Энциклопедия элементарной математики. Том 1 (Вебер,Каган)/Книга 1/Глава 2/§ 9/ДО

Энциклопедія элементарной математики. Томъ I. Элементарная алгебра и анализъ. — Книга I. Основанiя ариѳметики. Глава II. Натуральныя числа. § 9. Произведенiя суммъ.
авторъ Генрихъ Веберъ (1842—1913), пер. Веніаминъ Каганъ (1869—1953)

Оригинал: нем. Lehrbuch der Algebra. — См. Оглавленіе. Перевод опубл.: 1906. Источникъ: Сканы, размещённые на Викискладе

§ 9. Произведенiя суммъ.

1. Положимъ, что въ произведенiи двухъ сомножителей одинъ изъ нихъ представляетъ собой сумму нѣсколькихъ слагаемыхъ. Въ этомъ случаѣ произведенiе можно представить въ видѣ суммы такого же числа слагаемыхъ, не производя сложенiя предварительно. Положимъ, напримѣръ, что намъ нужно помножить сумму $r$ слагаемыхъ

$S=a+b+c+....+n$

на число $m$; согласно опредѣленiю умноженiя, это произведенiе равно суммѣ $m$ слагаемыхъ, равныхъ $a$, $m$ слагаемыхъ, равныхъ $b$, и т. д.…, — $m$ слагаемыхъ, равныхъ $n$. Такъ какъ мы можемъ соединять слагаемыя въ какiя угодно группы и производить сложенiе въ какомъ-угодно порядкѣ, то мы можемъ соединить $m$ слагаемыхъ, равныхъ $a$, т. е. составить произведенiе $ma$, затѣмъ взять всѣ слагаемыя $b$, т. е. составить произведенiе $mb$, и наконецъ составить произведенiе $mn$. Такимъ образомъ мы получимъ

$ms=ma+mb+mc+....+mn$.

Чтобы показать, что намъ нужно помножить всю сумму $a+b+....+n$, нужно воспользоваться скобками; сообразно этому, пишемъ

$m(a+b+c+....+n)=ma+mb+mc+....+mn$.

(1)

Въ виду-же закона перемѣстительнаго при умноженiи, мы отсюда получаемъ также

$(a+b+c+....+n)m=am+bm+cm+....+nm$.

(2)

Часто случается, что сумма дана въ формѣ

$ma+mb+mc+....+mn$,

но что по тѣмъ или инымъ причинамъ выгоднѣе представить ее въ одной изъ формъ^[1]

$m(a+b+c+....+n)$ или $(a+b+c+....+n)m$

Эта операцiя называется вынесенiемъ за скобки множителя $m$.

2. Если второй сомножитель $m$ также представляетъ собою сумму нѣсколькихъ слагаемыхъ, такъ что

$m=a'+b'+c'+....+n'$,

то въ правой части равенствъ (1) и (2) можно вновь примѣнять то же самое правило; такимъ образомъ мы получаемъ следующее предложенiе:

Чтобы составить произведенiе двухъ суммъ

$(a+b+c+....+n)(a'+b'+c'+....+n')$,

перемножаемъ каждое слагаемое одной суммы на каждое слагаемое другой суммы и складываемъ всѣ полученныя такимъ образомъ произведенiя.

Если первая сумма содержитъ $r$, а вторая $r'$ слагаемыхъ, то произведенiе содержитъ $rr'$ слагаемыхъ, потому что каждое изъ $r$ слагаемыхъ въ правой части равенства (2) разлагается на $r'$ слагаемыхъ.

Вмѣсто того, чтобы обозначать рядъ чиселъ последовательными буквами $a$, $b$, $c$ ..., часто пользуются одной и той же буквой, напримѣръ $a$, присоединяя къ ней указатели или „индексы“:

$a_{1},a_{2},a_{3},....a_{r}$.

Самый индексъ часто также обозначаютъ буквой, которая можетъ имѣть значенiе $1$, $2$, $3$ .... $r$, напримѣръ,

$a_{i}\quad i=1,2,3....r$.

Сумму $s$ чиселъ $a_{1},a_{2},a_{3},....a_{r}$ можно въ этихъ обозначенiяхъ выразить такъ:

$s=\sum _{i=1}^{r}a_{i}$,

гдѣ знакъ $\sum$ служит для сокращеннаго обозначенiя слова „сумма“, числа $1$ и $r$ называются пределами индекса $i$. Если указанiе этихъ предѣловъ представляется излишнимъ, то пишутъ короче

$s=\sum ^{i}a_{i}$.

Въ этихъ обозначенiяхъ содержанiе предложенiя 2 можетъ быть выражено такъ:

$\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{r'}b_{j}\right)=\sum ^{i,j}a_{i}b_{j}$.

(3)

Это предложенiе можетъ быть также распространено на произведенiе нѣсколькихъ множителей, напримѣръ:

$\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{s}b_{j}\right)\left(\sum _{h=1}^{t}c_{h}\right)=\sum ^{i,j,h}a_{i}b_{j}c_{h}$.

(4)

Выраженiе вида $a+b$, гдѣ $a$ и $b$ суть неопредѣленныя числа, называютъ двучленомъ или биномомъ. Точно такъ же выраженiе $a+b+c$ называется трехчленомъ, или триномомъ, и вообще сумма нѣсколькихъ слагаемыхъ, обозначенныхъ буквами, называютъ многочленомъ, или полиномомъ. Отдѣльныя слагаемыя называются членами полинома.

Примѣчанія.

1. Во второй форме исправлена опечатка. В оригинале: $(a+b+c+....n+)m$. — Примечание редактора Викитеки.