[30]
§ 9. Произведения сумм.
1. Положим, что в произведении двух сомножителей один из них представляет собой сумму нескольких слагаемых. В этом случае произведение можно представить в виде суммы такого же числа слагаемых, не производя сложения предварительно. Положим, например, что нам нужно помножить сумму
слагаемых
|
|
на число
![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
; согласно определению умножения, это произведение равно сумме
![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
слагаемых, равных
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
,
![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
слагаемых, равных
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
, и т. д.…, —
![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
слагаемых, равных
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
. Так как мы можем соединять слагаемые в какие угодно группы и производить сложение в каком угодно порядке, то мы можем соединить
![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
слагаемых, равных
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
, т. е. составить произведение
![{\displaystyle ma}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f38bd3876d01199d10b88b0b5c2eb64bbc86b3e)
, затем взять все слагаемые
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
, т. е. составить произведение
![{\displaystyle mb}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a0faad8c2a0cfe86e2746fb80c589715ed656cb)
, и наконец составить произведение
![{\displaystyle mn}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348cd26a0b7a0034f57a951e2cf5f637dd47c1ff)
. Таким образом мы получим
.
|
|
Чтобы показать, что нам нужно помножить всю сумму
, нужно воспользоваться скобками; сообразно этому, пишем
.
|
(1)
|
Ввиду же закона переместительного при умножении, мы отсюда получаем также
.
|
(2)
|
[31]Часто случается, что сумма дана в форме
,
|
|
но что по тем или иным причинам выгоднее представить её в одной из форм
или
|
|
Эта операция называется вынесением за скобки множителя
.
2. Если второй сомножитель
также представляет собою сумму нескольких слагаемых, так что
,
|
|
то в правой части равенств (1) и (2) можно вновь применять то же самое правило; таким образом мы получаем следующее предложение:
Чтобы составить произведение двух сумм
,
|
|
перемножаем каждое слагаемое одной суммы на каждое слагаемое другой суммы и складываем все полученные таким образом произведения.
Если первая сумма содержит
, а вторая
слагаемых, то произведение содержит
слагаемых, потому что каждое из
слагаемых в правой части равенства (2) разлагается на
слагаемых.
Вместо того, чтобы обозначать ряд чисел последовательными буквами
,
,
..., часто пользуются одной и той же буквой, например
, присоединяя к ней указатели или «индексы»:
.
|
|
Сам индекс часто также обозначают буквой, которая может иметь значение
,
,
....
, например,
.
|
|
Сумму
чисел
можно в этих обозначениях выразить так:
,
|
|
где знак
![{\displaystyle \sum }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1d4e06539576633987e902f402ed46728d573b6)
служит для сокращённого обозначения слова «сумма», числа
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
и
![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
называются
пределами индекса
![{\displaystyle i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
. Если указание этих пределов представляется излишним, то пишут короче
.
|
|
[32]В этих обозначениях содержание предложения 2 может быть выражено так:
.
|
(3)
|
Это предложение может быть также распространено на произведение нескольких множителей, например:
.
|
(4)
|
Выражение вида
, где
и
суть неопределённые числа, называют двучленом или биномом. Точно так же выражение
называется трехчленом, или триномом, и вообще сумму нескольких слагаемых, обозначенных буквами, называют многочленом, или полиномом. Отдельные слагаемые называются членами полинома.