Энциклопедия элементарной математики. Том 1 (Вебер,Каган)/Книга 1/Глава 2/§ 9

Энциклопедия элементарной математики. Том I. Элементарная алгебра и анализ. — Книга I. Основания арифметики. Глава II. Натуральные числа. § 9. Произведения сумм.
автор Генрих Вебер (1842—1913), пер. Вениамин Каган (1869—1953)

Оригинал: нем. Lehrbuch der Algebra. — См. Оглавление. Перевод опубл.: 1906. Источник: Сканы, размещённые на Викискладе

§ 9. Произведения сумм.

1. Положим, что в произведении двух сомножителей один из них представляет собой сумму нескольких слагаемых. В этом случае произведение можно представить в виде суммы такого же числа слагаемых, не производя сложения предварительно. Положим, например, что нам нужно помножить сумму $r$ слагаемых

$S=a+b+c+....+n$

на число $m$; согласно определению умножения, это произведение равно сумме $m$ слагаемых, равных $a$, $m$ слагаемых, равных $b$, и т. д.…, — $m$ слагаемых, равных $n$. Так как мы можем соединять слагаемые в какие угодно группы и производить сложение в каком угодно порядке, то мы можем соединить $m$ слагаемых, равных $a$, т. е. составить произведение $ma$, затем взять все слагаемые $b$, т. е. составить произведение $mb$, и наконец составить произведение $mn$. Таким образом мы получим

$ms=ma+mb+mc+....+mn$.

Чтобы показать, что нам нужно помножить всю сумму $a+b+....+n$, нужно воспользоваться скобками; сообразно этому, пишем

$m(a+b+c+....+n)=ma+mb+mc+....+mn$.

(1)

Ввиду же закона переместительного при умножении, мы отсюда получаем также

$(a+b+c+....+n)m=am+bm+cm+....+nm$.

(2)

Часто случается, что сумма дана в форме

$ma+mb+mc+....+mn$,

но что по тем или иным причинам выгоднее представить её в одной из форм

$m(a+b+c+....+n)$ или $(a+b+c+....+n)m$

Эта операция называется вынесением за скобки множителя $m$.

2. Если второй сомножитель $m$ также представляет собою сумму нескольких слагаемых, так что

$m=a'+b'+c'+....+n'$,

то в правой части равенств (1) и (2) можно вновь применять то же самое правило; таким образом мы получаем следующее предложение:

Чтобы составить произведение двух сумм

$(a+b+c+....+n)(a'+b'+c'+....+n')$,

перемножаем каждое слагаемое одной суммы на каждое слагаемое другой суммы и складываем все полученные таким образом произведения.

Если первая сумма содержит $r$, а вторая $r'$ слагаемых, то произведение содержит $rr'$ слагаемых, потому что каждое из $r$ слагаемых в правой части равенства (2) разлагается на $r'$ слагаемых.

Вместо того, чтобы обозначать ряд чисел последовательными буквами $a$, $b$, $c$ ..., часто пользуются одной и той же буквой, например $a$, присоединяя к ней указатели или «индексы»:

$a_{1},a_{2},a_{3},....a_{r}$.

Сам индекс часто также обозначают буквой, которая может иметь значение $1$, $2$, $3$ .... $r$, например,

$a_{i}\quad i=1,2,3....r$.

Сумму $s$ чисел $a_{1},a_{2},a_{3},....a_{r}$ можно в этих обозначениях выразить так:

$s=\sum _{i=1}^{r}a_{i}$,

где знак $\sum$ служит для сокращённого обозначения слова «сумма», числа $1$ и $r$ называются пределами индекса $i$. Если указание этих пределов представляется излишним, то пишут короче

$s=\sum ^{i}a_{i}$.

В этих обозначениях содержание предложения 2 может быть выражено так:

$\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{r'}b_{j}\right)=\sum ^{i,j}a_{i}b_{j}$.

(3)

Это предложение может быть также распространено на произведение нескольких множителей, например:

$\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{s}b_{j}\right)\left(\sum _{h=1}^{t}c_{h}\right)=\sum ^{i,j,h}a_{i}b_{j}c_{h}$.

(4)

Выражение вида $a+b$, где $a$ и $b$ суть неопределённые числа, называют двучленом или биномом. Точно так же выражение $a+b+c$ называется трехчленом, или триномом, и вообще сумму нескольких слагаемых, обозначенных буквами, называют многочленом, или полиномом. Отдельные слагаемые называются членами полинома.

Примечания