Третья эпоха: Аналитическая геометрия трех измерений.
[159]38. Аналитическая геометрия трех измерений. Труды геометров, о которых мы упомянули в начале третьей эпохи, как о двигателях Декартовой геометрии, относились вообще только к геометрии на плоскости. Однако знаменитый философ, понимая всю важность и могущество способа координат, не ограничил употребление его только плоскими кривыми, но показал применение и к теории линий двоякой кривизны. Для этого он из всех точек какой нибудь кривой в пространстве опускал перпендикуляры на две плоскости, наклоненные друг к другу под прямым углом; основания этих перпендикуляров образовали две плоские кривые, которые он относил к осям координат, взятым в каждой из плоскостей, при чем одну из осей брал по направлению линии пересечения плоскостей.
Это учение о кривых линиях в пространстве вело, как мы видим, к системе трех координат и к выражению поверхности одним уравнением между этими координатами. Но исследования геометров долгое время ограничивались только плоскими кривыми и аналитическая геометрия трех измерений развилась не ранее как через пол столетия.
Кажется, что Паран (Parent, 1666—1716) в 1700 году в первый раз представил кривую поверхность уравнением с тремя переменными в мемуаре, читанном, им в Академии наук.
[160]
Мы должны упомянуть об этом мемуаре, потому что в нем встречается первое приложение нашей системы координат в пространстве и притом к вопросам весьма трудным; но мемуар этот написан довольно небрежно, как и другия сочинения того же геометра, весьма впрочем искусного и обладавшего разнообразными сведениями. Здесь находим мы уравнения сферы и касательной плоскости её, определение наибольших и наименьших ординат в некоторых сечениях сферы; уравнения различных поверхностей третьего порядка и кривых двоякой кривизны, проходящих через точки, соответствующие наибольшим и наименьшим ординатам, наконец построение точек перегиба для некоторых кривых, проведенных на поверхностях[1].
Впоследствии Иоганн Бернулли также выражал поверхности уравнениями между тремя координатами по поводу вопроса о кратчайшей линии между двумя точками на данной поверхности.
Клеро (1713—1765). Но только в 1731 году Клеро (Clairaut) в знаменитом сочинении Traité des courbes à double courbure, которое он написал шестнадцати лет[2],
[161]изложил в первый раз систематическим образом учение о координатах в пространстве с приложением к кривым поверхностям и линиям двоякой кривизны, получаемым от их пересечения.
Вопросы о касательных к таким кривым, о их выпрямлении, о квадратуре поверхностей, образуемых их ординатами, решены в этом трактате с изяществом и простотою, уступающими теперешним приемам только в симметрии формул, которая введена была Монжем в Traité de l'application de l'Algèbre à la Géométrie.
Название «кривая двоякой кривизны», которое Клеро принял, потому что такая кривая имеет в одно время кривизну двух её проекций, было употреблено в первый раз Пито (Pitot, 1695—1771)[3] в мемуаре о винтовой линии на поверхности прямого круглого цилиндра; мемуар этот читан в Академии наук в 1724 году.
[162]
39. Говоря об Архитасе, Гемине и Паппе, мы имели случай заметить [см. гл. I, n. 2], что кривые двоякой кривизны не были совершенно чужды науке древних. С тех пор и до времени Клеро, когда началась теория этих кривых и значение их в обширной области свойств пространства, они также встречаются в сочинениях многих геометров.
В дополнение к истории этих кривых предлагаем следующий краткий обзор в хронологическом порядке обстоятельств, при которых они встречаются.
В 1530 году португалец Нониус (1492—1577) и позднее Урайт, Стевин и Снеллий, исследовали локсодрому — кривую двоякой кривизны на земном сфероиде. Эта кривая представляет путь корабля, направляющегося всегда в одну сторону горизонта (в одном румбе, или азимуте). Галлею мы обязаны любопытным свойством этой кривой, именно, что она есть стереографическая проекция логарифмической спирали.
Около 1630 года Роберваль в Traité des indivisibles рассматривал кривую двоякой кривизны, описываемую циркулем на поверхности прямого круглого цилиндра; он вывел различные свойства как этой кривой,так и той, которая из неё получается после развертывания цилиндра.
Несколько позднее Ла-Лубер (La Loubère, 1600—1664) изучал также эту кривую и назвал ее цикло-цилиндрической.
В 1637 году Декарт в конце второй книги своей Геометрии высказал несколько слов о кривых двоякой кривизны вообще, не занимаясь ни одною из них в особенности; в этих немногих словах заключалась вся теория этих кривых[4].
[163]
Паскаль решил задачу о конической спирали — линии двоякой кривизны на прямом конусе. (Oeuvres de Pascal, t. V, p. 422).
Курсье (P. Coursier) в сочинении Opusculum de sectione superficiei sphaericae per superficies sphaericam, cylindricam atque conicam, etc. in—4°, 1663, рассматривал почти исключительно кривые двоякой кривизны; именно кривые, происходящие от пересечения сферы с круглым цилиндром и конусом, а также от пересечения двух последних поверхностей при всевозможных относительных положениях их между собою. Хотя предмет этого сочинения не представляет серьезных трудностей, однако оно заслуживало бы большей известности, нежели какую имеет теперь[5].
Предложенная Вивиани в 1692 году задача о том, как прорезать в полусферическом своде четыре окна с тем условием, чтобы можно было найти площадь остальной части свода, была решена при помощи линий двоякой кривизны и дала повод Валлису, Лейбницу и Бернулли рассматривать эти кривые на сфере.
Герман (1678—1733), решая предложенный в Лейпцигских актах 1718 года вопрос о распрямляемых кривых
[164]на сфере, пришел к исследованию сферической эпициклоиды, образуемой точкою поверхности круглого конуса, катящегося по плоскости и имеющего вершину в неподвижной точке.
В 1728 году Гвидо Гранди (1671—1742) рассматривал на сфере две кривые двоякой кривизны, которые он назвал клелиями (clélies) и для которых нашел квадратуры. Одна из этих кривых есть просто пересечение сферы с винтовой поверхностью, ось которой проходит чрез центр сферы.
Наконец явилось сочинение Клеро, положившее основание теории линий двоякой кривизны и с тех пор исследования этих кривых значительно умножились.
Примечания
- ↑ Des affections des superficies: 1° de leurs plans tangens; 2° des plus grands et plus petits des superficies et de leurs plus grands et plus petits absolus; 3° des courbes qui soutiennet ou contiennent les plus grands et plus petits des superficies; 4° des courbes qui soutiennent ou contiennent les inflexions des superficies. — См. второй том Essais et Recherches de mathématiques et de physique de Parent; 3 тома in—12°, второе издание, 1713.
- ↑ Клеро уже с двенадцати лет сделался известен ученому миру своим мемуаром о четырех геометрических кривых; мемуар этот нашли достойным напечатать вслед за мемуаром отца Клеро в сборнике Берлинской Академии (Miscellanea Berolinensia, t. IV, 1734).
Младший брат его, умерший шестнадцати лет, обнаруживал такой же ранний талант; четырнадцати лет он издал сочинение Diverses quadratures circulaires, elliptiques et hyperboliques, к которому присоединено построение кубических парабол и различных других кривых посредством непрерывного движения.
Это небольшое сочинение, одобренное Парижскою Академиею наук в 1730 и напечатанное в 1731 году, заслуживает места в кабинете библиографа рядам с Essai pour les coniques Паскаля и с Recherches sur les courbes à double courbure старшего брата Клеро. Редкость книги еще более увеличивает цену этого любопытного литературного произведения, написанного четырнадцатилетним геометром.
- ↑ Пито предложил себе найти квадратуру кривой, которую прежде называли compagne de la cycloïde и которую Лейбниц назвал впоследствии линиею синусов, потому что её абсциссы равнялись бы синусам ординат, если бы эти ординаты были согнуты по окружности круга. Пито нашел 1° что эта кривая получается из эллипса, образуемого при сечении прямого круглого цилиндра плоскостью, наклоненною к оси под углом равным половине прямого (45°), если поверхность цилиндра будет развернута в плоскость и 2° что кривая эта получается также от проложения винтовой линии, начерченной на том же цилиндре, на плоскость параллельную оси.
Оба эти предложения были впоследствии доказаны в разных сочинениях.
Кривая, об которой мы говорим, рассматриваемая со стороны её происхождения из эллипса при развертывании цилиндра, обратила на себя внимание Шуберта, который нашел её квадратуру и выпрямление в Петербургских Nova Acta, t. XIII, 1795 и 1796 г.
Бюржа (Burjà) в Mémoire sur les connaissances mathématiques d'Aristote замечает, что Аристотель, этот глава философов древности, также говорит об этой кривой в шестом вопросе десятого отдела Проблем.
- ↑ Декарт показывает также построение нормалей к линиям двоякой кривизны; но здесь он делает ошибку; он полагает, что нормали к двум плоским кривым, именно к проекциям линии двоякой кривизны, сами будут проекциями нормали этой кривой. Это можно сказать о касательных, но не о нормалях.
Как ни маловажна эта ошибка и как она ни чужда способу Декартовой геометрии, однако нельзя не удивляться, что она ускользнула от завистников, a также и от поклонников этого бессмертного изобретения, особенно от Роберваля, который всеми силами, мучительно, желал найти в нем какой-нибудь недостаток. Мало того, Рабюэль в своем Commentaire доказал построение, указанное Декартом. Надобно сказать, что в этом воображаемом доказательстве он избавляет себя от ссылок на элементы Евклида, что делает обыкновенно почти на каждой строчке.
- ↑ Фрезье (Frezier) в Traité de Stéréotomie рассматривал теже кривые, как и Курсье; последний называл их curvitegae; Фрезье же дал им название imbricatae (en forme de tuile creuse).
|
Сканы, размещённые на Викискладе