.
6. В основании нашей десятичной системы счисления лежат степени числа
. Число
изображается
с
нулями и образует единицу n-го разряда. Число, изображаемое
цифрами
, имеет значение
.
|
(7)
|
[34]Но чтобы место, занимаемое цифрой, могло служить для обозначения степени, необходимо также указать, какие степени вовсе отсутствуют; для этого служит знак
(нуль), который тоже принято считать цифрой. (Собственно говоря слово «цифра» первоначально обозначало только
, и только позже это название было распространено на остальные знаки, выражающие числа). Сообразно с этим в формуле (7) под
нужно разуметь один из знаков:
.
|
|
Если при некотором вычислении число единиц какого-либо разряда превышает 9, то нужно пользоваться формулой
.
|
|
Таким образом правило умножения чисел в десятичной системе основывается, как мы видим, на предложении § 9, 2.
При возвышении в степень не имеют места ни переместительный, ни сочетательный законы, потому что
имеет другое значение, нежели
(напр.
,
); точно так же
имеет не то значение, что
(напр.
,
). Вследствие этой именно причины не образуют новых действий в том порядке идей, в каком умножение составлено из сложения, хотя по существу это было бы возможно, если принять за основание и показатель одно и то же число. Законы такой операции были бы очень сложны, а ну́жды практической жизни и науки не делают такого обобщения необходимым.