Энциклопедия элементарной математики. Том 1 (Вебер,Каган)/Книга 1/Глава 2/§ 10

Энциклопедия элементарной математики. Том I. Элементарная алгебра и анализ. — Книга I. Основания арифметики. Глава II. Натуральные числа. § 10. Возвышение в степень.
автор Генрих Вебер (1842—1913), пер. Вениамин Каган (1869—1953)

Оригинал: нем. Lehrbuch der Algebra. — См. Оглавление. Перевод опубл.: 1906. Источник: Сканы, размещённые на Викискладе

§ 10. Возвышение в степень.

1. Сложение равных слагаемых привело нас к умножению; точно так же умножение равных сомножителей приводит к новому действию — возвышению в степень.

Положим, что нам нужно составить произведение $n$ сомножителей, которые все равны между собой — именно равны, скажем, числу $a$. Результат этой операции называется n-ой степенью числа $a$ и обозначается символом $a^{n}$, так что

$a.a.a....a=a^{n}$;

(1)

в левой части этого равенства подразумеваем $n$ сомножителей; число $a$ называется основанием степени; говорят также короче «$a$ в n-ой степени». Вычислить n-ую степень числа $a$ значит «возвысить число $a$ в n-ую степень».

Первая степень числа $a$ равна основанию $a$

$a^{1}=a$.

(2)

Так как произведение всякого числа на 1 даёт в результате множимое, то при любом показателе $n$

$1^{n}=1$.

(3)

В частности, в виду геометрических приложений, вторая степень числа $a$ часто называется квадратом числа $a$, а третья степень — кубом этого числа.

Основная теорема относительно степеней, которая выводится непосредственно из определения, заключается в следующем:

2. Чтобы перемножить две степени одного и того же основания, достаточно сложить показатели; в символах:

$a^{m}a^{n}=a^{m+n}$.

(4)

Справедливость этого равенства вытекает из того, что справа и слева мы имеем $m+n$ множителей, равных $a$. Это предложение при помощи индукции легко обобщается на произвольное число множителей.

$a^{m}.a^{n}....a^{q}=a^{m+n+....+q}$,

(5)

каковы бы ни были числа $m,n,....q$ и каково бы ни было число их $r$.

3. Если в равенстве (5) все показатели равны между собой, то оно выражает следующую вторую теорему о степенях:

Чтобы возвысить степень в новую степень, достаточно перемножить показатели, т. е.:

$\left(a^{m}\right)^{r}=a^{mr}$.

4. Чтобы возвысить в степень произведение нескольких сомножителей, можно возвысить в эту степень каждый из сомножителей в отдельности и полученные произведения перемножить:

$\left(abc....\right)^{n}=a^{n}b^{n}c^{n}....$

Если здесь вновь будем считать все основания $a,b,c....$ равными между собой, то мы, в силу соотношения (5), вновь получим предложение 3.

5. Если число $a$ больше $1$, то $a^{n}$ тем больше, чем больше показатель $n$; можно также выбрать число $n$ настолько большим, чтобы $a^{n}$ было больше любого заданного числа $c$. В этом легко убедиться индуктивным путем. В самом деле, утверждение справедливо, если $c=1$, потому что даже $a^{1}$ уже больше $1$.

Если же $a^{n}>c$, то $a^{n+1}>ac>c+1$. Таким образом, если наше утверждение справедливо для некоторого значения $c$, то оно справедливо также для $c+1$.

Вместе с тем, если $a^{n}>c$ для некоторого значения $m$ показателя $n$, то тем более $a^{n}>c$, если $n$ имеет значение большее, нежели $m$.

6. В основании нашей десятичной системы счисления лежат степени числа $10$. Число $10^{n}$ изображается $1$ с $n$ нулями и образует единицу n-го разряда. Число, изображаемое $r$ цифрами $a,b,c....m,n$, имеет значение

$a10^{r}+b10^{r-1}+c10^{r-2}+....+m10+n$.

(7)

Но чтобы место, занимаемое цифрой, могло служить для обозначения степени, необходимо также указать, какие степени вовсе отсутствуют; для этого служит знак $0$ (нуль), который тоже принято считать цифрой. (Собственно говоря слово «цифра» первоначально обозначало только $0$, и только позже это название было распространено на остальные знаки, выражающие числа). Сообразно с этим в формуле (7) под $a,b,c...,m,n$ нужно разуметь один из знаков:

$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$.

Если при некотором вычислении число единиц какого-либо разряда превышает 9, то нужно пользоваться формулой

$(a+10).10^{r}=10^{r+1}+a10^{r}$.

Таким образом правило умножения чисел в десятичной системе основывается, как мы видим, на предложении § 9, 2.

При возвышении в степень не имеют места ни переместительный, ни сочетательный законы, потому что $a^{b}$ имеет другое значение, нежели $b^{a}$ (напр. $a^{1}=a$, $1^{a}=1$); точно так же $a^{(m^{r})}$ имеет не то значение, что ${(a^{m})}^{r}$ (напр. $a^{(1^{r})}=a$, ${(a^{1})}^{r}=a^{r}$). Вследствие этой именно причины не образуют новых действий в том порядке идей, в каком умножение составлено из сложения, хотя по существу это было бы возможно, если принять за основание и показатель одно и то же число. Законы такой операции были бы очень сложны, а ну́жды практической жизни и науки не делают такого обобщения необходимым.

---