Третья эпоха: Аналитическая геометрія трехъ измѣреній.
[159]38. Аналитическая геометрія трехъ измѣреній. Труды геометровъ, о которыхъ мы упомянули въ началѣ третьей эпохи, какъ о двигателяхъ Декартовой геометріи, относились вообще только къ геометріи на плоскости. Однако знаменитый философъ, понимая всю важность и могущество способа координатъ, не ограничилъ употребленіе его только плоскими кривыми, но показалъ примѣненіе и къ теоріи линій двоякой кривизны. Для этого онъ изъ всѣхъ точекъ какой нибудь кривой въ пространствѣ опускалъ перпендикуляры на двѣ плоскости, наклоненныя другъ къ другу подъ прямымъ угломъ; основанія этихъ перпендикуляровъ образовали двѣ плоскія кривыя, которыя онъ относилъ къ осямъ координатъ, взятымъ въ каждой изъ плоскостей, при чемъ одну изъ осей бралъ по направленію линіи пересѣченія плоскостей.
Это ученіе о кривыхъ линіяхъ въ пространствѣ вело, какъ мы видимъ, къ системѣ трехъ координатъ и къ выраженію поверхности однимъ уравненіемъ между этими координатами. Но изслѣдованія геометровъ долгое время ограничивались только плоскими кривыми и аналитическая геометрія трехъ измѣреній развилась не ранѣе какъ черезъ полстолѣтіе.
Кажется, что Паранъ (Parent, 1666—1716) въ 1700 году въ первый разъ представилъ кривую поверхность уравненіемъ съ тремя перемѣнными въ мемуарѣ, читанномъ, имъ въ Академіи наукъ.
[160]
Мы должны упомянуть объ этомъ мемуарѣ, потому что въ немъ встрѣчается первое приложеніе нашей системы координатъ въ пространствѣ и притомъ къ вопросамъ весьма труднымъ; но мемуаръ этотъ написанъ довольно небрежно, какъ и другія сочиненія того же геометра, весьма впрочемъ искуснаго и обладавшаго разнообразными свѣдѣніями. Здѣсь находимъ мы уравненія сферы и касательной плоскости ея, опредѣленіе наибольшихъ и наименьшихъ ординатъ въ нѣкоторыхъ сѣченіяхъ сферы; уравненія различныхъ поверхностей третьяго порядка и кривыхъ двоякой кривизны, проходящихъ черезъ точки, соотвѣтствующія наибольшимъ и наименьшимъ ординатамъ, наконецъ построеніе точекъ перегиба для нѣкоторыхъ кривыхъ, проведенныхъ на поверхностяхъ[1].
Впослѣдствіи Иванъ Бернулли также выражалъ поверхности уравненіями между тремя координатами по поводу вопроса о кратчайшей линіи между двумя точками на данной поверхности.
Клеро (1713—1765). Но только въ 1731 году Клеро (Clairaut) въ знаменитомъ сочиненіи Traité des courbes à double courbure, которое онъ написалъ шестнадцати лѣтъ[2],
[161]изложилъ въ первый разъ систематическимъ образомъ ученіе о координатахъ въ пространствѣ съ приложеніемъ къ кривымъ поверхностямъ и линіямъ двоякой кривизны, получаемымъ отъ ихъ пересѣченія.
Вопросы о касательныхъ къ такимъ кривымъ, о ихъ выпрямленіи, о квадратурѣ поверхностей, образуемыхъ ихъ ординатами, рѣшены въ этомъ трактатѣ съ изяществомъ и простотою, уступающими теперешнимъ пріемамъ только въ симметріи формулъ, которая введена была Монжемъ въ Traité de l'application de l'Algèbre à la Géométrie.
Названіе «кривая двоякой кривизны», которое Клеро принялъ, потому что такая кривая имѣетъ въ одно время кривизну двухъ ея проэкцій, было употреблено въ первый разъ Пито (Pitot, 1695—1771)[3] въ мемуарѣ о винтовой линіи на поверхности прямаго круглаго цилиндра; мемуаръ этотъ читанъ въ Академіи наукъ въ 1724 году.
[162]
39. Говоря объ Архитасѣ, Геминѣ и Паппѣ, мы имѣли случай замѣтить [см. гл. I, n. 2], что кривыя двоякой кривизны не были совершенно чужды наукѣ древнихъ. Съ тѣхъ поръ и до времени Клеро, когда началась теорія этихъ кривыхъ и значеніе ихъ въ обширной области свойствъ пространства, онѣ также встрѣчаются въ сочиненіяхъ многихъ геометровъ.
Въ дополненіе къ исторіи этихъ кривыхъ предлагаемъ слѣдующій краткій обзоръ въ хронологическомъ порядкѣ обстоятельствъ, при которыхъ онѣ встрѣчаются.
Въ 1530 году португалецъ Ноніусъ (1492—1577) и позднѣе Урайтъ, Стевинъ и Снеллій, изслѣдовали loxodromie — кривую двоякой кривизны на земномъ сфероидѣ. Эта кривая представляетъ путь корабля, направляющагося всегда въ одну сторону горизонта (въ одномъ румбѣ, или азимутѣ). Галлею мы обязаны любопытнымъ свойствомъ этой кривой, именно, что она есть стереографическая проэкція логариѳмической спирали.
Около 1630 года Роберваль въ Traité des indivisibles разсматривалъ кривую двоякой кривизны, описываемую циркулемъ на поверхности прямаго круглаго цилиндра; онъ вывелъ различныя свойства какъ этой кривой,такъ и той, которая изъ нея получается послѣ развертыванія цилиндра.
Нѣсколько позднѣе Ла-Луберъ (La Loubère, 1600—1664) изучалъ также эту кривую и назвалъ ее цикло-цилиндрической.
Въ 1637 году Декартъ въ концѣ второй книги своей Геометріи высказалъ нѣсколько словъ о кривыхъ двоякой кривизны вообще, не занимаясь ни одною изъ нихъ въ особенности; въ этихъ немногихъ словахъ заключалась вся теорія этихъ кривыхъ[4].
[163]
Паскаль рѣшилъ задачу о конической спирали — линіи двоякой кривизны на прямомъ конусѣ. (Oeuvres de Pascal, t. V, p. 422).
Курсье (P. Coursier) въ сочиненіи Opusculum de sectione superficiei sphaericae per superficies sphaericam, cylindricam atque conicam, etc. in—4°, 1663, разсматривалъ почти исключительно кривыя двоякой кривизны; именно кривыя, происходящія отъ пересѣченія сферы съ круглымъ цилиндромъ и конусомъ, a также отъ пересѣченія двухъ послѣднихъ поверхностей при всевозможныхъ относительныхъ положеніяхъ ихъ между собою. Хотя предметъ этого сочиненія не представляетъ серьезныхъ трудностей, однако оно заслуживало бы большей извѣстности, нежели какую имѣетъ теперь[5].
Предложенная Вивіани въ 1692 году задача о томъ, какъ прорѣзать въ полусферическомъ сводѣ четыре окна съ тѣмъ условіемъ, чтобы можно было найти площадь остальной части свода, была рѣшена при помощи линій двоякой кривизны и дала поводъ Валлису, Лейбницу и Бернулли разсматривать эти кривыя на сферѣ.
Германъ (1678—1733), рѣшая предложенный въ Лейпцигскихъ актахъ 1718 года вопросъ о распрямляемыхъ кривыхъ
[164]на сферѣ, пришелъ къ изслѣдованію сферической эпициклоиды, образуемой точкою поверхности круглаго конуса, катящагося по плоскости и имѣющаго вершину въ неподвижной точкѣ.
Въ 1728 году Гвидо Гранди (1671—1742) разсматривалъ на сферѣ двѣ кривыя двоякой кривизны, которыя онъ назвалъ клеліями (clélies) и для которыхъ нашелъ квадратуры. Одна изъ этихъ кривыхъ есть просто пересѣченіе сферы cъ винтовою поверхностью, ось которой проходитъ чрезъ центръ сферы.
Наконецъ явилось сочиненіе Клеро, положившее основаніе теоріи линій двоякой кривизны и съ тѣхъ поръ изслѣдованія этихъ кривыхъ значительно умножились.
Примѣчанія.
- ↑ Des affections des superficies: 1° de leurs plans tangens; 2° des plus grands et plus petits des superficies et de leurs plus grands et plus petits absolus; 3° des courbes qui soutiennet ou contiennent les plus grands et plus petits des superficies; 4° des courbes qui soutiennent ou contiennent les inflexions des superficies. — См. второй томъ Essais et Recherches de mathématiques et de physique de Parent; 3 тома in—12°, второе изданіе, 1713.
- ↑ Клеро уже съ двѣнадцати лѣтъ сдѣлался извѣстенъ ученому міру своимъ мемуаромъ о четырехъ геометрическихъ кривыхъ; мемуаръ этотъ нашли достойнымъ напечатать вслѣдъ за мемуаромъ отца Клеро въ сборникѣ Берлинской Академіи (Miscellanea Berolinensia, t. IV, 1734).
Младшій братъ его, умершій шестнадцати лѣтъ, обнаруживалъ такой же ранній талантъ; четырнадцати лѣтъ онъ издалъ сочиненіе Diverses quadratures circulaires, elliptiques et hyperboliques, къ которому присоединено построеніе кубическихъ параболъ и различныхъ другихъ кривыхъ посредствомъ непрерывнаго движенія.
Это небольшое сочиненіе, одобренное Парижскою Академіею наукъ въ 1730 и напечатанное въ 1731 году, заслуживаетъ мѣста въ кабинетѣ библіографа рядамъ съ Essai pour les coniques Паскаля и съ Recherches sur les courbes à double courbure cтаршаго брата Клеро. Рѣдкость книги еще болѣе увеличиваетъ цѣну этого любопытнаго литературнаго произведенія, написаннаго четырнадцатилѣтнимъ геометромъ.
- ↑ Пито предложилъ себѣ найти квадратуру кривой, которую прежде называли compagne de la cycloïde и которую Лейбницъ назвалъ впослѣдствіи линіею синусовъ, потому что ея абсциcсы равнялись бы синусамъ ординатъ, еслибы эти ординаты были согнуты по окружности круга. Пито нашелъ 1° что эта кривая получается изъ эллипса, образуемаго при сѣченіи прямаго круглаго цилиндра плоскостію, наклоненною къ оси подъ угломъ равнымъ половинѣ прямаго (45°), если поверхность цилиндра будетъ развернута въ плоскость и 2° что кривая эта получается также отъ проложенія винтовой линіи, начерченной на томъ же цилиндрѣ, на плоскость параллельную оси.
Оба эти предложенія были впослѣдствіи доказаны въ разныхъ сочиненіяхъ.
Кривая, объ которой мы говоримъ, разсматриваемая со стороны ея происхожденія изъ эллипса при развертываніи цилиндра, обратила на себя вниманіе Шуберта, который нашелъ ея квадратуру и выпрямленіе въ Петербургскихъ Nova Acta, t. XIII, 1795 и 1796 г.
Бюржа (Burjà) въ Mémoire sur les connaissances mathématiques d'Aristote замѣчаетъ, что Аристотель, этотъ глава философовъ древности, также говоритъ объ этой кривой въ шестомъ вопросѣ десятаго отдѣла Проблемъ.
- ↑ Декартъ показываетъ также построеніе нормалей къ линіямъ двоякой кривизны; но здѣсь онъ дѣлаетъ ошибку; онъ полагаетъ, что нормали къ двумъ плоскимъ кривымъ, именно къ проэкціямъ линіи двоякой кривизны, сами будутъ проэкціями нормали этой кривой. Это можно сказать о касательныхъ, но не о нормаляхъ.
Какъ ни маловажна эта ошибка и какъ она ни чужда способу Декартовой геометріи, однако нельзя не удивляться, что она ускользнула отъ завистниковъ, a также и отъ поклонниковъ этого безсмертнаго изобрѣтенія, особенно отъ Роберваля, который всѣми силами, мучительно, желалъ найти въ немъ какой нибудь недостатокъ. Мало того, Рабюэль въ своемъ Commentaire доказалъ построеніе, указанное Декартомъ. Надобно сказать, что въ этомъ воображаемомъ доказательствѣ онъ избавляетъ себя отъ ссылокъ на элементы Евклида, что дѣлаетъ обыкновенно почти на каждой строчкѣ.
- ↑ Фрезье (Frezier) въ Traité de Stéréotomie разсматривалъ тѣже кривыя, какъ и Курсье; послѣдній называлъ ихъ curvitegae; Фрезье же далъ имъ названіе imbricatae (en forme de tuile creuse).
|
Сканы, размещённые на Викискладе