Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Общие свойства геометрических кривых

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску

Четвертая эпоха:
Исчисление бесконечно-малых. — Общие свойства геометрических кривых. Enumeratio linearum tertii ordinis Ньютона. — De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus Маклорена. — Николь. — Аббат Бражелон. — Аббат Де-Гюа. — Introductio in analysin infinitorum Эйлера. — Крамер. — Дю-Сежура и Гудена. — Гуден. — Варинг. — Геометрия в приложении к физическим явлениям.

автор Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингер
Язык оригинала: французский. Название в оригинале: Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Из цикла «Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов». Дата создания: 1829-1835 гг., опубл.: 1837, перев. 1870-83 гг. Источник: Commons-logo.svg Сканы, размещённые на Викискладе Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Общие свойства геометрических кривых в дореформенной орфографии


Четвертая эпоха, n° 1-11.


[165]1. Исчисление бесконечно-малых. Через пятьдесят лет после того, как Декарт издал свою Геометрию, появилось другое великое изобретение, подготовленное Ферматом и Барровом, — исчисление бесконечно малых Лейбница и Ньютона (в 1684 и 1687 г.)

Это величайшее открытие, заменившее собою с неизмеримым преимуществом способы Кавальери, Роберваля, Фермата, Григория С. Винцента в вопросах о измерении фигур и о maxima и minima, прилагалось притом с таким необыкновенным удобством к изучению важнейших вопросов о явлениях природы, что сделалось почти исключительно предметом соображений самых знаменитых геометров. С этих пор геометрия древних и прекрасные способы изучения конических сечений Дезарга, Паскаля, Де-Лагира и Ле-Пуавра были оставлены без внимания.

Из всех великих произведений второй и третьей эпохи один только анализ Декарта избежал этой общей участи. И это потому, что он служил существенным основанием для учений Лейбница и Ньютона, — учений, охвативших собою всю область математических наук.

Впрочем, в первое время, некоторые геометры и во главе их Гюйгенс, хотя умевший оценить все выгоды анализа бесконечно-малых, затем Маклорен, глубокомысленный комментатор Трактата о флюксиях, и сам Ньютон — оставались верны способу древних и проникали в самые [166]глубокие тайны геометрии, чтобы при её только помощи решать важнейшие и высшие вопросы физико-математических наук.

После того еще некоторые геометры, каковы Стюарт и Ламберт, достойные продолжатели этих великих людей, шли по их следам и разрабатывали их методы. Но наконец привлекательность новизны и могущество средств, представляемых анализом бесконечно-малых, увлекли все умы к другим идеям и соображениям. Если иногда можно сказать, что геометрия Гюйгенса и Ньютона, положив начало нашим положительным знаниям, сделалась недостаточна для продолжения ею созданного дела, то справедливо заметит также, что она не имела последователей; я не знаю, делались ли в течение трех четвертей столетия какие-нибудь новые приложения этого метода; теперь же только по преданию и на веру, может быть даже легкомысленно, говорят о бессилии этого метода и пределах, навсегда ограничивающих его приложения,

2. Мы не можем представить здесь разбора всех исследований названных нами великих геометров; такая задача не входит в пределы нашего сочинения и была бы выше наших сил. Мы упомянем только о тех исследованиях, которые относятся к одному отделу геометрии, названному нами геометрией вида и положения; это отдел, который получил начало в геометрическом анализе древних, потом в течение двух тысяч лет развивался в приложениях к неистощимой теории конических сечений и к которому наконец Декарт одним росчерком пера присоединил бесчисленное множество геометрических кривых.

Сперва мы представим краткий очерк последовательных открытий в области важнейших свойств этих кривых; а потом уже, возвратившись опять к началу, будем говорить об успехах в других отделах геометрии.

3. Общие свойства геометрических кривых. Аналитическая геометрия Декарта представляла общий прием, в высшей степени приспособленный к изучению геометрических [167]кривых; этот философ сам показал всё могущество и пользу его при решении самых разнообразных вопросов. Но Ньютон и Маклорен первые приложили его к изысканию общих и характеристических свойств этого рода кривых линий, так что открытием первых и важнейших из этих свойств мы обязаны этим двум великим геометрам и знаменитому современнику их Котесу.

Ньютон в своем сочинении Перечисление кривых третьего порядка (Enumeratio linearum tertii ordinis, 1706 г.)[1], представляющем удивительный образец высшей геометрии, показал три следующие свойства, предложенные им как распространение главных свойств конических сечений[2].

Первое свойство относится к диаметрам этих кривых; оно состоит в том, что, если в плоскости геометрической кривой будут проведены секущие, параллельные между собою, и на каждой из них будет взят центр средних расстояний всех точек пересечения её с кривою, то все эти центры будут лежать на одной прямой линии. Прямая эта называется диаметром кривой, соответствующим, или сопряженным, направлению секущих.

Второе общее свойство относится к асимптотам: если кривая имеет столько асимптот, сколько единиц в степени её уравнения, то для всякой секущей какого угодно направления центр средних расстояний точек пересечения её с асимптотами будет тот же, как и точек пересечения её с кривою.

Другими словами: сумма отрезков, заключающихся между каждою ветвью кривой и её асимптотой, будет одинакова по ту и другую сторону диаметра, сопряженного секущей.

Наконец, третье общее свойство заключается в постоянстве отношения между произведениями отрезков, образуемых на двух секущих параллельных двум неподвижным [168]осям. Это свойство можно выразить в общем виде следующим образом: если через какую нибудь точку в плоскости геометрической кривой проведем две секущие, параллельные двум постоянным осям, то произведения отрезков, заключающихся на этих секущих между точкою их пересечения между собою и между кривою, находятся в постоянном отношении, где бы ни взята была эта точка.

Легко видеть, что эти три прекрасные свойства, принадлежащие всем геометрическим кривым, представляют обобщение трех предложений теории конических сечений.

4. Главный предмет сочинения Ньютона состоял в перечислении линий, заключающихся в уравнении третьей степени с двумя переменными. Ньютон различил семьдесят два вида кривых; Стирлинг прибавил к этому еще четыре.

После этого перечисления Ньютон дал следующее красивое и любопытное предложение, распределяющее эти кривые на пять главных обширных классов: «Подобно тому, как круг, помещенный против светящей точки, дает своею тенью все кривые второго порядка, — от тени пяти расходящихся парабол получаются все кривые третьего порядка».

Сочинение оканчивается органическим образованием конических сечений посредством двух вращающихся около вершины, углов, две стороны которых пересекаются всегда на прямой линии, две же другие своим пересечением образуют коническое сечение; этот способ образования распространен на кривые третьей и четвертой степени, имеющие двойную точку.

Жаль, что Ньютон ограничился изложением этих прекрасных открытий и не дал ни доказательств, ни указаний на тот метод, которому он следовал. Через несколько лет Стирлинг пополнил этот недостаток, восстановив с необходимыми предварительными разъяснениями доказательства предложений Ньютона, относящихся к перечислению [169]линий третьего порядка. Остальные части сочинения были доказаны впоследствии различными геометрами. Прекрасная теорема об образовании всех кривых третьего порядка посредством тени пяти расходящихся парабол, — теорема, казавшаяся самою трудною, — была доказана Клеро[3], Николем[4], Мёрдоком[5] и Жакье[6]. Но нам кажется что аналитические соображения, в которых эти геометры почерпали достаточное подтверждение справедливости Ньютоновой теоремы, не обнаруживают ни сущности, ни происхождения её. Поэтому от геометров, писавших об этом предмете, ускользнула другая подобная же теорема, находящаяся в ближайшей связи с теоремою Ньютона и представляющая другой способ образования всех кривых третьего порядка посредством тени пяти из них. Теорема эта состоит в том, что между всеми кривыми третьего порядка существует пять кривых, имеющих центр[7] и эти кривые своею тенью, отбрасываемою на плоскость, образуют все остальные.

Эта новая теорема и теорема Ньютона проистекают из одного свойства точек перегиба, которое, по нашему мнению, есть настоящее основание этих теорем и может быть полезно для чисто геометрической классификации кривых третьего порядка, основанной на различии их форм. Свойство это мы изложим в Примечании XX.

5. Маклорен (1698— 1746), вдохновенный прекрасными открытиями Ньютона написал два сочинения великой важности о геометрических кривых. В первом из них, посвященном органическому образованию [170]геометрических кривых[8], автор дает различные способы черчения всех геометрических кривых посредством пересечения сторон двух движущихся известным образом углов. Здесь доказательства, изложенные по способу координат, не всегда представляют достаточно простоты; но другое сочинение Маклорена De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus отличается необыкновенным изяществом и строгостью.

Всё это сочинение основывается на двух теоремах, заключающих в себе два прекрасные общие свойства геометрических кривых. Первая есть теорема знаменитого Koтса (1682 — 1716), которую друг его ученый физик Р. Смит нашел в его бумагах и сообщил Маклорену. Теорему эту можно выразить следующим образом:

Если около неподвижной точки будем вращать секущую, встречающуюся с геометрической кривой в стольких точках , каков её порядок, и если в каждом положении секущей будем брать на ней такую точку М, чтобы обратная величина расстояния её от неподвижной точки была средняя арифметическая между обратными величинами расстояний точек от неподвижной точки, то геометрическим местом точки будет прямая линия.[9]

Отрезок от неподвижной точки до точки Маклорен называет средним гармоническим между отрезками от неподвижной точки до кривой[10]. Понселе назвал точку центром средних гармонических относительно неподвижной точки и точек [11]. Этот же геометр показал, [171]что, если неподвижная точка находится в бесконечности, то точка делается центром средних расстояний точек ; отсюда следует, что теорема Котеса есть обобщение теоремы Ньютона о диаметрах кривых линий [см. гл. IV, n° 3.].

Вторая теорема, употребляемая Маклореном и найденная им самим, есть следующая:

Через неподвижную точку в плоскости геометрической кривой проводим секущую, встречающуюся с кривою в стольких точках, каков порядок её; в этих точках проводим касательные к кривой; через ту же неподвижную точку проводим наконец еще неподвижную прямую по произвольному направлению: отрезки на этой прямой, заключающиеся между неподвижною точкою и всеми касательными кривой таковы, что сумма обратных им величин постоянна, каково бы ни было положение первой секущей.

Сумма эта равна сумме обратных величин отрезков, образующихся на той же неподвижной прямой между тою же точкою и точками пересечения этой прямой с кривою.

6. Вторая теорема представляет важное обобщение теоремы Ньютона об асимптотах; одна из этих теорем переходит в другую при перспективе.

Таким образом две из трех Ньютоновых теорем о геометрических кривых обобщены Котесом и Маклореном. Третья теорема, относящаяся к отрезкам между параллельными секущими, получила подобное же обобщение в Géométrie de position, где рассматриваются секущие, проходящие через одну точку. Карно дал даже еще более широкое и полезное обобщение этой теоремы, рассматривая ее как частный случай прекрасного общего предложения о каком-нибудь многоугольнике, проведенном в плоскости геометрической кривой.

7. В вышеприведенной теореме Маклорен рассматривал также случай, когда неподвижная точка, через которую проводятся [172]секущие, находится на самой кривой, и при помощи свойств круга он превращал уравнение, выражающее теорему, в другое, содержащее хорду круга кривизны кривой в неподвижной точке. Этим путем он получил две другие теоремы, служившие ему для построения круга кривизны и для дифференциального выражения радиуса кривизны.

Такое геометрическое построение круга кривизны прямо на чертеже, без помощи теории флюксий и даже без помощи Декартова анализа, оставалось, кажется, незамеченным в сочинении Маклорена и мы не знаем, говорилось ли о нем когда-нибудь. Мы думаем однако, что оно заслуживает внимания, потому что до сих пор задача эта считалась разрешимою не иначе как при пособии анализа.

Маклорен предполагает известным направление нормали в той точке, для которой определяется круг кривизны. Удивительно, что ему не пришло на мысль построить и нормаль путем чисто геометрическим, без помощи анализа. Задача эта того же рода, как и задача о круге кривизны, и даже проще её. Мы нашли очень простое построение той и другой, вытекающее из третьей теоремы Ньютона. В то время мы не знали еще, что построение круга кривизны уже существует; решение наше впрочем совершенно отличается от решения Маклорена, потому что основывается на другом свойстве геометрических кривых.

8. Четыре общие теоремы, о которых мы говорили, составляют предмет первого отдела в сочинении Маклорена. В двух других отделах находятся приложения этих теорем к коническим сечениям и к кривым третьего порядка.

Во втором отделе мы встречаем различные свойства гармонического деления секущих в коническом сечении и теорему о вписанном четырехугольнике (которую мы вывели из шестиугольника Паскаля [в прим. к n° 16 гл. II]), заключающую в себе теорию полюсов. Теорема о шестиугольнике изложена здесь [173]без доказательства, так как Маклорен доказал ее различными способами в другом месте[12].

Отдел третий заключает в себе множество любопытных свойств кривых линий третьего порядка. Следующее есть самое важное, из которого выводится большая часть других свойств, относящихся к точкам перегиба и двойным точкам; вот оно:

Если четыре вершины и две точки пересечения противоположных сторон четырёхугольника лежат на кривой третьего порядка, то касательные, проведенные в противоположных вершинах будут пересекаться на той же кривой.

Эту теорему Маклорен изложил еще прежде в Treatise of fluxions (n° 401) и заметил, что теорема о четырёхугольнике вписанном в коническое сечение есть её частный случай; в этом нетрудно убедиться, если будем рассматривать коническое сечение в совокупности с прямою, соединяющею точки пересечения противоположных сторон четырёхугольника, как кривую третьего порядка.

Теорему Паскаля можно также рассматривать, как следствие одного свойства кривых третьего порядка, более общего, чем свойство Маклорена, именно следующего:

Если шесть вершин шестиугольника и две из трех точек пересечения его противоположных сторон лежат на кривой третьего порядка, то третья точка пересечения находится на той же кривой.[13] [174]

9. Существует еще отрывок из одного мемуара Маклорена о теории кривых линий, написанного им во Франции в 1721 году в виде дополнения к Geometria organica; печатание этого мемуара было начато, но он не был издан. В 1732 году упомянутый отрывок был передан Лондонскому Королевскому Обществу и напечатан в Philosophical Transactions 1735 года. В нем следует заметит одну теорему, составляющую значительнейшую его часть, именно:

Если многоугольник, изменяемого вида, перемещается так, что все стороны его проходят через данные точки, а все вершины, кроме одной движутся по геометрическим кривым порядков ; то свободная вершина описывает вообще кривую порядка ; и порядка вдвое меньшего , когда все данные точки находятся на одной прямой.

Если все направляющие линии будут прямые, то кривая, описывается свободною вершиною многоугольника, будет коническое сечение; если вместо многоугольника возьмем треугольник, то теорема будет ничто иное, как шестиугольник Паскаля[14]. Для случая, когда одна из трех точек, через которые должны проходить стороны изменяющегося треугольника, находится в бесконечности, теорема эта была доказана еще Ньютоном (лемма 20-я 1-й книги Principia). Но Маклорену обязаны мы изложением её в общем виде и тем, что в этом способе образования кривых он усмотрел прекрасную теорему Паскаля, которая в то время была неизвестна, так как Essai sur les coniques, в котором она изложена, было найдено стараниями аббата Боссю только в 1779 году[15]. [175]

Впоследствии Маклорен прямо доказаль эту теорему для круга и отсюда, по способу перспективы, распространил ее на все виды конических сечений. (См. Treatise of fluxions, гл. XIV, где Маклорен доказывает важнейшие свойства эллипса, рассматривая его, как сечение косого цилиндра с круглым основанием).

10. Брайкенридж (Braikenridge) был достойным соперником Маклорена в вопросе об образовании кривых всех порядков и теория эта обязана ему многими основными предложениями, относящимися главным образом к образованию кривых посредством пересечения прямых, вращающихся около неподвижных полюсов; исследования его помещены в сочинении его: Exercitatio Geometriae de descriptione linearum curvarum (in — 4°, 1733) и в мемуаре его, напечатанном в Philosophical Transactions, 1735.

После этого многие другие геометры с успехом прилагали Декартову геометрию к общей теории геометрических кривых.

Николь (Nicole, 1683 — 1759), по примеру Стирлинга, доказавшего предложения, только указанные Ньютоном в Перечислении кривых третьего порядка, начал также изъяснение начал, которыми мог руководствоваться великий геометр, и дал доказательство важного и любопытного предложения об образовании всех кривых третьего порядка посредством тени пяти расходящихся парабол, — предложения, которое не было доказано Стирлингом[16].

Аббат Бражелон (Bragelogne, 1688— 1744) первый доказал, еще в 1708 году, прекрасные теоремы Ньютона об органическом образовании конических сечений и кривых третьего и четвертого порядка, имеющих двойные точки [176][17]; потом он предпринял перечисление и исследование форм и особенностей кривых четвертого порядка. Это — работа громадная и трудная, которой только первые части были изданы: смерть автора лишила нас остальных частей[18].

Аббат Де-Гюа (De-Gua, 1712 — 1786) в превосходном сочинении под заглавием: Usages de l'analyse de Descartes (in — 12°, 1740) показал способы определять касательные, асимптоты и особые точки (кратные, сопряженные, точки перегиба и возврата) в кривых всякого порядка; он первый обнаружил, при помощи перспективы, что многие из этих точек могут находиться в бесконечности; это привело его к объяснению a priori той любопытной аналогии, которая существует между различными видами таких точек и различными видами бесконечных ветвей кривых линий, как-то гиперболическими и параболическими; к аналогии этой он еще прежде приведен был анализом.

Этот искусный геометр имел целью доказать, что в большинстве изысканий о геометрических кривых анализ Декарта может быть употребляем с таким же успехом, как и дифференциальное исчисление. Он признавал пользу исчисления бесконечно-малых только в решении задач интегрального исчисления и в вопросах относительно кривых механических. Действительно, это единственные вопросы, в которых нельзя обойтись без этого исчисления и только их решал Ньютон подобным путем.

Эйлер (1707 — 1783) в Introductio in analysin infinitorum (2 vol. in — 4°, 1748) изложил общие начала аналитической теории геометрических кривых с тою общностью и ясностью, которыми отличаются сочинения этого великого геометра; распространяя подобные же изыскания на [177]геометрию трех измерений, он в первый раз исследовал уравнение с тремя переменными, заключающее в себе поверхности второго порядка.

В то же самое время Крамер (1704 — 1752) издал по этой обширной и важной отрасли геометрии специальное сочинение под заглавием: Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques (in— 4°, 1750); это есть самое полное сочинение, уважаемое и до сих пор.

Вскоре после этого явилось сочинение: Traité des courbes algébriques (in — 12, 1756) Дю-Сежура и Гудена (Dionis du Séjour, 1734 — 1794; Goudin, 1734— 1805), в котором ясно и точно решены, с помощью одного только анализа Декарта, задачи об особенностях кривых, о их касательных, асимптотах, радиусах кривизны и пр.

Гуден издал еще другое сочинение: Traite des propriétés communes à toutes les courbes, имеющее предметом преобразование координат в уравнениях каких-нибудь кривых линий. Это ряд формул с тремя и четырьмя переменными, из которых каждая выражает вообще особое свойство кривой линии[19].

Упомянем еще, о Варинге (Waring, 1734— 1798), который во многих сочинениях своих шел далее своих предшественников в открытиях по теории кривых линий[20].

Вот, кажется, все заметные усовершенствования в теории [178]кривых линий, имевшие источником геометрию древних и анализ Декарта.

11. В период, о котором мы говорим, успехи по другим отделам науки о пространстве были менее значительны и не так удовлетворительны, как в общей теории геометрических кривых. Впрочем исследования конических сечений продолжались и со стороны великих математиков Галлея, Стеварта, Симсона и др. сделаны были усилия, чтобы восстановить и воабудить стремление к геометрии древних; некоторые частные вопросы были исследуемы от времени до времени знаменитыми аналистами Эйлером, Ламбертом, Лагранжем, Фуссом и др. в те немногия свободные минуты, которые им оставались от избранных ими занятий. Но труды эти, как нам кажется, могли только поддерживать знание приемов древней геометрии, но не были способны породить новые исследования; истинные успехи в чистой геометрии начинаются не ранее, как с начала нынешнего столетия.

Геометрия в приложении к физическим явлениям. Но в эту эпоху геометрия получила особое значение, благодаря её приложениям к физическим явлениям и благодаря великим открытиям, которые при её помощи сделаны были в системе мира Ньютоном, Маклореном, Стевартом, Ламбертом. Никогда прикладная геометрия не имела такого блеска; к сожалению это продолжалось недолго и мы должны сознаться, что в наше время эта наука почти совсем неизвестна: исчисление бесконечно-малых исключительно овладело всеми вопросами, которые решались при помощи геометрии Ньютоном и его учениками.

Примечания

  1. [Русск. перев. Д.Д. Мордухай-Болтовского в сб.: Ньютон. Математические работы. М.-Л.: ГТТИ, 1937.]
  2. Гл. 1: Свойства конических сечений принадлежат кривым высших порядков (Proprietates sectionum conicarum competunt carvis superiorum generum).
  3. Mémoires de l'Académie des sciences, 1731.
  4. Там же.
  5. Murdoch. Neutoni Genesis curvarum per umbras, in—8°, Lond. 1746.
  6. Pére Jacquier. Elementi di perspettiva. Appendice, in—8°, Romae, 1755.
  7. Это кривые, помещенные в перечислении 72-х видов Ньютона под n°n° 27, 38, 59, 62, 72 и изображенные на фигурах 37, 47, 67, 70 и 81.
  8. Geometria organica, sive descriptio linearum curvarum universatis, in — 4°, 1719.
  9. [Эта прямая теперь называется полярой (для) неподвижной точки относительно рассматриваемой кривой, см. Art. XIII Введения Кремоны.]
  10. Маклорен говорит, что количество есть среднее гармоническое между несколькими другими, когда обратная величина его есть средняя арифметическая между обратными величинами этих количеств (Трактат о геометрических кривых, § 28).
  11. Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques. Журнал Крелля, том III. [Относительно дальнейшего обобщения этого понятия см. Art. III Введения Кремоны.]
  12. Philosophical Transactions, n° 439; 1735; и Treatise of fluxions, n°n° 322, 623.
  13. Чтобы доказать эту теорему, достаточно рассматривать в шестиугольнике три стороны нечетного порядка, как кривую третьего порядка, и стороны четного порядка, как другую кривую третьего порядка. Через девять точек пересечения этих линий можно провести бесчисленное множество кривых третьего порядка; но данная кривая проходит через восемь из этих точек, а потому, на основании общего свойства кривых третьего порядка, она проходит и через девятую. [См. Введение Кремоны, § 45c-45d.]
  14. [См. Прим. XV]
  15. Может быть Маклорену, бывшему около 1721 года во Франции, и известно было сочинение Паскаля; но теорема о шестиугольнике проистекает так естественно из способа образования конических сечений помощью подвижного треугольника, что было бы удивительно, если бы она ускользнула от проницательности Маклорена, который глубоко вдумывался во всё, относившееся к образованию кривых линий, как он говорит это сам в письме, сообщенном Лондонскому Королевскому Обществу 21 декабря 1732 года. (Philosophical Transactions, 1735).
  16. Mémoires de l'Académie des sciences, 1731.
  17. Journal des Savans, 30 septembre 1708.
  18. Первая часть этого перечисления напечатана в Mémoires de l'Académie des sciences 1730 и 1731 года, вторая же не была издана; разбор её находится в Histoire de l'Académie pour 1732.
  19. Здесь находим, между прочим, сорок пять различных уравнений эллипса, в которых за начало координат принимается центр и фокус.
    Это интересное сочинение Гудена имело три издания; последнее в 1803 году; ко всем изданиям прибавлены: мемуар о солнечных затмениях и статья об алгебраических кривых; в последнем же издании кроме того мемуар об употреблении эллипса в тригонометрии.
  20. Кроме многих — мемуаров напечатанных по английски в Philosophical Transactions 1763 и 1791 года, Варинг написал о геометрических кривых два особые трактата: Miscellanea analytica de aequationibus algebraicis et curvarum proprietatibus, in—4°, 1762; и Projetates geometricarum curvarum, in — 4°, 1772.